ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.1.1 Tập affine bao affine 4 1.1.2 Tập lồi, nón lồi bao lồi 1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa phương cực biên Các định lý tách tập lồi Tập lồi đa diện 1.1.6 Hàm lồi tính chất Hàm toàn phương 10 12 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 12 Hàm toàn phương 13 Bài toán quy hoạch tồn phương 15 2.1 Giới thiệu tốn tồn nghiệm 2.1.1 Định nghĩa toán quy hoạch toàn phương 15 15 2.1.2 2.1.3 Các dạng tốn quy hoạch tồn phương Điều kiện tồn nghiệm 17 17 Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) 29 2.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 31 3.1 31 Giới thiệu toán ii 3.1.1 Bất đẳng thức biến phân 31 3.2 3.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine 32 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine 36 3.3 Giải toán quy hoạch tồn phương cách đưa tốn bất đẳng thức biến phân affine 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Bảng ký hiệu R hx, yi tập số thực tích vơ hướng hai vectơ x y kxk chuẩn vectơ x I A ⊆ Rn ánh xạ đơn vị A tập Rn dim A af f E số chiều tập A bao affine E cone E coA bao nón sinh E bao lồi tập A Lời nói đầu Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi lớp toán quan trọng tối ưu tốn có nhiều ứng dụng thực tế Bài toán bất đẳng thức biến phân lớp toán quan trọng Một lớp toán bất đẳng thức biến phân hay xét toán bất đẳng thức biến phân affine Có thể nói tốn bất đẳng thức biến phân affine dạng tổng quát toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi Trong luận văn xét đến mối quan hệ toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc lồi với tốn bất đẳng thức biến phân Ta nhận thấy tốn quy hoạch tồn phương lồi mơ tả toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Tuy nhiên, khơng phải tốn bất đẳng thức biến phân affine sinh từ toán quy hoạch toàn phương Qua ta thấy phát triển từ tốn quy hoạch tồn phương đến bất đẳng thức biến phân affine Cụ thể luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm toàn phương như: tập affine bao affine; tập lồi, nón lồi bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa phương cực biên; định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi tính chất; hàm tồn phương Chương 2: Bài tốn quy hoạch tồn phương Trình bày định nghĩa tốn quy hoạch tồn phương, dạng toán, điều kiện tồn nghiệm điều kiện tối ưu tốn quy hoạch tồn phương Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine phương pháp giải tốn quy hoạch tồn phương cách đưa toán bất đẳng thức biến phân affine 3 Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Sim Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm toàn phương Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi Mục 1.2 trình bày định nghĩa hàm toàn phương Các kiến thức chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 Tập lồi Tập affine bao affine Cho x1 , x2 hai điểm Rn Đường thẳng qua x1 , x2 tập tất điểm x ∈ Rn có dạng x = (1 − λ ) x1 + λ x2 = x1 + λ x2 − x1 với λ ∈ R Định nghĩa 1.1.1 Tập A ⊆ Rn gọi tập affine (hay đa tạp tuyến tính) (1 − λ ) x + λ y ∈ A ∀x, y ∈ A ∀λ ∈ R Nhận xét 1.1.1 Nếu A tập affine, với a ∈ Rn , A + a = {x + a : x ∈ A} tập affine Mệnh đề 1.1.1 Tập M ⊂ Rn không gian tập affine chứa Nghĩa là, x, y ∈ M điểm λ x + µy thuộc M với λ , µ ∈ R 5 Định lý 1.1.1 Mỗi tập affine A không rỗng tập affine A = a + L a ∈ A L không gian Chứng minh Giả sử A tập affine a ∈ A Khi đó, A = a + L với L = −a + A Do −a ∈ Rn nên L = −a + A tập affine Hơn nữa, ∈ L (vì a ∈ A) nên L khơng gian Ngược lại, giả sử A = a + L với a ∈ A L không gian Do không gian L tập affine nên A = a + L tập affine Khơng gian L nói gọi không gian song song với tập affine A: A//M Nó xác định cách Định nghĩa 1.1.2 Chiều (thứ nguyên) tập affine A không rỗng định nghĩa chiều không gian song song với Kí hiệu dimA Chú ý 1.1.1 Quy ước: dim∅ = −1 Giả sử L không gian Rn , phần bù trực giao L xác định sau: L⊥ = {x ∈ Rn : x⊥y, ∀y ∈ L}, x⊥y ⇔ (x, y) = ⊥ Khi đó, tập L⊥ không gian dim L+dim L⊥ = n, L⊥ = L Định nghĩa 1.1.3 Tập affine n − chiều Rn gọi siêu phẳng Mệnh đề 1.1.2 Giả sử β ∈ R, 6= b ∈ Rn Khi đó, tập H = {x ∈ Rn : hx, bi = β } siêu phẳng Rn Hơn nữa, siêu phẳng biểu diễn cách Định nghĩa 1.1.4 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk với xi ∈ Rn λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp affine điểm x1 , x2 , , xk A tập affine A chứa tổ hợp affine phần tử thuộc Giao họ tập affine tập affine Cho E tập Rn , có tập affine chứa E, cụ thể Rn Định nghĩa 1.1.5 Giao tất tập affine chứa E gọi bao affine (affine hull) E, ký hiệu a f f E Đó tập affine nhỏ chứa E Định nghĩa 1.1.6 Điểm x ∈ Rn gọi tổ hợp affine điểm x1 , , xm ∈ Rn , m m ∃λ1 , , λm ∈ R, ∑ λi = : x = ∑ λi xi i=1 i=1 Định nghĩa 1.1.7 Tập m + điểm b0 , b1 , , bm gọi độc lập affine a f f {b0 , b1 , , bm } m chiều Nhận xét 1.1.2 b0 , b1 , , bm độc lập affine b1 −b0 , , bm −b0 độc lập tuyến tính Thật vậy, a f f {b0 , b1 , , bm } = L + b0 đó, L = a f f {0, b1 − b0 , , bm − b0 } Do đó, dim L = m ⇔ b1 − b0 , b2 − b0 , , bm − b0 độc lập tuyến tính 1.1.2 Tập lồi, nón lồi bao lồi Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau: 2 x ; x = x ∈ A : x = λ x1 + (1 − λ ) x2 , λ Định nghĩa 1.1.8 Tập C ⊂ Rn gọi lồi nếu: ∀x1 , x2 ∈ C ∀λ ∈ R : λ λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ C Nói cách khác, C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1.1 Trong R2 hình tam giác, hình chữ nhật, hình trịn, hình elip tập lồi Trong R3 hình cầu, khối lăng trụ tam giác, khối chóp tứ giác tập lồi Các nửa không gian, hình cầu đơn vị khơng gian Banach tập lồi Một số hình vẽ tập lồi, tập khơng lồi R2 (xem Hình 1.1) ... Tuy nhiên, toán bất đẳng thức biến phân affine sinh từ tốn quy hoạch tồn phương Qua ta thấy phát triển từ toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine Cụ thể luận văn gồm ba chương:... đẳng thức biến phân affine Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine phương pháp giải tốn quy hoạch tồn phương cách đưa toán bất đẳng. .. lớp toán bất đẳng thức biến phân hay xét toán bất đẳng thức biến phân affine Có thể nói tốn bất đẳng thức biến phân affine dạng tổng quát tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc lồi Trong luận văn