Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : x 3x 2 x x2 2 x A( ):( ) x 4 2 x 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x y z a b c x2 y z Chứng minh : a b c x y z a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = Gv: Hố Sỹ Hoàng ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn tập đề thi HSG Toán = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2013-2014 0,5 5,0 3,0 2 x x x x 2 2 x x 3x x 2 x x A( 1,0 x x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x(2 x) x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x A 4x x 3 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x 3 x 3 x 3(TMDKXD) 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > A > c x x7 x 4 x 11(TMDKXD) x 3( KTMDKXD) Với x = 11 A = 0,5 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1)2 0;( y 3)2 0;( z 1)2 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = Gv: Hè Sü Hoµng 0,25 ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 Trường THCS H¶i Hµ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Ta có : Năm học: 2013-2014 x y z x y z ( )2 a b c a b c 2 x y z xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) b, CH CK CH CD CK CB CB CD 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC CF AH Mà : CD = AB AB AH CF AC AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Gv: Hố Sỹ Hoàng 0,5 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hµ 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Câu1 Năm học: 2013-2014 ĐỀ SỐ a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x x 3 x x 24 b Giải phương trình: x 30x c Cho Câu2 31x 30 a b c a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 0 bc ca ab bc ca ab 10 x x A :x x x 4 2x x2 Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị ngun x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án Câu a Câu (6 điểm) x4 x4 4x2 Điểm 4x2 +4= + +4= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x 30x (2 điểm) 31x 30 x x x x (*) 2 Vì x2 - x + = (x - ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x x Gv: Hè Sü Hoµng x x (2 điểm) ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 a b c 1 bc ca ab với a + b + c; rút gọn đpcm 10 x x Biểu thức: A : x x2 x 4 2x x2 1 a Rút gọn kq: A x2 1 1 b x x x 2 c Nhân vế của: Câu (6 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) 4 A c A x 1 d A Z Z x 1;3 x2 A HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) C AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm a Chứng minh: (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD Câu 4: (2 điểm) b c 1 a 1 a a a c 1 a Từ: a + b + c = b b b a b 1 c c c (1 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Gv: Hè Sỹ Hoàng ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn đề thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ị thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a a a a 14a a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c bca acb abc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) Gv: Hè Sü Hoµng ThuVienDeThi.com Trường THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toỏn Nm học: 2013-2014 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a 1 a2 0,25 a23 1 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a2 a2 mà Ư(3)= 1;1;3;3 0,25 Từ tìm a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 0,25 Phương trình trở thµnh : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã tìm x=-13; x=2; Gv: Hố Sỹ Hoàng 0,25 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toỏn Nm hc: 2013-2014 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ;b ;c ; 0,5 2 yz xz x y 1 y x x z y z Thay vào ta A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A 0,25 C©u : (3 ®) Tõ ®ã suy a= a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 120 M Vì M =600 nên ta cã : Mˆ 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy D BD CM , từ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B 2 C M 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Chøng minh tương tự ta có EM tia phân giác cđa gãc CED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ D , DM tia phân giác góc BDE c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : Gv: Hố Sỹ Hoàng ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hµ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2013-2014 xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1a 3a a 15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x x3 ax b chia hết cho đa thức B( x) x x Caâu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câu 2ñ 1 1 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án A a 1a 3a a 15 a a a a 8a a 8a 15 15 8a 12 a a a a 2ñ 8a 22 a 8a 120 8a 11 2 8a 10 x a 10 x 10a x m n x mn m n a 10 m.n 10 a 1 Khử a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + Gv: Hè Sü Hoµng 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 8a 10 Giả sử: x a x 10 x m x n ;(m, n Z ) Biểu điểm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 ủ ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn đề thi HSG Toán mn 10m 10n 100 m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: 1ñ m 10 1 n 10 1 v Năm học: 2013-2014 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ m 10 1 n 10 1 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 3 Để A( x) B( x) ba3400 ba 0,5 ñ 0,5 ñ 3ñ 0,25 ñ Tứ giác ADHE hình vuông Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhaät ( 1) AHD AHB 90 450 2 AHC 900 Do AHE 450 2 AHD AHE Hay HA phân giác DHE (2) 2đ Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 Gv: Hè Sü Hoµng 10 ThuVienDeThi.com 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ Trng THCS Hải Hà Tuyn tập đề thi HSG Toán Bài 1: (4 điểm) Năm học: 2013-2014 ĐỀ THI SỐ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 19 49 2010x 2680 x2 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF BAC a) Chứng minh rằng: BDF b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x y z x y3 z3 = y z x y z x y z x x y z y yz z = y z 3x 3xy 3yz 3zx = y z x x y z x y Gv: Hè Sü Hoµng 11 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toỏn = x y y z z x b) Năm học: 2013-2014 x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x x 2010x 2010x 2010 = x x 1x x 1 2010 x x 1 = x x 1x x 2010 Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 40 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 x 258 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2 19 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: a 1 a 1a a 19 a a 19 a 1 a 1a a 49 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 a 2 2a 1 42 2a 32a (thoả ĐK) a 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 Bài 4: 2010x 2680 A x2 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3) = 335 335 x2 x2 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – Bài 5: Gv: Hè Sü Hoµng 12 ThuVienDeThi.com Trường THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toỏn Nm học: 2013-2014 o A F 90 ) a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E C Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ D F D hình chiếu vng góc A lên BC Bài 6: a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF A E Ta có BAC 1800 (*) B Qua D, E, F kẻ đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF A OED ODF 90o (1) OFD E F o Ta có OFD OED ODF 270 (2) O o (1) & (2) 180 (**) BDF (*) & (**) BAC Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = s s s b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: , C B AEF DBF DEC ABC B D C 5BF 5BF 5BF BD BA BF BC BD BD BD 7CE 7CE 7CE CD CA CD CD CD 8 CE CB AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC CD BD (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Gv: Hè Sü Hoµng 13 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Tốn Năm học: 2013-2014 Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB BC CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' BB' CC' ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) 0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A ( 0,25điểm ) yz xz xy ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Tính A = Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) N, a , b, c, d 9, a (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m đó: m2–k2 = 1353 Do Gv: Hè Sü Hoµng (0,25điểm) 14 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toán (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' C’ a) S ; AA' N ABC AA'.BC I (0,25điểm) B S HAB HC' S HAC HB' Tương tự: ; S ABC CC' S ABC BB' Năm học: 2013-2014 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) A H x B’ M A’ C D (0,25điểm) HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) 2 - BAD vuông A nên: AB +AD = BD AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA ) (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu Gv: Hè Sü Hoàng 15 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Toán Năm học: 2013-2014 ĐỀ SỐ Bài (4 điểm) x3 x2 x : Cho biểu thức A = với x khác -1 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x 1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho a b b c c a 4.a b c ab ac bc 2 Chứng minh a b c Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a 2a 3a 4a Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 : A= 0,5đ (1 x)(1 x) 1 x x x : 1 x (1 x)(1 x x ) x(1 x) 0,5đ (1 x)(1 x) (1 x)(1 x x x) : 1 x (1 x)(1 x x ) = (1 x ) : (1 x) = (1 x )(1 x) = 0,5đ 0,5đ b, (1 điểm) Gv: Hè Sü Hoµng 16 ThuVienDeThi.com Trng THCS Hải Hà Tuyn thi HSG Tốn = A = 3 25 = (1 )(1 ) 34 272 10 27 27 Tại x = Năm học: 2013-2014 2 1 ( ) 1 ( ) 0,25đ 0,25đ 0,5đ c, (1điểm) Với x khác -1 A