Tuyn thi HSG Toỏn Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biĨu thøc: b) Cho x2 x x3 x 18 x yz xz xy 1 0( x, y, z 0) TÝnh x y z x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối cđa c¸c tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳmg cắt AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5đ) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng ®¼ng thøc: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5đ) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) x3 – 4x2 – 18 x + = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) x2 x (x+3)(x-2) ( x 2) => = Víi ®iỊu kiƯn x -1 ; x2 -7x + 2 x x 18 x (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 b) (1,5đ) Vì Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1 1 1 1 x y z z x y 1 1 1 1 1 1 z z x y x y y x y x 1 1 1 1 1 1 3 3 x y z x y x y x y z xyz Do ®ã : xyz( 1 xyz xyz xyz yz zx xy + + )= 3 x y z x y z x y z Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân C A K B C góc C lµ gãc ngoµi => B1 E cđa tam gi¸c BCE => B E B 1C mµ AC // BM C 1 1 CBM (ta vÏ) => C1 CBM B nªn BO tia phân giác CBM D E M Hoàn toàn tương tự ta có CD tia phân gi¸c cđa gãc BCM Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB , BMC Mà : BAC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng BMC M A mµ (cmt ); A M Ta l¹i cã : M 1 2 A K (hai góc đồng vị) => M CKM cân C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = CK (®pcm) K 1 Bài 4: (1đ) Ta có M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 =>(2x + 1)2 + M Vậy giá trị nhỏ M = x = - Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán đề Câu Tìm số có chữ số: a1a a thoà mÃn điều kiện a b sau: a) a1a 2a = a a b) a 4a 5a 6a a a a C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + ( mn 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phương trình: 1 2005 2006 2007 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diƯn tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => sè 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn câu Đặt m = 3k + r víi r n = 3t + s víi s xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi r ; s r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn 2) Điều phải chứng minh ¸p dơng: m = 7; n = => mn – = 12 ( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Câu Giải PT: 1 x 1.2 2.3 2006.2007 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 Nh©n vÕ víi ta được: 2 3 x 21.23 0 2.34 1 2006.20072008 2005 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4 1 1 3 x 2006.2007 1.2 2.3 2.3 3.4 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1003.1004.669 3 x 2.2006.2007.2008 x 5.100.651 1.2 2006.2007 C©u a) Do AE// BC => BF// AD OE OA OB OC O F OB OA OD A E B O K H F MặT khác AB// CD ta lại có D OA OB OC OD b) nªn OE OF OB OA A1B1 => EF // AB ABCA1 vµ ABB1D hình bình hành => A1C = DB1 = AB EF AB => AB = EF.CD AB DC 1 1 c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD 2 2 1 AH OB AH OD S1 AH S3 S1 S3 => ; AH CK => => S1.S2 = S3.S4 1 S4 CK S S S CK OB CK OD 2 V× EF // AB // CD nên Câu A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = Khi: y- = => y=1 x- y- = x=7 Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ C Tuyển tập đề thi HSG Tốn ®Ị C©u 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z (1) Câu 2: a Cho a b c Tính giá trị biểu thức A= a b c (2) x y z x2 y z a b2 c2 b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca 2 2 a b c b c a c a b2 Câu 3: Tìm x , biÕt : x·1 x 10 x 19 (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: a.BM EF b Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dương Tìm giá trị nhá nhÊt cña a b c P= (a+ b+ c) ( ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 ®iĨm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iĨm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1) bcx +acy + abz =0 Tõ (2) abz acy bcx ab ac bc x2 y z x2 y z 2 2 2 a b c xyz a b c xy xz yz b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c = a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi HSG Toán B= ab bc ca 2ab 2bc 2ca C©u 3: ( 1,25 ®iÓm) (1) x·2007 x 2007 x 2007 0 2006 1997 1988 x= 2007 A Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao ®iĨm CB víi EM; H lµ giao ®iĨm cđa EF vµ BM EMB =BKM ( gcg) Gãc MFE =KMB BH EF b ( 1,25 ®iĨm) ADF = BAE (cgc) AF BE T¬ng tù: CE BF BM; AF; CE đường cao BEF đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: P=1+ Mặt khác E B M K H D F C a a b b c c a b a c b c 1 1 b c a c a b b a c a c b x y víi mäi x, y d¬ng P 3+2+2+2 =9 y x VËy P = a=b=c đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Gi¶i phương trình: x x x x 8 98 96 94 92 Bµi (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thøc P x 3x có giá trị nguyên 2x Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ ®êng cao BM; CN cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi HSG Toán A x x 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 a+ ) (1®) 2) x2 x4 x6 x8 98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 98 96 94 92 1 1 ( x + 100 )( + )=0 98 96 94 92 1 1 Vì: + 98 96 94 92 Do : x + 100 = x = -100 VËy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ): P= x x (2 x x) (4 x 2) 5 x2 2x 2x 2x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên phải nguyên hay 2x - ước nguyên (0,5đ) 2x => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = 1;0;3;2 P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên cđa P lµ: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) Gv: Nguyn Vn Tỳ ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn b) Tõ c©u a suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC AC AN AMN = ABC ( hai gãc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25đ) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mµ CAH = BAH ( Ax tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: CHA = CAH nªn CAH cân C : CH = CA => CH = BK CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đường trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài (1đ): A= 2007 x x.2007 2007 x x.2007 2007 2006 x = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x 2007) 2006 2006 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5®) 2007 = -®Ị x2 10 x x : x2 x x 3x x C©u ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc A = a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 4x x 5x 2 x 1 2x C©u ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q vµ S 1, Chøng minh AQR vµ APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN lµ trung trùc cđa AC 5, Chøng minh điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( ®iĨm): Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Cho biÓu thøc A = x 3x 2x Câu ( điểm) a, Chøng minh r»ng x y z x y xy.x y z 3 1 x y z b, Cho Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên TÝnh A yz xz xy x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x # , x # -2 , x # x : x 4 2 x x 2 x b , A = = x 2x x : x 2x 2 x = 6 x2 x 2x 2 x c, §Ĩ A > Câu PT ĐKXĐ : 2 x x 2 x x 1; x x 4x x 5x x 3x x 3x 1 1 0 x 1 2x x 1 2x x 3x x x 3 x x 1x 3 x x x x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị thỏa mÃn ĐKXĐ Vậy PT đà cho có tập nghiƯm S = 1;2; 3 C©u 3: 1, ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta cã: ARP= ADS ®ã AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ PAN PAM = 450 nên góc Mặt khác : MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn 3, Theo gi¶ thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR 4, Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vuông RCQ CM trung tuyến nên CM = QR MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trungtrực AC 5, Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đờng trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng Câu Ta có ĐKXĐ x -1/2 A = (x + 1) + 2x x Z nên để A nguyên nguyên 2x Hay 2x+1 ớc VËy : 2x+1 = x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 = x = 2x+1 = -1 x = -1 2x +1 = -2 x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên Câu a, , Chứng minh x y z x y 3 3xy.x y z BiÕn ®ỉi vÕ phải đợc điều phải chứng minh b, Ta có a b c th× a b c a b 3aba b c c 3ab c c 3abc (v× a b c nªn a b c ) Theo giả thiết A 1 1 1 x y z xyz x y z 1 yz xz xy xyz xyz xyz 3 xyz xyz xyz x y z x y z y z x ===================== đề Bài : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : x2 1 x x x 1 M = 1 x4 x 1 x2 a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Gv: Nguyễn Văn Tú 10 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán A= x x x 83 x Bài : điểm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x + x + x = Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chøng minh : a) AE = AF vµ tứ giác EGKF hình thoi b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 Đáp án Bài : a) M = 4 2 ( x 1)( x 1) x x 2) = x x x x ( x +1-x x 1 x 1 ( x x 1)( x 1) b) BiÕn ®æi : M = - 3 M bÐ nhÊt lín nhÊt x2+1 bÐ nhÊt x2 x 1 x 1 = x = M bÐ nhÊt = -2 Bµi : BiÕn ®ỉi A = 4x2+9x+ 29 + 4 A Z Z x-3 lµ íc cđa x 3 x 3 x-3 = ; ; x = -1; 1; 2; ; ; Bµi : a) Phân tích vế trái (x-2006)(x+1) = (x-2006)(x+1) = x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi kho¶ng sau : x< ; x < ; x < ; x Råi suy nghiệm phương trình : x = ; x = 5,5 Bµi : a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF AEF vuông cân tại A nên AI EF IEG = IEK (g.c.g) IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vuông góc nên hình EGFK hình thoi b) Ta có : KAF = ACF = 450 , gãc F chung Gv: Nguyễn Văn Tú 11 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán AKI ~ CAF (g.g) AF KF AF KF CF CF AF d) Tứ giác EGFK hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) Bài : BiÕn ®ỉi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy B 24 ================================ đề Câu 1: ( ®iĨm ) Cho biĨu thøc: 6x x x 36 2 x x x x 12 x 12 A= ( Víi x ; x ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biĨu thøc A víi x= 94 C©u 2: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y b)Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc sau: A= ( víi mäi x ;y) x2 x x2 x Câu 3: ( điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M trªn AD , AB Chøng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP DB vµ CP = 2,4 cm,; PD PB 16 Tính cạnh hình chữ nhật ABCD Câu ( điểm ) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Đáp án Câu ( điểm ) Gv: Nguyễn Văn Tú 12 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1) ( điểm ) ĐK: x 0; x ) 6x x 36 x x x 36 x x 6 x ( x 6)( x 6) A= = x 12( x 1) x( x 6) x( x 6) 12( x 1) = 12( x 1) 1 x 12( x 1) x x 2) A= 1 94 94 C©u2: ( ®iĨm ) 1) (1 ®iĨm ) x2+y2+1 x y+x+y x2+y2+1 - x y-x-y 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 Bất đẳng thức luôn 2) (2 điểm ) (1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3 (*) 0x> 1+ x + XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3 (*) x> 2m 3m + XÐt 3m-1 < 3m m x > m/2 Hai bất phương trình cã cïng tËp nghiÖm 1 m m m 3 (m 2)(m 1) 3m 5m 1 2m m 3m m-2 =0 m=2 Vậy : m=2 Câu 3: (4 điểm ) a)(1 điểm ) Gọi O giao điểm AC BD AM //PO tứ giác AMDB hình thang b) ( điểm ) Do AM// BD góc OBA= góc MAE ( đồng vị ) Xét tam giác cân OAB góc OBA= góc OAB Gv: Nguyễn Văn Tú 13 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Gäi I lµ giao điểm MA EF AEI cân ë I → gãc IAE = gãc IEA → gãc FEA = góc OAB EF //AC (1) Mặt khác IP đường trung bình MAC IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy : E,F, P thẳng hàng c) (1 điểm ) Do MAF DBA ( g-g) → d) NÕu MF AD không đổi FA AB PD BD PB k → PD= 9k; PB = 16k PB 16 16 Do ®ã CP2=PB PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2 PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Tõ ®ã ta chøng minh ®ỵc BC2= BP BD=16 Do ®ã : BC = cm CD = cm Câu4 ( điểm ) x2 ( x x 1)( x 2) x x 1 (x )2 1 VËy Amax [ ( x+ ) ] x+ = → x = 2 Amax lµ x = -1/2 Ta cã A = ======================== ®Ị Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Phân tích đa thức thành nh©n tư: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: y = x ; ( x>0) ( x 2004) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất số nguyên x thoả mÃn phương trình: : ( 12x ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 B, Giải bất phương trình: x Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vu«ng gãc víi oy BiÕt IC = ID = a Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 14 ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi HSG Toán Đường thẳng kẻ qua I cắt õ A c¾t oy ë b A, Chøng minh r»ng tÝch AC DB không đổi đường thẳng qua I thay ®æi B, Chøng minh r»ng C, BiÕt SAOB = CA OC DB OB 8a TÝnh CA ; DB theo a Đáp án Bài 1: ®iĨm a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = theo gi¶ thiÕt) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = ( ®pCM) b, 1,5 ®iĨm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi 2: Điểm Đặt t = 2004 y Bài toán đưa tìm x để t bé Ta có t = = ( x 2004) x 2.2004 x 20042 = 2004 x 2004 x x 2004 2 2004 x x 2004 2 2004 x (1) Theo bất đẳng thức Côsi cho sè d¬ng ta cã: Ta thÊy: x2 = + 20042 x 2004 2004 x 2 2004 x (2) DÊu “ =” x¶y x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t Vậy giá trị bé t = x =2004 VËy ymax= 1 Khi x= 2004 2004t 8016 Bài 3: Điểm a, Nhân vế phương trình với 2.3.4 ta được: (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 VÕ tr¸I số nguyên liên tiếp khác nên thừa số phảI dấu ( + )hoặc dấu ( - ) Suy ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 10 (1) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 15 ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi HSG Tốn Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) (-10) (-9) (-8) (2) Từ phương trình (1) 12x -1 = 11 x = ( tho¶ m·n) Từ phương trình (2) 12x -1 = - x= 7 12 suy x Z VËy x=1 thoả mÃn phương trình b, Ta có x6 < -3 < x – < 3< x < VËy tËp nghiƯm cđa bÊt ph¬ng trình là: S = { x R/ < x < 9} Bài : Điểm Ta có A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vÞ) IAC ~ BAO (gg) Suy ra: AC IC AO BO AC AO IC BO (1) T¬ng tù: BID ~ BAO (gg) OA OB OA ID Suy ra: ID BD OB BD AC ID Tõ (1) vµ(2) Suy ra: IC BD (2) Hay AC BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi b, Nh©n (1) víi (2) ta cã: AC ID OA OA IC BD OB OB AC OA BD OB mµ IC = ID ( theo giả thiết) suy ra: C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có; SAOB = OA.OB mµ SAOB = 8a Suy ra: OA.OB = 8a 16a OA OB = 16a Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = Mµ CA DB = a2 ( giả thiết) ( theo câu a) a2 16a + a( CA + DB ) + CA DB = 16a a(CA +DB) = - 2a2 16a CA.DB a 2a 2 10 a CA + DB + VËy: 10a a CA DB a Gi¶i hƯ pt CA = DB = 3a a Hoặc CA = 3a vµ DB = Gv: Nguyễn Văn Tú 16 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn ==================== ®Ị x2 y2 x2 y2 Bài 1( điểm) Cho biểu thức : P x y 1 y x y 1 x x 11 y 1.Rút gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài 2(2 điểm) Giải phương trình: 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Bài 3( điểm) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biỴu thøc: M 2x x2 Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc víi DF 2.Chøng minh MAD c©n 3.TÝnh diƯn tÝch MDC theo a Bài 5(1 điểm) Chứng minh : Cho số a; b; c thoả mÃn : a + b + c = a2 + b2 + c2 Đáp án Bài (2 điểm - câu điểm) MTC : x y x 11 y P x 1 x y 1 y x y x y x y 1 x 1 y P x y xy Víi x 1; x y; y §Ĩ P =3 x y 1 x 1 y x y xy x y 1 x 1 y giá trị biểu thức xác định x y xy x y xy x 1y Các ước nguyên lµ : 1; 2 Suy ra: x 1 x y 2 y 3 x 1 x y y Gv: Nguyễn Văn Tú (lo¹i) 17 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán x 1 x y y x 2 x 1 (lo¹i) y 1 y 2 VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) P = Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: x x x x x Ta cã : x x x x x x 12 x x x x 20 x x x 11x 30 x x Phương trình đà cho tương đương với : 1 x x 3 x 3x x x x x 1 1 1 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 1 x 6 x 2 x x x x 20 x 10 x x 10 thoả mÃn điều kiện phương trình x Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2 Bài 3.(2điểm) 2 2x x2 x2 x x 2x M x2 x2 x M x 1 x2 x 1 1 x2 x 1 nhá nhÊt M lín nhÊt 2 x Vì x 0x x 0x 2 x 1 nhá nhÊt x = nªn x 2 DÊu “=” x¶y x-1 = x VËy Mmax = x = Bµi (3iÓm) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 18 ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi HSG Toán a BEC CFD(c.g.c) C1 D D 900 F C 900 CMF vuông M CDF vuông C F 1 1 Hay CE DF b.Gọi K giao điểm AD với CE Ta cã : AEK BEC ( g c.g ) BC AK AM lµ trung tuyÕn tam giác MDK vuông M AM KD AD AMD cân A CD CM c CMD FCD( g.g ) FD FC 2 S CD CD Do ®ã : CMD S CMD S FCD S FCD FD FD Mµ : S FCD CF CD CD VËy : S CMD CD CD FD a k d Trong DCF theo Pitago ta cã : 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 Do ®ã : S MCD e m 1 CD CD CD a 5 CD 4 b f c Bài (1điểm) 1 Ta cã: a2 a2 a a2 a 2 4 T¬ng tù ta còng cã: b2 b 4 ; c2 c Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt đẳng thức chiều ta được: a2 b2 c2 3 a b c Vì a b c nên: a b c 4 DÊu “=” x¶y a = b = c = ========================= đề 10 Câu (1,5®) Rót gän biĨu thøc : A = 1 1 + + +……….+ 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) Câu (1,5đ) Tìm số a, b, c cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Gv: Nguyễn Văn Tú 19 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển thi HSG Toỏn Câu (2đ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên x x Câu Cho a,b,c độ dài ba cạnh mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng mét tam gi¸c , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O Thì H,G,O thẳng hàng Đáp ¸n C©u 1 1 1 1 ( - + - +…….+ ) 5 3n 3n 1 n 1 = ( )= 3n 6n 10 A= Câu Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 đa thøc d suy a = ; b = - 16 C©u Z x2 –x +1 = U(7)= x x 1 1, Đưa phương trình dạng tích Đáp số x = 2,1,3 Câu Tõ gi¶ thiÕt a < b + c a2 < ab + ac Tng tù b2 < ab + bc c2 < ca + cb Céng hai vÕ bất đẳng thức ta (đpcm) Câu tam giác ABC H trực tâm, G Trọng tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GM · · = , HAG = OMG AG OM ChØ = (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O trung điểm chứng minh CK = AH) AH - Chỉ - V AHG : V MOG (c.g.c) H,G,O thẳng hàng ====================== đề 11 x 14 x x 36 C©u 1:Cho biĨu thøc: A= 3 x 19 x 33 x a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, Tìm giá trị biểu thức A có giá trị c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Gv: Nguyn Vn Tỳ 20 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ ... M Vậy giá trị nhỏ M = x = - Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán đề Câu Tìm số có chữ số: a1a a tho· m·n ®iỊu kiƯn a vµ... có ba góc vuông, nên hình chữ nhËt Gv: Nguyễn Văn Tú ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 3, Theo giả thi? ??t: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm... m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Đáp án Câu ( ®iÓm ) Gv: Nguyễn Văn Tú 12 ThuVienDeThi.com Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1) ( điểm ) ĐK: x 0; x ) 6x