Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối 10 năm học: 2015 201629071

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT HẢI AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN KHỐI 10 Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1(2 điểm) Tìm a b để hàm số y  ax  bx  đạt giá trị nhỏ - x = Tìm tập xác định hàm số y = 1 2x  x   1 x Bài 2(3 điểm)  x( x  y )  y Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y )  x (m  1) x  (2m  3) x  3m  1 Tìm giá trị m để bất phương trình (m  1) x  2mx  3m nghiệm với x  R Tìm giá trị m để phương trình (2 x  3)  x   m  14  có nghiệm thuộc [0;1] Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) B(6; 0) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A tạo với đường thẳng (d): x - 3y + = góc 450 Viết phương trình đường thẳng k qua điểm A tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích (đvdt) Tìm điểm M đoạn OA, điểm N đoạn AB, điểm E F đoạn OB cho tứ giác MNEF hình vng Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho  ABC với BC = a, AC = b, AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Gọi ha, hb, hc đường cao qua đỉnh A, B, C  ABC CMR: a 2b c  R hb hc 2 Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = x  x   x  x  Hết -Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Số báo danh: Họ tên HS: Giám thị số 1: Giám thị số 2: ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN KHỐI 10 Bài ý Sơ lược đáp án +)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - nên khơng thoả mãn tốn -> Điểm 0,25đ a   b  +)TH2 a  0: Hàm số đạt giá trị nhỏ - x =   2a  -> 0,25 đ   y (1)  4 Giải hệ ta tìm a = b = - => y  x  x  - 0,5 đ > 1  x    (1) x   4  x   > 0,25 đ +)Hàm số xác định   1  x    x   x  x  (2)   1 2x  x   1 x    2 x   x      (2)  (1  x)(1  x)  x    2 x   > 0,5 đ    (1  x)(1  x)  (2 x  1)  x0   +)Kết hợp với điều kiện (1) ta tập xá định hàm số là: D = [- 4;0) > 0,25 đ +)Ta thấy: x = y = thoả mãn hệ cho Hệ khơng có nghiệm dạng (a; 0) (0; a) với a  -> 0,25 đ  x( x  y )  y x  (1) +)Với HPT cho    2 2 2 2 x ( x  y )  y ( x  y ) (2) y  2  x    x  y  Ta có: (2)    1  1     Từ ta tìm    > 0,5 đ  x    y    y  x x +)Mặt khác từ (1) => x y dấu =>      x = 2y y  y Thế x = 2y vào (1), ta được: y =  / 2 KL: hệ cho có nghiệm (0;0) ( ; ) (- ;) > 2 2 x  x  (m  1) x  (2m  3) x  3m  +)Ta có:    > (m  1) x  2mx  3m (m  1) x  2mx  3m +)Ta thấy: 2 x  3x   với x  R =>BPT cho nghiệm với x  R (m  1) x  2mx  3m  với x  R -> m   m  1   m 2 m  3m(m  1)  2m  3m  KL: BPT cho nghiệm với x  R  m   -> 2 +)Đặt t = x  phương trình (2) có dạng: t + t -14 = m (*) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Ta có:  x    t  =>PT cho có nghiệm x  [0;1] PT (*) có nghiệm t [3;5] > 0,5 đ +)Lập bảng biến thiên hàm số f(t) = t2 + t -14 [3;5] Ta giá tri m thoả mãn toán -2  m  16 -> 0,5 đ ThuVienDeThi.com Câu ý Sơ lược đáp án Điểm  +)Gọi n = (a;b) VTPT  (ĐK: a  b  ) Theo giả thiết ta có: cos(  ,d) = cos450 a  3b a b 2 3 2  > 0,25 đ +)  a  3b  10 a  b  2a  3ab  2b  (*) 2 2 Nếu b = a = mâu thuẫn với ĐK: a  b  a a a a => (*)         2 V  > b b b b a +)Với = -2 ta chọn a = b = -1 => Phương trình  : 2x - y = > b a +)Với  ta chọn a = b = => Phương trình  : x + y - 10 = > b +)Gọi giao điểm đthẳng (k) với hai trục toạ độ là: E(a;0) F(0;b) ĐK: ab  x y Phương trình (k):   a b Do (k) qua điểm A nên ta có:   (*) a b Mặt khác, ta có: SOEF = a b   ab  4 > 2 +)Với ab =  a vào (*) ta  a   a  a   vô nghiệm -a b 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ > a   a vào (*) ta  a   a  a     b a  a  2 x y x y => Phương trình đường thẳng (k) là:     > 0,5 đ 2 +)Gọi H hình chiếu A OB y A Ta thấy: điểm E, F thuộc trục Ox =>MN// Ox MF// NE// AH M N MF OM OA  AM AM MN MF    1  1  1 => x H AH OA OA OA OB OB F O E B MF MF 12 =>  1  MF  -> 0,5 đ +) Với ab = - +)Mặt khác: M, N có toạ độ dương đường thẳng OA có phương trình y = 2x 12 => Điểm M có tung độ y = => Hoành độ điểm M x = > 0,25 đ 5 12 18 18 12 +)Vậy: M( ; ), F( ;0), E( ;0), N( ; ) > 0,25 đ 5 5 5 2 1 3abc abc  aha  bhb  chc  -> 0,5 đ 2 4R 2R +)Mà theo BĐT Cosi, ta có: aha  bhb  chc  3 abcha hb hc +) S  aha  bhb  chc  aha  bhb  chc  3S  3abc a 3b c 3  abcha hb hc   abcha hb hc  a 2b c  R hb hc => Đpcm -> 0,5 đ => 2R 8R 3 ) ; b(  x; ) Ta có: a  b  a  b nên y  2 2 Dấu đẳng thức xảy a; b chiều x=0 Chọn a(  x; Vậy GTNN y x=0 ThuVienDeThi.com 1đ ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN KHỐI 10 Bài ý Sơ lược đáp án +)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - nên khơng thoả mãn... t [3;5] > 0,5 đ +)Lập bảng biến thi? ?n hàm số f(t) = t2 + t -14 [3;5] Ta giá tri m thoả mãn toán -2  m  16 -> 0,5 đ ThuVienDeThi.com Câu ý Sơ lược đáp án Điểm  +)Gọi...  +)Gọi n = (a;b) VTPT  (ĐK: a  b  ) Theo giả thi? ??t ta có: cos(  ,d) = cos450 a  3b a b 2 3 2  > 0,25 đ +)  a  3b  10 a  b  2a  3ab  2b  (*) 2 2 Nếu b = a = mâu