Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

Nhằm giúp các em học sinh lớp 10 có thêm tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới. TaiLieu.VN đã sưu tầm Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2 gửi đến các em. Hy vọng, đây sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích trong quá trình ôn tập và rèn luyện của các em!

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT THANH HĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH NĂM HỌC 2014- 2015 MƠN : TỐN - KHỐI 10 §Ị CHÝNH THøC (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu (5điểm): Cho parabol y = - 2x2 (P) đường thẳng d: y = ax + a – Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) Tìm số nguyên a cho d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thoã mãn AB = Câu (2 điểm): Giải phương trình: x  ( x  x  )3  Câu (2 điểm): 4 x  y  x  y Giải hệ phương trình:  52 x  82 xy  21 y  9 Câu (2 điểm): Giải bất phương trình: x x  2( x  x  1) 1 Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC = a  b2  c2 4S Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm d điểm M cho vectơ: MA  2MB  3MC có độ dài nhỏ www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 Câu (2 điểm): Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H(2;2), I(1;2) 5 2 trung điểm M( ; ) BC Tìm toạ độ A, B, C biết xB > xC Câu (2 điểm): Cho ba số thực dương x, y, z thỗ mãn x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xz y2 x  2z   P= y  yz xz  yz x  z ……………………………… Hết………………………………… www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN – NĂM HỌC 2014 – 2015 Câu 1: (2 điểm): Tự vẽ (3 điểm): Phương trình hoành độ giao điểm (P) d là: 2x2 + ax + a – = (*) có  = (a – 4)2 với a  (*) có hai nghiệm x1 = -1 x2 =  a (2  a) A(-1;-2) B( ) ta có AB = ; 2 2a Khi 2  AB =  2    a   2  a              2  a  8a  17 a  8a    ( a  2)(a  6a  5a  2)  Với a  6a  5a    a(a  1)( a  5)  2 khơng tồn số ngun a thoã mãn Vậy a = giá trị cần tìm Câu 2: (3 điểm) ĐKXĐ: x  a  x b  x  Đặt:  (a > b  ) ba  b 3  b(a  b)  b( a  b) a a       Ta có:  2 2 b 25 b ( a  b) a  b  (a  b) (a  b)  25 Từ tìm nghiệm phương trình là: x = 9; x = 81 16 Câu 3: ( điểm) Ta có – 9(4x3 – y3) = (x + 2y)(52x2 – 82xy + 21y2)  8x3 + 2x2y – 13xy2 + 3y3 =  (x - y)(8x2 + 10xy – 3y2) =  (x-y)(4x - y)(2x + 3y) = Từ tìm nghiệm hệ (1 ;1) ; (-1 ; -1) Câu : (2 điểm) ĐKXĐ : x  Nhận xét : 2(x2 – x + 1) – = 2x2 – 2x + > với x  2( x  x  1)  1, x nên mẫu số âm bất phương trình cho tương đương với: www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 x  x   2( x  x  1)  2( x  x  1)   x  x a   x Đặt  b  x suy a2 + b2 = x2 – x + Vậy bất phương trình trở thành: 2( a  b )  a  b  ( a  b)   a  b  nghiệm bất phương trình x  x  1 x  x  3 (t / m) 3 Câu 5: (2 điểm) Ta có: cos A  2S b2  c2  a2 Mặt khác từ S = bc sin A suy SinA = bc 2bc b2  c2  a2 suy cot A  4S Tương tự ta có: a2  c2  b2 cot B  4S cot C  a2  b2  c2 4S Suy ra: cotA + cotB + cotC = a2  b2  c2 4S Câu 6: (2 điểm) Lấy điểm D AB cho DA = 2DB Gọi E trung điểm CD ta có: MA  MB  3MC  3MD  3MC  3ME Suy điểm M cần tìm hình chiếu điểm E đường thẳng d Câu : (2 điểm) * Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh : IH  3IG Từ tìm G( ;2 ) www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017  Phương trình đường thẳng BC qua M vng góc với MI nên BC có phương trình : 3x + y – 10 =  Phương trình đường thẳng AH qua H vng góc với BC nên AH có phương trình : x – 3y + =  Phương trình đường thẳng AG qua A G nên AG có phương trình : 3x – 7y + 10 = Ta có điểm A giao điểm AH AG nên A(-1 ; 1) Do B thuộc BC nên B có toạ độ dạng : B(a ; 10 – 3a) Do M trung điểm BC nên C có toạ độ dạng C(5 – a; 3a - 5) Mặt khác H trực tâm nên BH vng góc với AC, tương đương với BH AC   a  5a    a  2, a  Vì xB > xC nên a = A(-1;1); B(3;1); C(2;4) Câu 8: điểm Ta có: y2 2z 1 xz y x  2z yz x P      xz z y  yz xz  yz x  z y 1 1 1 yz x yz x 2z y 1 y x   z  y x z 1 1 1 z y x xz yz  a2 b2  2c   b2  a2 1 1 c2 ta ký hiệu: a  Chú ý : a b  * x y z , b  , c  ( a , b, c  R  ) y z x x   x  z z c2 a2 b2 2ab F    2 2 b  a  ab  (b  1)(a  1)(ab  1) Trong F = a2(a2 + 1)(ab + 1) + b2(b2 + 1)(ab + 1) – 2ab(b2 + 1)(a2 + 1) = ab(a4 + b4 – 2ª2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) + (a2 + b2 – 2ab) www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 2 3 = ab(a – b ) + (a - b)(a – b ) + (a - b)2  Do đó: a 2 b 1  b 2 a 1  c 2ab   (1) ab  1 c 1 c Đẳng thức xảy a = b +  2c G    1 c 1 c 2(1  c)(1  c ) Trong G = 2(2(1+c2) + (1 + c)(1 + 2c2)) – 5(1 + c)(1 + c2) = 2(2 + 2c2 + + c + 2c2 + 2c3) – 5(1 + c + c2 + c3) = – 3c + 3c2 – c3 = (1 - c)3  c < (2) Từ (1) (2) suy P  Đẳng thức xảy a = b, c = tương đương với x = y = z giá trị nhỏ P www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với Thầy, Cô chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm đạt nhiều thành tích Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi anh chị tham gia đạt giải cao kì thi HSG Quốc gia năm trước Chương trình xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh kiến thức tối ưu kết học tập CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online học sinh: Mỗi lớp từ - 10 em để Giáo viên Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Thời gian học linh động, xếp hợp lý giúp em dễ dàng lựa chọn cho khung thời gian tốt để học Mỗi học chia thành nhiều buổi học (mỗi có tối thiểu buổi học): + Buổi huấn luyện viên hướng dẫn em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải tốn - ví dụ minh họa điển hình & tập tự luyện giáo viên cung cấp Trong trình học em trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với bạn học huấn luyện viên để nắm rõ hiểu sâu thêm vấn đề học + Buổi học tiếp theo: Sau nhà em làm tập tự luyện buổi học Huấn luyện viên đánh giá làm em sửa Trong trình sửa em thảo luận Online trực tiếp với HLV, bạn lớp để hoàn thiện làm mở rộng thêm dạng toán HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM - Các em không cần đến lớp, không cần lại thời gian, cơng sức, tiền Hãy chọn cho góc học tập yên tĩnh, tập trung 01 máy tính có kết nối internet chúng bắt đầu học Online trực tiếp lớp Mỗi tuần học buổi, có nhiều lớp học, ca học ngày giúp em hoàn toàn chủ động thời gian học tập Các chun đề ln mở giúp em học nhanh chương trình, thời gian ngắn Kết nối với thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp vấn đề nhanh - hiệu Được kết giao với bạn học khác học sinh yêu thích, đam mê giỏi tốn tồn quốc Học phí phù hợp Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ em suốt trình học www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | ... Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 20 16 - 20 17 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN – NĂM HỌC 20 14 – 20 15 Câu 1: (2 điểm): Tự vẽ (3 điểm): Phương... 1 c 1 c 2( 1  c)(1  c ) Trong G = 2( 2(1+c2) + (1 + c)(1 + 2c2)) – 5(1 + c)(1 + c2) = 2( 2 + 2c2 + + c + 2c2 + 2c3) – 5(1 + c + c2 + c3) = – 3c + 3c2 – c3 = (1 - c)3  c < (2) Từ (1) (2) suy P... 1) Trong F = a2(a2 + 1)(ab + 1) + b2(b2 + 1)(ab + 1) – 2ab(b2 + 1)(a2 + 1) = ab(a4 + b4 – 2? ?2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) + (a2 + b2 – 2ab) www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang |