Đề thi được biên soạn bởi trường THCS Nhĩa Đồng cung cấp cho giáo viên và học sinh một số bài tập nâng cao môn Toán lớp 9. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2019 - 2020 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ): Cho biÓu thøc: A = a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cđa A biÕt: Câu 2: ( 4,0 điểm ) vµ a Giải phương trình: b Cho hai số dương thỏa mãn: Chứng minh: Câu 3: ( 4,0 điểm ): a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120 c) Cho Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá tr ca bin: Bài 4: (5,0 im) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo b) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM c) Tia AM cắt BC G Chứng minh: Cõu 5: ( 2,0 điểm ): Cho ∆ ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hết./ Họ tên thí sinh: SBD: HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MƠN TỐN Câu Ý Nội dung cần đạt + §KX§: a>0; b>0 vµ + Ta cã Điểm 0,5 a 0,5 0,5 Vậy: b Ta cã: 5,0 0,5 1 vµ b = Suy Điều kiện: 0,5 0,5 0,5 a 2,0 0,5 Vậy nghiệm pt là: Với hai số dương ta có: 0,5 (Theo Bunhiacopski) b (Vì a Hay Với điều kiện ) ta có: 0,5 0,25 1,25 0,25 M= Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm, 0,25 Ta có: (vì x dương) 0,25 Và: (vì y dương) 1,25 0,25 0,25 Suy ra: M = Vậy giá trị lớn M b x = 2, y = B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) Mà 120 = 3.5.8 Mặt khác (3,5,8) = Nên B chia hết cho 120 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 c 1,25 1,5 0,25 Giá trị biểu thức không phụ thuộc giá trị x 0,5 + Hai tam giác ADC BEC có: chung a (Hai tam giác vuông CDE CAB ®ång d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c) Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 b c Ta có: (do giác AHD vuông vân H) ) mà (tam nên (do ) Do (c.g.c), suy ra: Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC Suy ra: , 0,5 0,5 1,5 1,5 0,5 0,5 mà 0,5 Do đó: 0,25 Kẻ AM AB ( M thuộc tia CI) Chứng minh ∆ AMI cân A MI = AI = Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMB vng A ta có AM2 =MH.MB (2 )2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = ( 2x – 5)(x + 4) = x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MB = 8cm Ta có AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44 AC = =2 cm AB = cm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 ... = Vậy giá trị lớn M b x = 2, y = B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) Mà 120 = 3.5.8 Mặt... giác ADC BEC có: chung a (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thi? ??t) Nên tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 0,5 2,0... ∆ AMB vng A ta có AM2 =MH.MB (2 )2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = ( 2x – 5)(x + 4) = x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MB = 8cm Ta có AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44 AC = =2 cm