Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2011-2012 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc, để quý thầy cô có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho quá trình ra đề thi cũng như đánh giá năng lực của học sinh, các em học sinh có thêm nguồn tư liệu ôn tập có hiệu quả hơn. Chúc quý thầy cô và các em học sinh tìm được nguồn tư liệu hay và bổ ích!

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) (2 x  3) x   (2 y  3) y   (2 x  3)(2 y  3)  y  x  xy Giải hệ phương trình:  Tìm tất hàm số f :  thoả mãn: f ( x  y )  f ( x)  y x, y  f ( x)   f    x x x  Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p , q cho  p  p  7q  4q  chia hết cho pq Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng đường  qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối tia CD tương ứng E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I1 , I I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Tiếp tuyến đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt  H Chứng minh H trực tâm tam giác I1 I I3 Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức L  a bc     a 2b c Câu (1,0 điểm) Tìm tất tập hợp X tập tập số nguyên dương thoả mãn tính chất: X chứa hai phần tử với m, n  X , m  n tồn k  X cho n  mk —Hết— Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ĐÁP ÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câ Điể Ý Nội dung trình bày u m 1 2,0 điểm (2 x  3) x   (2 y  3) y   (2 x  3)(2 y  3)   y  x  xy Điều kiện xác định: x  ; y  (2)  x  y (4 x  1)  (1) (2) 0,5 x y  x    y  thay vào (1) ta y x x y  (2 y  3)  (2 x  3)(2 y  3) y x (2 x  3) Do (2 x  3) x y  (2 y  3)  (2 x  3)(2 x  3) y x 0,5 0,5 Suy (1)  x(2 x  3)  y (2 y  3)  ( x  y )(2 x  y  3)   x  y thay vào (2) ta  x  (lo¹i) x  x    x   y   2 0,5 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  2 2 1,0 điểm Ta có: f  x  y   f  x   y  f ( y )  f (0)  y y   f ( x )  a  x với a  f (0) 0,25 1 1 f    f (0)   a  x  x x  x   f ( x ) f (0)  x a  x  x  Mặt khác f     x x2 x x Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 Trang | Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a ax  x   ax  a x   a  x x 0,25 Vậy f ( x )  x x  0,25 2,0 điểm p , q khác , Khơng tính tổng quát ta giả sử q  p Khi từ giả thiết 0,5 ta p  p  p 7q  4q  p TH1 p  p  p , theo định lí Fermat ta có: 0,5 p  p   mod p     mod p   p  TH2 7q  4q  p , ta có  p  1, q    tồn số nguyên dương u , v cho 1  p 1u qv   p  1 u   q  4q  mod p   qv  qv  mod p   1  p 1u 4  mod p  0,5    mod p     mod p   p  Với p  , từ giả thiết ban đầu ta được: 7  43  7q  4q  3q  9.31  7q  4q  3q  q  3, q  31 0,5 Vậy  p , q    3, 3 ,  31, 3 ,  3, 31 2,0 điểm A B I1 H K I3 E D L I2 C F Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD đường tròn  I1  cắt BC K đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD L, suy CKHL hình bình hành Do tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD  HL  AD  CK  AD  BC  BK  AB  CD  BK  AB  BK  CD  AH  HK  CD  AH  LC  CD  AH  DL Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 Trang | Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Suy tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I3 )     Vì FD  KH ; FH  HA nên đường phân giác HI1 góc AHK FI3 góc HFD vng góc với nhau; hay I1 H  I I3 (Do F , I , I thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, HI  EI hay I H  I1 I (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a 4 3 4  a·    a    3, dấu đẳng thức xảy a  a a 4 a b 9 1 9  b·    b    3, dấu đẳng thức xảy b  b b 2 b 0,5 0,5 0,5 16 16  16   c·    c    2, dấu đẳng thức xảy c  c c 4 c  3a b c      8 Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu 4 a 2b c c (1) a b 3c Mặt khác, a  2b  3c  20 nên    (chia hai vế cho 4) 4 0,5 (2)   13 a 2b c Dấu đẳng thức xảy a  2, b  3, c  Vậy giá trị nhỏ biểu thức L 13, đạt a  2, b  3, c  Cộng (1) (2), vế đối vế, ta L  a  b  c   1,0 điểm Giả sử tìm tập hợp X thỏa mãn m  n hai phần tử bé X Khi đó, cách xác định X nên tồn k  X cho n  mk Suy m  k  n k  m k  n Với k  n  n  m.n  m.n  vơ lí Với k  m  m  n  m3  m  +) Nếu | X | tập hợp X  m, m3 m    +) Nếu | X | , gọi q phần tử bé thứ ba X (tức m  n  q ) Khi tồn   X cho q  m Do q   nên   m   n Nếu   m q  m  n , vô lý Vậy   n  m3 q  m2  m7 Nhưng tồn t  X cho q  nt , t  m Mà m  m  m3  m  X , vô lý Vậy | X | X  m, m3 m    Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang | ...Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ĐÁP ÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác... x x Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 Trang | Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a ax  x   ax... DL Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm tập thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 Trang | Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Suy tứ giác ADLH ngoại