Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT thị xã Quảng Trị

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT thị xã Quảng Trị” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC Đề có 01 trang KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 10 THPT Khóa ngày 11 tháng năm 2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu (6,0 điểm): a Tìm tập xác định hàm số y  x  10  11  8x  x2 b Cho parabol  P  : y  x  x  Tìm giá trị k để đường thẳng  : y   k   x  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M , N cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm trục Oy Câu (4,0 điểm): a Giải phương trình x2  x   x  x   b Cho tam thức bậc hai f  x   2023x  bx  c , chứng minh f  x   với x   8092  c   2b  8092  c Câu (4,0 điểm): Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 12gam hương liệu, lít nước 315gam đường để pha chế hai loại nước A B Để pha chế lít nước A cần 45gam đường, lít nước 0,5gam hương liệu; để pha chế lít nước B cần 15gam đường, lít nước 2gam hương liệu Mỗi lít nước A nhận 60 điểm thưởng, lít nước B nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước loại để đội chơi số điểm thưởng lớn nhất? Câu (2,0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A(1;3) Gọi D điểm cạnh AB cho AB  AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm 1 3 M  ;   trung điểm HC Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm đường thẳng 2 2 có phương trình x  y   Câu (2,0 điểm): Cho tam giác ABC có cạnh 15 Lấy điểm M , N , P cạnh BC, CA, AB cho BM  5, CN  10, AP  Chứng minh AM  PN Câu (2,0 điểm): Một sa mạc có dạng hình chữ nhật ABCD có DC  25km , CB  20km P, Q trung điểm AD, BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn PQ lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABQP 15km / h , vận tốc ngựa phần PQCD 30km / h Tìm vị trí X để thời gian ngựa di chuyển từ A đến C nhất? -HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 10 NĂM HỌC 2022 – 2023 MƠN TỐN 10 Câu Nội dung 11 1a) Tìm tập xác định hàm số y  x  10  Điểm 3.0  8x  x Ta có hàm số xác định  8x  x2   1   Vậy D   1;9  1b) Cho parabol  P  : y  x  x  Tìm giá trị k để đường thẳng 2.0 1.0 3.0  : y   k   x  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M , N cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm trục Oy Phương trình hồnh độ giao điểm: x  k  6   x  x   x  kx   0(*)  cắt  P  hai điểm phân biệt M , N (*) có hai nghiệm phân biệt  k  16  0; k   x1  x2  k   x2  x1    ;    Gọi I trung điểm MN ta có I  k ( x1; x2 nghiệm (*) x1  x2  ) I  Oy  x1  x2 0k 0 1.0 0,5 0,5 0,5  k  (thỏa mãn) a) Giải phương trình x2  x   x2  x   0,5 2.0 3 Vì x  x    x     , x   2 4 nên phương trình ln xác định với 0.5 x Ta có: x2  x   x2  x    x2  x     x2  x     x  x  1  x  x    * Đặt t  x2  x  với t  Lúc phương trình * trở thành: t  2t  3t     t    KTM   2 Với t  suy 0.5  x  1 x2  x    x2  x    x  0.5 0.5 Vậy tập nghiệm phương trình S  1 ; 0 b) Cho tam thức bậc hai f  x   2023x  bx  c , chứng minh 2.0 f  x   với x  f  x   0, x   8092  c   2b  8092  c c   b  8092c  0,(*) (*)  4b2  32368c  8092  c    8092  c   2b  8092  c 0.5 Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 12gam hương liệu, lít nước 315gam đường để pha chế hai loại nước A B Để pha chế lít nước A cần 45gam đường, lít nước 0,5gam hương liệu; để pha chế lít nước B cần 15gam đường, lít nước 2gam hương liệu Mỗi lít nước A nhận 60 điểm thưởng, lít nước B nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước loại để đội chơi số điểm thưởng lớn nhất? Gọi x y số lít nước loại A B cần pha chế Khi đó, theo đề ta có hệ phương trình: x  y   x  y  45 x  15 y  315  0,5 x  y  12 1.5 4.0 1.0 Số điểm thưởng đội chơi nhận là: F(x;y) = 60x + 80y (điểm) Ta cần tìm GTLN F(x;y) với (x; y) thỏa mãn hệ Miền nghiệm hệ miền ngũ giác OABCD với A(0;6); B(4; 5); C(6; 3); D(7; 0) O(0; 0) 1.0 1.0 Tính giá trị F đỉnh đa giác ta có: F(0;6) = 480; F(4;5) = 640; F(6; 3) = 600; F(7; 0) = 420 F(0; 0) = So sánh giá trị ta có giá trị lớn F F(4; 5) = 640 Vậy cần pha chế lít nước loại A lít nước loại B để số điểm thưởng có lớn Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A(1;3) Gọi D điểm cạnh AB cho AB  AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm M  ;   trung điểm HC Xác định tọa độ 2 2 đỉnh C , biết đỉnh B nằm đường thẳng có phương trình 1.0 2.0 x y 7  Gọi F trung điểm BC Gọi E giao điểm CD với đường thẳng qua A song song với BC  AEBF hình chữ nhật  AEBF nội tiếp đường trịn (T ) có đường kính AB EF Ta có MF đường trung bình tam giác BHC  MF song song với BH  EMF  900  E, M , F nằm đường trịn đường kính EF  A, E, B, F , M nằm đường tròn (T )  AMB  900  AM  BM Vì B   d  : x  y    B(b; 7  b) Vì AM  BM  AM BM   b  4  B(4; 3) Do D nằm cạnh AB AB  AD  AB  AD  D(2;1)  Phương trình đường thẳng CD là: x  y    C(c; 1  c) 0.5 0.5 Do AB  AC   c  1   4  c   45   0.5 Cho tam giác ABC có cạnh 15 Lấy điểm M , N , P lần 2.0 c  7 C (7;6), (loai)  c  C (2; 3), (t/ m) 0.5 lượt cạnh BC, CA, AB cho BM  5, CN  10, AP  Chứng minh AM  PN Đặt AB  b, AC  c Khi BC  c  b b.c  b c cos600  225 0.5 Ta có AM  AB  BM  AB  BC  b  (c  b)  c  b 3 3 PN  AN  AP  c  b 15 0.5 Khi  1  2 1 1  AM PN   c  b   c  b   c  b  b.c      225    15  45 15 3  45 15  Suy AM  PN 0.5 0.5 Một sa mạc có dạng hình chữ nhật ABCD có DC  25km , CB  20km P, Q trung điểm AD, BC Một người cưỡi ngựa xuất 2.0 phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn PQ lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABQP 15km / h , vận tốc ngựa phần PQCD 30km / h Tìm vị trí X để thời gian ngựa di chuyển từ A đến C nhất? 0.5 0.5 0.5 0.5 Hết