Cùng tham gia thử sức với Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức Toán học căn bản. Chúc các em vượt qua kì thi học sinh giỏi thật dễ dàng nhé!
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MƠN: TỐN - KHỐI 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số f x 11x x 16 x Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 Câu (2,0 điểm) Cho a số thực Xét hai tập hợp: A ( x, y ) | x, y , x y a B ( x, y ) | x, y , x3 y a Tìm tất giá trị a để A B khơng có phần tử chung x 3x Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình x 4x x Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x x x x m Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thực Câu (2,0 điểm) Xác định dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác thỏa sin C mãn hệ thức sin A cos B Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thay đổi nằm đoạn AB, ( M khác A B ) Gọi H , K tương ứng hình chiếu vng góc M đoạn BC AC; G trọng tâm tam giác MHK Chứng minh đường thẳng MG qua điểm cố định 600 Các điểm M, N xác Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BAC định MC 2MB, NB 2 NA Tìm hệ thức liên hệ b, c để AM CN vng góc với 2 x xy y Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình x y x y Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức A xy yz zx z x y Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….…… …….…….; Số báo danh……………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN (Đáp án có 05 trang) ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM HỌC 2020-2021 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 11x Tìm tập xác định hàm số: f x 2,0 x 16 x x Hàm số xác định 16 x 0,5 x x 2 4 x x x 0,5 x 2 x 2 x 0 x 0,5 Tập xác định hàm số D 2;0 0; 0,5 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y x m 1 x cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2,0 Xét phương trình x 2(m 1) x * Để đồ thị cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn 0,5 x1 x2 (*)phải có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 , x2 ' S m P 0,5 x x m 1 Ta có x1 x2 0,5 x1 x2 x1 x2 x1 x2 16 m Vậy m 0,5 Cho a số thực Xét hai tập hợp: A ( x, y ) | x, y , x y a B ( x, y ) | x, y , x3 y a Tìm tất giá trị a để A B 2,0 khơng có phần tử chung A B với x, y thoả mãn x y a x y a Điều tương đương với x (a x)3 a x 0,5 Hay: 3ax 3a x a a (1) x Nếu a (1) với x Nếu a : (1) với x khi: 0,5 3a a a2 4 a 12 a ( a a ) a a Vậy giá trị cần tìm a là: a =0 a x 3x Giải bất phương trình x 4x x3 x2 x x Trường hợp 1: x x x2 4x x x Trường hợp 2: x 3x 0 1 x x x 3 x4 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 0 4; Tìm giá trị tham số m để phương trình x x x x m có nghiệm thực 0 x Phương trình 2 x x x x m Đặt t x x , t x 9 x , x 0;9 2 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 Phương trình trở thành: t 2t m 9 Xét hàm số f t t 2t 9, t 0; 2 0,5 Từ bảng biến thiên ta có: m 10 Xác định dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác sin C thỏa mãn hệ thức sin A cos B a sin A a b c 2R Áp dụng định lý hàm số sin: sin A sin B sin C sin C c 2R Áp dụng định lý hàm số côsin: b a c 2ac cos B cos B 0,5 2,0 0,5 a2 c2 b2 2ac 0,5 Theo giả thiết ta có: sin C c a a2 c2 b2 sin C 2sin A cos B sin A cos B 2R 2R 2ac a2 c2 b2 c c a c2 b2 a b a b c Vậy tam giác ABC cân C 0,5 0,5 Cho tam giác ABC Điểm M thay đổi nằm đoạn AB, ( M khác A B ) Gọi H , K tương ứng hình chiếu vng góc M đoạn BC AC; G trọng tâm tam giác MHK Chứng minh đường thẳng MG qua điểm cố định A 2,0 K M Q G I B H O P C MH MK Gọi I trung điểm HK , ta có MG MI MG 3 Kẻ MP //AC , MQ//BC ( với P BC , Q AC ) suy H trung điểm BP MB MP MA MQ K trung điểm AQ Do MG Tứ giác MPCQ hình bình hành MP MQ MC Do MA MB MC MG MO Gọi O tâm trọng tâm tam giác ABC , suy MG 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy MG qua trọng tâm O tam giác ABC 600 Các điểm M, N xác Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BAC định MC 2MB, NB 2 NA Tìm hệ thức liên hệ b, c để AM CN vng góc với Ta có: MC 2MB AC AM 2 AB AM AM AB AC Tương tự ta có: 3CN 2CA CB Vậy: AM CN AM CN AB AC 2CA CB 2,0 0,5 0,5 0,5 AB AC AB AC AB AC AB AC c 2b bc 2 2 2c 3b 4c 5bc 6b c 3 b 2 2 x xy y Giải hệ phương trình x y x y 1 2,0 x y x y Hệ phương trình 2 x y x y 1 0,5 u u 2v u x y v 2 Đặt Hệ trở thành: 2 u u v 1 v x y v 0,5 x 0; y 2 x y u Với x ; y v x y 2 7 x 2; y u 3 x y 3 Với x 10 ; y v x y 7 10 Vậy hệ có nghiệm x; y là: 2;1 ; 0;1 ; ; ; ; 7 7 7 Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá 10 0,5 trị nhỏ biểu thức A 2 xy yz zx z x y 0,5 2,0 xy yz zx Ta có A x y z z x y 0,5 0,5 Ta thấy 2 x y y z z x x2 y z xy yz zx, x, y, z * Đẳng thức xảy x y z 2 xy yz zx Áp dụng BĐT (*) ta x y z z x y 2 xy yz zx Khi A2 x y z x y z z x y xy yz zx Đẳng thức xảy xyz z x y Vậy giá trị nhỏ biểu thức A đạt x y z -Hết - 0,5 0,5 0,5 ... GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN (Đáp án có 05 trang) ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM HỌC 202 0-2 021 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có. .. chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 11x Tìm tập xác... 10 ; y v x y 7 10 Vậy hệ có nghiệm x; y là: 2;1 ; 0;1 ; ; ; ; 7 7 7 Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá 10