Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 847347

Tuyn thi HSG Toỏn Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: x2  x  a) Rót gän biÓu thøc: x  x  18 x  b) Cho yz xz xy 1    0( x, y, z  0) TÝnh   x y z x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia ®èi cđa c¸c tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳmg cắt AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + đề Câu Tìm sè cã ch÷ sè: a1a a thoà mÃn điều kiện a b sau: a) a1a 2a = a a  b) a 4a 5a 6a a  a a  C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phương trình: 1      2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) C©u Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F vµ E Chøng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 12x + 2y + 45 đề Câu 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + ThuVienDeThi.com b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z    (1) Câu 2: a Cho a b c a b c    (2) x y z x2 y z Tính giá trị biểu thøc A=   a b c b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca   2 2 a b c b c a c a b2 Câu 3: Tìm x , biÕt : x·1 x  10 x  19    (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: a.BM  EF b Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dương Tìm giá trị nhá nhÊt cña a b c P= (a+ b+ c) ( ).đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phương trình: x x  x 6 x 8    98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x 3x có giá trị nguyên 2x Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lÊy ®iĨm K cho BK = AC Gäi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A x  x  2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x ThuVienDeThi.com ®Ị 10  x   x2       : x   x2  x  x  3x x    Câu ( điểm ) Cho biểu thức A = a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 4x  x  5x  2 x 2x Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chøng minh ®iĨm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): x  3x  Cho biÓu thøc A = 2x Câu ( điểm) a, Chứng minh r»ng x  y  z  x  y   xy.x  y  z 3 1    x y z b, Cho Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tính A  yz xz xy   x2 y2 z2 ®Ị Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :  x2 1     x  x  x  1 M =   1 x4  x  1 x2     a) Rót gän b) T×m giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên A= x x  x  83 x 3 Bµi : điểm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x  + x  + x  = ThuVienDeThi.com Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song víi AB c¾t AI ë G Chøng minh : a) AE = AF vµ tø giác EGKF hình thoi b) AEF ~  CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay ®ỉi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 đề Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc: y = x ; ( x>0) ( x  2004) T×m x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất số nguyên x thoả mÃn phương trình: : ( 12x – ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 B, Giải bất phương trình: x Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b A, Chứng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi B, Chứng minh r»ng C, BiÕt SAOB = CA OC  DB OB 8a TÝnh CA ; DB theo a đề Bài 1( điểm) Cho biểu thøc : P  x2 y2 x2 y2   x  y 1  y  x  y 1  x  x  11  y  1.Rút gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài 2(2 điểm) Giải phương trình: 1 1    x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 Bài 3( điểm) Tìm giá trị lớn cđa biỴu thøc: M 2x  x2  ThuVienDeThi.com Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chøng minh  MAD c©n 3.TÝnh diƯn tÝch  MDC theo a Bài 5(1 điểm) Cho số a; b; c thoả m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : a2 + b + c2 ®Ị Câu (1,5đ) Rút gọn biểu thức : A = 1 1 + + +……… + 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) Câu (1,5đ) Tìm số a, b, c cho : Đa thức x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Câu (2đ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên x x Câu Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp x 14 x  x  36 tam gi¸c O Thì H,G,O thẳng hàng thức: A= 3 x  19 x  33 x  a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, Tìm giá trị biểu thức A có giá trị c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x  16)( x  9) víi x>0 x b, Giải phương trình: x+1+: 2x-1+2x =3 Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N điểm thuộc cạnh AB,BC,CA,AD cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x .a, X¸c định vị trí điểm K,L,M,N cho tứ giác MNKL cã diƯn tÝch mhá nhÊt .b, Tø gi¸c MNKL câu a hình gì? cần thêm điều kiện tứ giác MNKL hình chữ nhật Câu 4: Tìm dư phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 đề 10 Bài 1: (3đ) Cho phân thøc : M = x  x  x  x  3x  x  2x  a) T×m tập xác định M ThuVienDeThi.com b) Tìm giá trị x để M = c) Rút gọn M Bài 2: (2đ) a) Tìm số tự nhiên liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cđa hai ba số ta 242 b) Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B A = n3 + 2n2 - 3n + ; B = n2 -n Bài 3: (2đ) a) Cho số x,y,z Tho· m·n x.y.z = TÝnh biÓu thøc M= 1    x  xy  y  yz  z  zx b) Cho a,b,c độ dài cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1 1 1      abc bca cab a b c Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt O Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lƯ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm c) Chøng minh AP BN CM PB NC MA đề 11 Câu 1: ( 2,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tư: a/ x2 – x – (1 ®iĨm) b/ x3 x2 14x + 24 (1,5 điểm) Câu 2: ( điểm) Tìm GTNN : x2 + x + Câu 3: ( điểm) Chứng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n)  120 víi m, n Z Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho a > b > so s¸nh sè x , y víi : x= 1 a  a  a2 ; y= 1 b  b  b2 Câu 5: ( 1,5 điểm) Giải phương trình: x + x  + x  = 14 Câu 6: ( 2,5 điểm) Trên cạnh AB phía hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy 150 Chứng minh tam giác CFD tam giác ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A x  x  2007 , ( x khác 0) 2007 x ThuVienDeThi.com đề 10  x   x2       : x   x2  x  x  3x x     C©u ( ®iĨm ) Cho biĨu thøc... x55+x11+x+ cho x2-1 ®Ị 10 Bài 1: (3đ) Cho phân thức : M = x  x  x  x  3x  x 2x a) Tìm tập xác định M ThuVienDeThi.com b) Tìm giá trị x để M = c) Rút gọn M Bài 2: (2đ) a) Tìm số tự nhiên liên tiếp... dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy 150 Chứng minh tam giác CFD tam giác ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com