Cđ 5 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) - Các mệnh đề: “ A B ” “ A B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A>B hệ BĐT C>D C>D BĐT hệ BĐT A>B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D Tính chất: - A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số)  A  B  A.C  B.C ,  C     A  B  A.C  B.C,  C   -  (Nhân hai vế BĐT với số) A  B , C  D   A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều) - A  B, C  D  AC  BD,  A, C   - A  B  A n 1 B n1 2n A  B (Nhân hai BĐT chiều) 2n Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên lũy thừa) - A  B  A  B ,  A   a  b a b a  b (Khai hai vế BĐT) (Tính chất giá trị tuyệt đối) B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A 0 2 Bài 1: CMR : với x,y,z x  y  z  xy  yz  zx HD: 2 2 x  y  z  xy  yz  zx 0   x  y    y  z    z  x  0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z 2 Bài 2: CMR : với x,y,z x  y  z 2 xy  yz  zx   HD: x  y  z  xy  yz  zx 0   x  y  z  0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x+z=y x  y  z  2  x  y  z  Bài 3: CMR : với x,y,z HD: 2 x  1   y  1   z  1 0 Xét hiệu ta có:  , Dấu x=y=z=1 2 a b  a b      Bài 4: CMR : với a,b ta có : HD : a  b a  2ab  b  0 2a  2b   a  2ab  b  0 Xét hiệu ta có :  a  2ab  b 0   a  b  0 , Dấu a=- b 2 2 a b c  a b c    3   Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : HD: a  b  c a  b  c  2ab  2bc  2ac  Ta có:  3a  3b  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac  0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 0 2   a  b    b  c    c  a  0 , Dấu a=b=c  a  b  c a  b2  c  Bài 6: CMR : HD: 2 2 2 Ta có: 3a  3b  3c a  b  c  2ab  2bc  2ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 0 2   a  b    b  c    c  a  0 , Dấu a=b=c  a  b  2ab a  b2  Bài 7: CMR : HD: a  b  2 a b   2a  2b a  2ab  b2 Ta chứng minh:  a  b  2ab 0   a  b  0 , Dấu a=b  a  b  2ab  a  2ab  b 4ab   a  b  0 Ta chứng minh , Dấu a=b b2 a  ab Bài 8: Cho a,b,c số thực CMR: HD: 4a  b  4ab   2a  b  0 Ta có: Dấu b=2a 2 Bài 9: Cho a,b,c số thực CMR : a  b  ab  a  b HD: a  b2   ab  a  b 0  2a  2b   2ab  a  2b 0 Ta có: 2   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1 0   a  b    a  1   b  1 0 Dấu a=b=1 a  b2  c  d  e a  b  c  d  e  Bài 10: Cho a,b,c,d số thực CMR : HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae 0  4a  4b  4c  4d  4e2  4ab  4ac  4ad  4ae 0 2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e  0 2 2   a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  0 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e   1       9 Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR:  a   b  HD: b  a  a b   a b   a b    1        4      a  b   a  b  b a Ta có: VT  a b a b 5     5  2.2 9   a  b  a b  b a Dấu b a  xy x, y 0, CMR :    xy   Bài 12: Cho HD: x  y  xy 4 xy  x  xy  y 0   x  y  0 Ta có: , Dấu x=y 3 2 Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: a  b a b  ab HD: a  a 2b    b3  ab  0  a  a  b   b  a  b  0  Ta có: 2 a  b a  b    a  b      a  b  0  Dấu a=b 1   2 Bài 14: Cho a b 1, CMR:  a  b  ab HD:   1         0 2  a  ab  b  ab     Xét hiệu:   a  b  a  b  a  b    a    ab    b    ab  2 0  b  a   ab  1 0 2    ab   a  1  b  a  , Dấu a=b a.b=1 x2  y  z  t x  y  z  t  Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : HD: 2 2 2 2 Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt 0  x  y  z  4t  xy  xz  xt 0 2 2 2   x  xy  y    x  xz  z    x  xt  4t   x 0 Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2  b  c ab  ac  2bc Bài 17: CMR : HD: 2  a  4a  b  c    b  c  2bc  0 a  b  c  ab  ac  bc  Ta có: 2  a  4a  b  c    b  c  0   a  2a  2c  0 2 Bài 19: CMR : x  y  z 2 xy  zx  yz HD: 2  x  x  y  z   y  yz  z 0 Ta có: x  y  z  xy  yz  zx 0 2 x  x  y  z    y  z  0   x  y  z  0 x  y  z  2 x  xy  x  z  1 Bài 20: CMR : HD: 4 2 Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x 0 x  y  x y    x  xz  z    x  x  1 0 x 2 2  y    x  z    x  1 0 2 , Dấu x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a  b  c ab  bc  ca HD: 2 2 2 Ta có : a  b  c  ab  bc  ca 0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca 0 2   a  b    b  c    c  a  0 2 Bài 22: CMR : a  b ab HD: b b 3b b  3b   a  2a   0   a    0 2 4 2  Ta có: a  b  ab 0 2 Bài 23: CMR : x  xy  y 0 HD: y y2 y2 y  3y2  x  x   0   x    0 4   Ta có: a  a  b   a  c   a  b  c   b 2c 0 Bài 24: CMR : HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c 0 2 2   a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b c 0 a  ab  ac  x  x  x  y   y 0  x  xy  y 0 Đặt bc  y , Khi ta có: a Bài 25: CMR :  b   a  b   a  b3  HD: 4 6 3 Ta có: a  a b  a b  b a  2a b  b 3 3   a b  a b    a b  a b  0 2  a b  a  b   a b  b  a  0   a  b   a 3b  a 2b3  0  a 2b  a  b  0  a  b   a3  b3  2  a  b  Bài 26: CMR : HD: 3 4 4 Ta có: a  ab  a b  b 2a  2b  a  ab  b  a b 0 3 a  b3   a  b  0   a  b   a  a  b   b  b  a  0    a  b3   a  b   a  b  Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : HD: 3 2 Ta có: 2a  2b a  ab  a b  b a  ab  b  0 3  a  a b  b  ab 0 2  a  a  b   b  b  a  0   a  b   a  b  0 Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:  a  b3   a  b  HD: 3 2 Ta có: 4a  4b a  3a b  3ab  b 3  3a  3a b  3b  3ab 0 2 2  3a  a  b   3b  b  a  0   a  b   a  b  0   a  b   a  b  0 a  b3  abc ab  a  b  c  Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: HD: 3 2 Ta có: a  b  abc a b  ab  abc 2 3  a  a b  b  ab 0  a  a  b   b  b  a  0   a  b  a Bài 30: CMR: b 2  ab  a  b   a  b  0 HD: a  2a 2b  b ab  a  2ab  b  a3b  2a 2b  ab3 Ta có: 4 3   a  a b    b  ab  0  a  a  b   b  b  a  0   a Bài 31: CMR: HD:  b3   a  b  0   a  b   a  ab  b  0 a  b2  c a  b  c  2 2 2 Ta có: a  b  c  ab  ac 0  4a  4b  4c  4ab  4ac 0 2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a 0   a  2b    a  2c   2a 0 Bài 32: CMR: HD: a  b  c  d a  b  c  d  2 2 Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad 0  4a  4b  4c  4d  4ab  4ac  4ad 0 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a 0 2 2   a  2b    a  2c    a  2d   a 0 a  b  c   a  b  c  Bài 33: CMR: HD:  a  a    b2  b    c  c   34 0  Ta có: 1  1  1   a  a     b  b     c  c   0 4  4  4  2 1  1  1   a     b     c   0 2  2  2   4 Bài 34: CMR: a  b  4ab HD: 4 4 2 2 Ta có: a  b  4ab  0  a  b  2a b  2a b  4ab  0 2 a  b    a 2b  2ab  1 0   a  b    ab  1 0   Bài 35: CMR: x  x   HD: 2  x     x  x  1   x    x  1  Không xảy dấu x4  x   Bài 36: CMR: HD: 2 1  1 1   1   x  x     x  x   0  x     x   0 4  4 2  2   Ta có:  x Ta có:   Bài 37: CMR: x  x 1  x ( x  0) HD: x  x  x    x    x  x    x   x  x  x     Ta có: , Vì x >0  x  1  x    x  3  x    Bài 39: CMR: HD:  x  1  x    x    x  3  0   x  x    x2  x    0  t  1  t  1  0  t 0 , Dấu t=0 Đặt x  x  t , Khi ta có: Bài 40: CMR: x  x  x  x   HD: x3  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x  Ta có : x  x  x 1  x     ( ĐPCM) 2 Bài 41: CMR : a  4b  4c 4ab  8bc  4ac HD: 2 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac 0    a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c 0   a  b  c  0 3  a  b3  c   a  b    b  c    c  a  Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: 3 3 3 2 2 2 Ta có: 8a  8b  8c 2a  2b  2c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 3 2 2 2  6a  6b  6c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 0   3a  3a 2b    3a  3a c    3b3  3b a    3b3  3b 2c    3c  3bc    3c  3ac3  0 2 2 2  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a  0 2 2 2   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  0 2   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  0 a  b  c  a  b  c  24abc  Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: a  b3  c3   a  b   b  c   c  a  a  b3  c  24abc Ta có:   a  b   b  c   c  a  24abc  a  b 2 ab  b  c 2 bc  c  a 2 ca Vì  , Nhân theo vế ta ĐPCM x x2 y   3   x y Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: y y  x HD: Ta có: x x  y  x y 3 xy  x  y    y   xy  x  y   x y  xy  x  y  0 2 2 2   x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y  0   x  y  xy   x  y  xy  0   x  y x  xy  y  0 Bài 45: CMR : Nếu a  b 1 , HD: a  b3  1 1  a  b3 3a  3a  3  a     3 2 4  Ta có: b 1  a  b 1  3a  3a  a  2 Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab  bc  ca a  b  c HD: 2 2 2 a  b    b  c    c  a  0 Ta có: a  b  c  ab  bc  ca 0   a2  a 1 0 Bài 47: CMR : a  a  HD: 1 1   a  a   a  a     0, a a  a   a  a     0, a 4 4   Ta có: 4a  a  b   a  1  a  b  1  b 0 Bài 48: CMR : HD: 2 4a  a  b  1  a  1  a  b   b 0   a  ab  a   a  ab  a  b   b 0 Ta có: a  ab  a x x  x  y   y 0  x  xy  y 0  Đặt b  y Khi đó:   x  y  0 , 2a  a  1 x  y  2a  2ab  2a  b  b  2a  Dấu  x  y  2 xy x2  y2  Bài 49: CMR : HD:  x  y  2  x  y x  y  xy   x  y  0 x y     x  y2  2 xy  x  y  xy 4 xy   x  y  0 Ta có:  1   Bài 50: CMR : a b a  b , Với a,b > HD:  a  b  2 a  b  4ab   a  b  0  ab a  b   Ta có: Bài 51: CMR : HD: a  b ab  a  b  4 3 a  a  b   b3  a  b  0   a  b  Ta có: a  b  a b  ab 0  a  b4  a  b      Bài 52: CMR : HD: a  ab  b  0