BẤT ĐẲNG THỨC bộ 1 PHẦN 4 ( Có Đáp Án Chi Tiết)

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY THCS Câu Chứng minh bất đẳng thức a b 2c + + ≥ với a, b, c > b+c c+a a +b Hướng dẫn giải Gọi vế trái A Ta có: 2c 2c 2c 4c = ≥ = c + a + b a+b 2c + a + b 2c ( a + b ) Áp dụng bất đẳng thức ( 1) 1 + ≥ với x, y > ta có: x y x+ y  a   b  + ÷+  + 1÷  b+c  c+a   4( a + b + c)  = ( a + b + c)  + ÷≥ 2c + a + b b+c c+a ( 2) Từ ( 1) ( ) suy ( a + b + c ) + 4c = 4⇒ A≥ 2c + a + b Xảy đẳng thức a = b = c A+ ≥ Câu a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ( a + b ) ( a + c ) = Tìm giá trị lớn A = abc ( a + b + c ) b) Tìm giá trị nhỏ A = x y2 + với x > 0, y > y x + y2 Hướng dẫn giải Ta có ( a + b ) ( a + c ) = ⇒ a ( a + c ) + ab + bc = ⇒ a ( a + b + c ) + bc = ( 1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có A = a ( a + b + c ) bc ≤ a ( a + b + c ) + bc = =4 ⇒ A ≤ 16 A = 16 ⇔ a ( a + b + c ) = bc = b = c = b = c = ⇔ maxA = 16 khi, chẳng hạn  a + = a = 2 − b) Ta có x + y ≥ x, y dương nên 2 2x x 2x2 ≥ ⇒ ≥ y x + y2 y x2 + y x y2 x2 y2 A= + ≥ + =2 y x + y x2 + y2 x2 + y Vậy giá trị nhỏ A a = b 1 1 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A = ( x + y )  + ÷ với ≤ x ≤ x y ≤ y ≤ Hướng dẫn giải Do ≤ x ≤ nên Tương tự, y + ( x − 1) ( x − ) ≤ ⇒ x − 3x + ≤ ⇒ x + ≤3 x æ2 ö ≤ Suy ( x +y) +ỗ ỗ x +y ữ ữÊ y è ø 2 2 Ta lại có ( x + y ) +  + ÷ ≥ x y (1) 2 2 + ÷ = 2A x y ( x + y)  (2) Từ (1) (2) suy 2 A ≤ ⇒ A ≤ ⇒ A ≤ ⇒ A ≤ max A =  x = 1; y = ⇔  x = 2; y = Câu ( Đề thi thử vào 10 THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017-2018) Tìm GTNN biểu thức sau: P = x + x + (voi x > 0) x Hướng dẫn giải Bình phương hai vế ta P − 2Px + x = x + Vì P > nên phương trình (1) có nghiệm ⇔ 2Px − xp + = (1) x ∆ ≥ ⇔ P − 8P ≥ ⇔ P(P − 8) ≥ ⇔ P ≥ ( P > ) Dấu xảy x = (các em thay P = vào (1) để tìm x ) Vậy P = ⇔ x = Câu ( Đề thi thử vào 10 THCS Lương Thế Vinh Hà Nội 2019-2020) Cho a,b số dương thỏa mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( a + b- 2) ( a P = + b2 ) a +b Hướng dẫn giải ( a +b- 2) ( a Ta có P = + b2 ) a +b ỉ 2 ữ ữ =ỗ 1a + b2 ) vi ab = ỗ ( ữ ỗ ố a + b÷ ø Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có: a + b ³ ab = (1) a2 + b2 ³ 2ab = (2) Û - - ³ Û 1³ a +b a +b = Dấu “ = ” xảy Û Dấu “=” bất đẳng thức Cosi (1) (2) đồng thời xảy Do đó: P ³ ìï a = b Û ïí Û a =b= ïï ab =4 ỵ Vậy Pmin = Û a = b = Câu (Trích đề tốn học kì quận Hồng Mai năm 2018-2019) Tìm giá trị m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ F = (2x + y + 1)2 + (4x + my + 5)2 Hướng dẫn giải Ta có: (2x + y + 1)2 ≥ 0; (4x + my + 5)2 ≥ 0, suy F ≥ 2 x + y + = 4 x + y + = ⇔ ⇒ (m − 2) y + = Xét hệ   x + my + =  x + my + =   y = − m + Nếu m ≠ m – ≠ ⇒  suy F có giá trị nhỏ x = m −  − 2m + Nếu m = F = (2x + y + 1)2 + (4x + 2y + 5)2 = (2x + y + 1)2 + [2(2x + y + 1) + 3]2 Đặt 2x + y + = z 2  6 9 6 9  F = 5z + 12z + =  z + ÷ +  =  z + ÷ + ≥  25  5 5   −6 −11 − 2x , x ∈ R 2x + y + = hay y = 5 Vậy giá trị nhỏ F m ¹ F nhỏ Câu (Trích đề tốn vào 10 Chun Quảng Nam năm 2019-2020) Cho số dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xy yz zx P= + + ( 2x + z ) ( 2y + z ) ( 2y + x) ( 2z + x) ( 2z + y ) ( 2x + y ) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 10 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 2x + z ) ( 2y + z ) = ( x + x + z ) ( y + z + y) ≥ ( xy + zx + yz ) Do đó: xy = ( 2x + z) ( 2y + z ) Tương tự: xy ( 2x + z ) ( 2y + z ) ≤ xy ( xy + yz + zx yz yz ≤ ; ( 2y + x) ( 2z + x) xy + zx + yz ) = xy xy + yz + zx zx zx ≤ ( 2z + y) ( 2x + y ) xy + zx + yz Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: P ≤ xy + zx + yz xy + zx + yz =1 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy giá trị lớn P Câu Cho số thực a,b,c thỏa mãn ≤ a,b,c ≤ 2,a + b + c = Tìm GTLN GTNN P = a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Hướng dẫn giải a2 + b2 ≥ 2ab  2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có:  b + c ≥ 2bc c2 + a2 ≥ 2ca  a + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 ≥ ( 2ab + 2ac + 2bc) 2 2 ⇒ a + b + c ≥ ab + ac + bc ⇒ a2 + b2 + c2 = ( ) a2 + b2 + c2 ≥1 ab + bc + ca a = b = c ⇔ a= b= c= Dấu “=” xảy ⇔  a + b + c = Vậy MinP = 1khi a = b = c = Theo đề ta có: ≤ a,b,c ≤ ⇒ ( a − 2) ( b − 2) ( c − 2) ≤ ⇒P= ⇔ abc − 2( ab + ac + bc) + 4( a + b + c) − ≤ ⇔ abc − 2( ab + ac + bc) + 12 − ≤ ⇒ 2( ab + ac + bc) ≥ + abc ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ⇒P= −2 ab + ac + bc ( a + b + c) ⇔P= ab + ac + bc − 2≤ − 2= 2 11  a =  b + c = b =  abc = ⇔  a + c = Dấu " = " xảy ⇔  a + b + c =   c =  a + b =   ≤ a,b,c ≤ abc = 0,a + b + c = 3,0 ≤ a,b,c ≤ 2 Câu (Trích đề chuyên Bắc Ninh năm 2016-2017) Vậy MaxP = Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ M = 3a4 + 3b4 + c3 + ( a + b + c) Hướng dẫn giải Sử dụng AM-GM ta được: 3a4 + = a4 + a4 + a4 + ≥ 44 a12 = 4a3; Do đó: 3a4 + 3b4 + c3 + 4a3 + 4b3 + c3 M= ≥ 3 ( a + b + c) ( a + b + c) Ta dễ dàng ( ) a3 + b3 ≥ ( a + b) chứng minh 3b4 + = b4 + b4 + b4 + ≥ 44 b12 = 4b3 BĐT với a, b dương ( *) Thật vậy: ( *) ⇔ a3 + b3 ≥ ab( a + b) ⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ (đúng) Vậy (*) chứng minh Dấu “=” xảy a = b Áp dụng (*) ta được: M≥ ( a + b) + c ≥ ( a + b + c) ( a + b + c) 4a3 + 4b3 + c3 3 ( a + b + c) ≥ 4( a + b + c) 3 = Dấu “=” xảy a = b = 1, c = Vậy giá trị nhỏ M ( ) Chú ý: Bổ đề a3 + b3 ≥ ( a + b) thường hay sử dụng toán Câu (Trích đề chuyên Nam Định năm 2016-2017) Cho hai số a, b không âm thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh rằng: + 2a 1− 4b + ≥ 1+ 2a 1+ 4b 15 Hướng dẫn giải Ta có: 2+ 2a 1− 4b 1− 4b  1  P= + = + 1+ = + = 2 + ÷ 1+ 2a 1+ 4b 1+ 2a 1+ 4b 1+ 2a 1+ 4b  2+ 4a 1+ 4b  Với a, b, c dương ta có: 1 + ≥ (*) a b a+ b 12 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC thì:  1 1 = 4⇒ + ≥ Thậy vậy: ( a + b)  + ÷ ≥ ab a b a+ b ab  a b Vậy (*) chứng minh, dấu “=” xảy a = b Áp dụng (*) ta được:  1  8 P = 2 + ≥ = ≥ = (đpcm) ÷ + 4a + 1+ 4b 3+ 4( a + b) 3+ 4.3 15  2+ 4a 1+ 4b   a+ b = 11 13 ⇔ a = ;b = Dấu “=” xảy  8  + 4a = 1+ 4b Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x+3 x−2 x + x − +1 Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ A = Vì x−2 +3 = 1− x+3 x−2 x−2+3 x−2 +2 = = x + x − +1 x − + x − + x − ≥ ⇔ x − + ≥ ⇔ 1− ( ( )( x − + 1) ( x − +1 ) x − + 3) x−2 +2 2 ≥ ⇒ A = x = x−2 +3 3 Câu 10 (Trích đề chun Thái Bình năm 2015-2016) Cho x; y thỏa mãn x2 + y2 - 4x - = Chứng minh 10- £ x2 + y2 £ 10+ Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với x2 + y2 = 4x + (1) ( Ta có x2 - 4x - =- y2 £ Þ x - )( ) 6- x+ 6- £ Û 2- £ x £ 2+ Û 10- £ 4x + £ 10+ (2) Từ (1) (2), suy 10- £ x2 + y2 £ 10+ Câu 11 (Trích đề chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017) Xét số thực a, b, c không âm, khác thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Áp dụng BĐT : 1 + + (a + b)(4 + 5c) a + bc b + ac Hướng dẫn giải 1 + ≥ (∀x, y ≠ 0) x y x+ y Tacó : P= = 1 + + (a + b)(5c + 4) ≥ + (a + b)(5c + 4) a + bc b + ac ( a + b)(c + 1) 5c + c + (1 − c )(5c + 4) ≥ =4 +4 ≥8 (1 − c)(1 + c) c +1 c +1 13 Vậy minP = Đẳng thức xảy c = 0, a = b = Câu 12 (Trích Chuyên Đại học Vinh năm 2009 – 2010) Cho số thực x, y thỏa mãn: x > y > Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x+ y( x − y) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho ba số dương ta có: P = ( x − y) + y + ≥ y(x − y)  x −8y = 8y  x = 16 y  x=4    ⇔ ⇔ Đẳng thức xảy    8 y = y ( x − y )  y = 64  y =   Vậy minP = x = y = Câu 12 (Trích đề vào lớp 10 Bắc Giang 2017 – 2018) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức 2002 2017 Q= + + 2996a − 5501b a b Hướng dẫn giải Từ giả thiết 2a + 3b ≤ ta dự đoán đẳng thức xảy a = 2002 = 8008a, a 2017 = 2017b ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM sau: b Ta có Q = = , b = , lúc đó: 2002 2017 + + 2996a − 5501b a b 2002 2017 + 8008a + + 2017b − (5012a + 7518b) a b 1  1  = 2002  + 4a ÷+ 2017  + b ÷− 2506(2a + 3b) a  b  ≥ 2002.2 1 4a + 2017.2 b − 2506(2a + 3b) ( BDT CoSi ) a b ≥ 2002.4 + 2017.2 − 2506.4 = 2018 Do Q đạt giá trị nhỏ 2018 a = Câu 12 (Trích đề vào lớp 10 Cao Bằng 2017 – 2018) x + y = m Cho hệ phương trình:  ( m tham số) 2  x + y = −m + 14 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC b = Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) cho biểu thức P = xy + ( x + y ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải x+ y =m   2  x + y = −m + y = m−x  y = m−x y = m−x   ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 2  x + y = −m +  x + m − 2mx + x = −m +  x + ( m − x ) = −m + y = m−x y = m−x   ⇔ ⇔ 2 2 x − 2mx + 2m − =  x − mx + m − = Hệ phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình x − mx + m − = có nghiệm ( ) ⇔ ∆ = m − m − ≥ ⇔ m − 4m + 12 ≥ ⇔ 12 − 3m ≥ ⇔ m ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Với m thỏa mãn −2 ≤ m ≤ phương trình có nghiệm ( x; y ) Khi ta có: P = xy + ( x + y ) = ⇔P= 1 ( x + y ) − x + y  + ( x + y ) ( ) 1 m − ( − m2 + )  + 2m = ( 2m2 − ) + 2m  2 ⇔ P = m + 2m − = m2 + 2m + − = ( m + 1) − Nhận xét: ( m + 1) ≥ ∀m ∈ [ −2; ] , dấu xảy ⇔ m = −1 thỏa mãn điều kiện ⇒ P ≥ −4 Dấu xảy ⇔ m = −1 Vậy P = −4 m = −1 ( ) ( 2 Câu 13 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b + bc + c = − a ) 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = a + b + c +  + + ÷ a b c Hướng dẫn giải ( ) ( ) ) + 2bc + ( a + b ) + ( a 2 Từ giả thiết b + bc + c = − a ⇒ = ( a2 + b2 + c2 2 + c ) ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) ⇒ a+b+c ≤ 1 1 1  1 1    Ta có: T = a + b + c +  + + ÷ =  a + ÷ +  b + ÷ +  c + ÷ − ( a + b + c ) a b c a b c    15 ≥ 2.2 a 1 + 2.2 b + 2.2 c − = a b c Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ T a = b = c = Câu 14 Cho số dương x, y,z thỏa mãn x + y ≤ z Chứng minh rằng: (x  1  27 + y2 + z )  + + ÷≥ y z  x (ĐTTS lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) Hướng dẫn giải Từ giả thiết x + y ≤ z ⇒  z z  ≥1⇒ t ≥1  t = x+y x +   ( Ta có: ( x − y ) ⇔ x + y ≥ 2xy ⇔ x + y 2 2 ) ≥ ( x + y) ⇔x +y ( x + y) ≥ 2 1 2 1 + 2≥ ≥ = ⇒ + 2≥ 2 2 x y xy  x + y  ( x + y ) x y ( x + y)  ÷   Do đó:   1  ( x + y) 1 + ( x + y + z )  x + y2 + z ÷≥  + z2    z       ( x + y )   z     x + y     1 = +  8 +  ÷  =  + t ÷ + ÷ = + + 8t + ÷ t  2t    x + y     z    2 2 t  15t t 15t 27  = +  + ÷+ ≥5+2 + = 2 2t 2 2  2t z Đẳng thức xảy x = y = Câu 15 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ( 3a + 2b ) ( 3a + 2c ) = 16bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( a + b + c) P= a ( b + c) Hướng dẫn giải Từ giả thiết: ( 3a + 2b ) ( 3a + 2c ) = 16bc ⇔ 9a + 6a ( b + c ) = 12bc ≤ ( b + c ) a  a  ⇒  −3≤ ÷ +2 b+c b+c Đặt x = a ⇒ 3x + x − ≤ ⇔ < x ≤ b+c 16 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: ( a + b + c) P= a ( b + c) = a b+c 1  8 16  + + = x + + =  x + ÷+ + ≥ x + +2= b+c a x 9x  9x 9x   a =  Đẳng thức xảy  b + c ⇔ b = c = 3k , a = 2k , k >  b = c  xy ≥ Câu 16 Cho x, y số thực dương thỏa mãn   y≥3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + 2020 Hướng dẫn giải Ta có: P = x + y + 2020 = ( x + 1) + y + 2019 ≥ ( x + 1) y + 2019 ≥ + + 2019 = 2025 x + = y  Vậy giá trị nhỏ P 2025  xy = ⇔ x = 2, y =  y=3  Cách khác: Các giải khéo léo không giải bạn  xy ≥ tư sau: Từ giả thiết  ta dự đoán biểu thức P đạt giá trị nhỏ  y≥3 x = 2, y = Khi đó: x = P = x + y + 2020 = x + y để xuất xy y ta tách sau: 2 y y + y + 2020 ≥ xy + + 2020 ≥ + + 2020 = 2025 3 3 3 a ( b + c) + b2 ( a + c ) , a, b, c abc độ dài ba cạnh tam giác vuông ( c độ dài cạnh huyền) Câu 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (Trích đề thi HSG huyện Hương Sơn năm 2020) Hướng dẫn giải Vì c = a + b ≥ 2ab nên c ≥ 2ab 2 a ( b + c ) + b ( a + c ) ab ( a + b ) + c ( a + b ) a + b c 2 ab 2ab.c P= = = + ≥ + abc abc c ab c ab Ta có: ab + 2ab.c = ab + c = ab + c + c ab c c ab ab ( ) −1 c ab ≥2 ab c + c ab ( ) −1 2ab ab = 2+2 Vậy giá trị nhỏ P = + 17 Câu 74 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = a + b + c + Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b2 + b2 + c + c2 + a2 (Trích đề thi Chuyên Nghệ An năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Từ đẳng thức abc = a + b + c + ⇔ Đặt 1 + + + =1 ab bc ca abc x y z = ; = ; = ( x, y, z > 0) a y+z b z+x c x+ y Ta có: P = Mặt khác: + a2 + b2 2ab b2 + c2 + xy = ( x + z) ( y + z) c2 + a2 ≤ ≤ 2ab + 2bc + 2ca 1 x y  +  ÷ 2 x+ z y + z  Tương tự ta có: 2bc ≤ 1 y z  + ;  ÷ 2 y+ x z + x Cộng vế theo vế ta có: P ≤ 2ca ≤ 1 z x  +  ÷ 2 y + z y + x 2 Dấu xảy x = y = z = Hay a = b = c = Câu 75 Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ a − a + ab − b − b + bc + c + c + ac + (Trích đề thi Chuyên Nghệ An năm 2018-2019) Hướng dẫn giải Ta có: ( a − 1) (a + a + 1) ≥ ⇔ ( a − 2a + 1) ( a + a + 1) ≥ ⇔ a − a3 − a + ≥ ⇔ a − a3 + ≥ a ⇔ a − a + ab + ≥ ab + a + 1 ⇔ ≤ ab + a + a − a + ab + Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: 1 1 ≤ ; ≤ 4 bc + b + c − c + ac + ac + c + b − b + bc + Như 1 1 1   + + ≤  + + ÷ ab + a + bc + b + ac + c +  ab + a + bc + b + ac + c +  (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số) Lại có VT ≤ 50 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 a ab      + + + + ÷ =  ÷  ab + a + bc + b + ac + c +   ab + a + abc + ab + a a bc + abc + ab  a ab   =  + + ÷=  ab + a + 1 + ab + a a + ab +  Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 76 Cho a, b, c số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 P = ( a + b) + b2 ( b + c) + c 4a (Trích đề thi Chuyên Nghệ An năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có: P = a2 ( a + b) + b2 ( b + c) + c 1 c = + + 4a ỉ bư2 ổ c ử2 4a ữ ỗ ỗ ữ ữ 1+ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ1 + bứ ữ è ÷ è b c Đặt x = , y = ( x, y > 0) a b Thay vào ta được: P = Ta chứng minh: ( 1+ x) ( 1+ x) + + ( 1+ y) 2 ( 1+ y) ³ + 1 + xy xy ( *) Thật vậy: ( *) Û ( 1- xy) + x ( x - y) ³ (luôn với " x, y > 0) Từ (*) suy ra: P ³ P = æ 1 xy + xy 1 ÷ ÷ + ị P ỗ + = ỗ ữ ỗ ữ + xy 4 ứ 4 è1 + xy Û x =y =1 a = b = c Câu 77 Cho x,y,z > thỏa mãn x ≥ z Chứng minh rằng: Vậy giá nhỏ P y2 xz x + 2z + + ≥ y + yz xz + yz x + z (Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm 2017-2018) Hướng dẫn giải 51 y2 2z 1+ xz y2 x + 2z yz x + + = + + Ta có P = xz z y y + yz xz + yz x + z +1 + +1 yz x yz xz yz x y 2z y 1+ a2 b2 + 2c x z = + + = + + , y x z b + a2 + 1 + c2 +1 +1 1+ z y x a = x y z ,b = ,c = y z x Nhận xét a b = ( a , b, c > ) x = ≥ ( x ≥ z ) z c2 2 2 2 a2 b2 2ab a ( a + 1) ( ab + 1) + b ( b + 1) ( ab + 1) − 2aba ( a + 1) ( b + 1) + − = Xét b + a + ab + ( a + 1) ( b + 1) ( ab + 1) ab ( a − b ) + ( a − b ) ( a − b3 ) + ( a − b ) = (a + 1) ( b + 1) ( ab + 1) ≥0 a2 b2 2ab + ≥ = c = Do b + a + ab + 1 + 1 + c c ( ( ( 1) ) Đẳng thức xảy a = b ( )) ( 2 2 + 2c 2 + c + ( + c ) + 2c − ( + c ) + c Khi + − = + c c2 + 2 ( + c ) + c2 ( 1− c) − 3c + 3c − c3 = = ≥0 2 ( + c ) ( + c ) ( + c ) ( + c2 ) ( ) ) ( c ≤ 1) ( ) Từ ( 1) ( ) suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a = b, c = ⇔ x = y = z Câu 78 Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = + x + y3 xy (Trích đề thi HSG lớp Thanh Hóa năm 2013-2014) Hướng dẫn giải Ta có: B = − 2xy + = + = xy − 3xy xy xy(1 − 3xy) (x + y) − 3xy(x + y) (x + y) = 4 Gọi Bo giá trị B, đó, ∃ x, y để: Theo Côsi: xy ≤ Bo = − 2xy ⇔ 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + = (1) xy(1 − 3xy) 52 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC  Bo ≥ + Để tồn x, y (1) phải có nghiệm xy ⇔ ∆ = Bo2 – 8Bo + ≥ ⇔   Bo ≤ − Để ý với giả thiết tốn B > Do ta có: Bo ≥ + + Bo + ⇒ x(1 − x) = + Với Bo = + ⇒ xy = 6B = o 6( + 3) 6( + 3) ⇔ x2 − x + + = ⇔ x = 6( + 3) 3 −1 1− −1 3 ,x = 2 1+ Vậy, Bmin = + , đạt x= 1− x= 1+ 3 −1 1− − 3 , y= 2 3 −1 1+ −1 3 , y= 2 Câu 79 Tìm GTNN GTLN xy biết x y nghiệm phương trình : x + y − = xy ( − 2xy ) ( 1) Hướng dẫn giải Ta có: x + y4 − = xy ( − 2xy ) ( ⇔ xy + = x + y ) ≥ 4x y Đặt t = xy bất phương trình trở thành: 4t − t − ≤ ⇔ ( t − 1) ( 4t + 3) ≤ ⇔ − ≤ t ≤  x = y2 3  Vậy GTNN xy − ⇔  ⇔ x = −y = ±  xy = −  x = y2 ⇔ x = − y = ±1 GTLN xy ⇔   xy = Câu 80 Tìm GTNN GTLN A = xyz biết x, y z nghiệm phương trình : x + 2y + 2x z + y z + 3x y z = ( 2) Hướng dẫn giải ( ) ( ) 2 2 2 2 Ta có: ( ) ⇔ x + y z + y + x z + 3x y z = Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: A + A + 3A ≤ ⇔ A + A − ≤ ⇔ ( A − 1) ( A + ) ≤ ⇔ A ≤ ⇔ −1 ≤ A ≤ Vậy giá trị nhỏ A -1 số x, y, z (hoặc -1), số lại -1 53 Giá trị lớn A hai ba số x, y, z (hoặc -1), số lại ( ) ( ) Câu 81 Cho x, y số thực thoả mãn x2 x2 + 2y2 − + y2 − = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C = x2 + y2 (Trích đề thi Chun Ninh Bình năm 2013-2014) Hướng dẫn giải Ta có: ( )( ) x2 x2 + 2y2 − y2 − = ⇔ x4 + 2x2y2 − 3x2 + y4 − 4y2 + = ( ) ⇔ x4 + 2x2y2 + y4 − x2 + y2 + x2 + = ( ) ( ) ⇔ x2 + y2 − x2 + y2 + = − x2 ≤ ∀x Với x + y = C ta có C − 4C + ≤ ⇔ C2 − 4C + ≤ ⇔ ( C − ) ≤ ⇔ C − ≤ ⇔ −1 ≤ C − ≤ ⇔ ≤ C ≤ x = x = x = x =  C = ⇔ ⇔ C =1⇔  ⇔ ;    2 y = ± x + y =   x + y =  y = ±1 Vậy minC = x = y = ±1 ; maxC = x = y = ± Câu 82 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức 4a2 + (b − c)2 4b2 + (c − a)2 4c2 + (a − b)2 + + ≥ 2a2 + b2 + c2 2b2 + c2 + a2 2c2 + a2 + b2 (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Hướng dẫn giải Ta có: 4a2 + (b − c)2 2(2a2 + b2 + c2) − (b + c)2 (b + c)2 = = − 2a2 + b2 + c2 2a2 + b2 + c2 2a2 + b2 + c2 Làm tương tự cộng lại ta bất đẳng thức tương đương với: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + ≤ 2a2 + b2 + c2 2b2 + c2 + a2 2c2 + a2 + b2 2 x + y) Áp dụng BĐT AM-GM – Schwarz cho số dương x + y ≥ ( , ta có: m n m+ n (b + c)2 b2 c2 ≤ + 2a2 + b2 + c2 a2 + b2 a2 + c2 Ta có hai BĐT tương tự, cộng vế ta có: 54 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + 2a2 + b2 + c2 2b2 + c2 + a2 2c2 + a2 + b2  b2 c2   c2 a2   a2 b2  ≤ + + + + + ÷  ÷  2 2 2 2 2 2÷ a + b a +c   b +c a +b   c +a c +b   b2 a2   c2 b2   a2 c2  = + + + + + 2 2÷  2 2÷  2 2÷ a +b a +b  b +c c +b  a +c a +c  =3 ⇒ BĐT cho chứng minh Dấu xảy a = b = c b2 c2 25 Câu 83 Cho a,b,c > 0; a + b + c ≥ , tìm GTNN của: A = a2 + + +3 + + a b c (Trích đề thi Chuyên Hải Phòng năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta được:  b2 c2  b2 c2 2( a + b + c) + ÷( 1+ 3+ 5) ≥ ( a + b + c) ⇒ a2 + + ≥ a + 5  25 ( 1+ 3+ 5) 81 25 27 + + ≥ = ⇒3 + + ≥ a b c a+ b+ c a+ b+ c a b c a+ b+ c Do đó: b2 c2 25 2( a + b + c) 27 A = a2 + + +3 + + ≥ + a b c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c 27 27 a+ b+ c 27 27 + + + ≥ + 33 2 a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c 9 27 = + = + = 15 2 Dấu “=” xảy a = 1, b = 3, c = Vậy giá trị nhỏ A 15 Câu 84 Cho a, b, c dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ = biểu thức P = 1 + + 4x − yz + 4y − zx + 4z − xy + 2 (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có 1 1 = = = 4x − yz + 4x − yz + 2(xy + yz + zx) 4x + 2xy + yz + 2zx ( 2x + y) ( 2x + z ) Tương tự, ta có S = + + ( 2x + y) ( 2x + z ) ( 2y + z ) ( 2y + x) ( 2z + x) ( 2z + y ) 55 ⇔ S= yz xy xz + + ( 2xz + yz ) ( 2xy + yz ) ( 2xy + xz ) ( 2yz + xz ) ( 2yz + xy ) ( 2xz + xy ) a + b) Với a,b ta có ( a − b) ≥ ⇒ ( a + b) ≥ 4ab ⇒ ab ≤ ( Áp dụng bất đẳng thức ta được: S≥ yz ( 2xy + 2yz + 2zx) xz + ( 2xy + 2yz + 2zx) ⇒ S≥ + xy ( 2xy + 2yz + 2zx) xy + yz + zx ( 2xy + 2yz + 2zx) = xy + yz + zx = 2 Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ S Câu 85 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện ( x − y ) ( x − z ) = y ≠ z Chứng minh: ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ≥4 Hướng dẫn giải Ta có: ( x − y) + ( x − z) = ( y − z ) + 2( x − y ) ( x − z ) + = ( x − y) ( z − x) ( x − y) ( x − z ) ( x − y) ( x − z) ( y − z) = + ( x − y) ( x − z) ( x − y) ( x − z) 2 2 2 2 2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: ( y − z) + + ≥ ( x − y ) ( y − z) ( z − x) ( x − y ) ( x − z ) 1 2 2 AM − GM + + ( x − y ) ( x − z ) ( z − x) ≥ ( x − y) ( x − z) = Câu 86 Cho x, y hai số dương Chứng minh rằng: x y+y x x+ y − x+ y ≤ (Trích đề thi Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x+ ≥ x ( 1) ; y+ ≥ y ( 2) ; x + y ≥ xy ( 3) 56 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ x+ y Cộng theo vế (1) (2): x + y + ( 4) Nhân theo vế (3) (4): ( x + y) + 21 ( x + y) ≥ xy x + y ( 5) Chia vế (5) cho 2( x + y ) được: ( ) x+ y x y + y x x+ y x+ y + ≥ ⇒ − ≤ (đpcm) x+ y x+ y Câu 87 Cho số x, y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( 2x + y) ( x + 2y) − 2 P= + + 3( x + y ) ( 2x + y) + − ( x + 2y ) + − Dấu “=” xảy x = y = (Trích đề thi Chuyên Phú Thọ năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Đặt 2x + y = a, x + 2y = b sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: 2 ab P= + + − 3 a + 1− b + 1− a + b = ≥ ( a + 1) ( a 2 ) − a+ − ab − ( b + 1) b2 − a + − a + b + ( ) + 2 ab 4 ab + + − = 2+ 2+ − 4 a + 1+ a − a + b + 1+ b − a + b ab a ab −1 −1 2 ab ≥ + − ab ab Đặt t = ab Ta chứng minh: Thật vậy: ( *) ⇔ ( t − 2) (t ) t2 + − ≥ (*) t2 t + 4t + ≥ Vậy P ≥ Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ P Câu 88 Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: xy yz x2 + y2 + z2 zx + + ≤ x2 + yz + zx y2 + zx + xy z2 + xy + yz xy + yz + zx (Trích đề thi Chuyên Bình Thuận năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta có: xy y2 + yz + zx xy y2 + yz + zx xy ≤ ≤ x2 + yz + zx x2 + yz + zx y2 + yz + zx ( xy + yz + zx) ( ( )( ) ) ( ) 57 ( ) ( yz z2 + zx + xy zx x2 + xy + yz yz zx ≤ ; ≤ Tương tự: y + zx + xy ( xy + yz + zx) z + xy + yz ( xy + yz + zx) ( ) ) x2 + y2 + z2 ( xy + yz + zx) x2 + y2 + z2 xy yz zx + + ≤ = Suy 2 xy + yz + zx x + yz + zx y2 + zx + xy z2 + xy + yz ( xy + yz + zx) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Câu 89 Cho hai số thực a, b lớn Chứng minh rằng: 11 + 3ab + ≥ a b − 1+ b a − (Trích đề thi Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có: a b − ≤ a b − 1+ ab = 2 Tương tự: b a − ≤ b a − 1+ ab 6 = ⇒ ≥ 2 a b − + b a − ab Dấu “=” xảy a = b = Q= a b − 1+ b a − + 3ab + ≥ 18 + 3ab + = + 3ab + ab 3ab Đặt y = 3ab + ⇒ 3ab = y2 − Khi đó: Q≥ AM − GM 18 18 3 11 + y = + (y − 2) + (y + 2) + ≥ 33 18 + = (y + 2)(y − 2) 4 4 y −4 Dấu “=” xảy y = hay a = b = Câu 90 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 + 6a + b2 + 6b + c2 + 6c + M= + + a2 + a b2 + b c2 + c (Trích đề thi Chuyên Bắc Ninh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 a2 + 6a + 3a + + 6a − 2a AM −GM 6a + 6a − 2a2 12a − 2a2 14 = = = −2 2 2 ≥ a+ a +a a +a a +a a +a b2 + 6b + 14 c2 + 6c + 14 Tương tự: ≥ − 2; ≥ −2 b+ c+ b2 + b c2 + c Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta được: a2 + 6a + b2 + 6b + c2 + 6c +  1  M= + + ≥ 14 + + ÷− 2 a +a b +b c +c  a + b + c + 1 9 ≥ 14 − ≥ 14 − = 15 a+ b+ c+ 3+ Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 91 Cho x, y số thực dương nhỏ 1.Tìm giá trị lớn biểu thức: 58 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Q= xy ( 1− x − y ) ( x + y) ( 1− x) ( 1− y ) (Trích đề thi Chuyên Tây Ninh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: x+ y x+ y x+ y ( x + y ) ( 1− x) ( 1− y ) ( x + y ) ( 1− x − y + xy ) x + y = = = + = + Q xy 1− x − y xy 1− ( x + y ) xy ( 1− x − y ) xy ( 1− x − y ) Đặt t = x + y, ta được: 4( x + y ) x+ y x+ y x+ y x+ y 4 t = + ≥ + = + = + Q xy 1− ( x + y ) ( x + y ) 1− ( x + y ) x + y 1− ( x + y ) t 1− t Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( 2+ 1) − 1= − 1= ⇒ Q ≤ 1 t 22 = + = + − 1≥ Q t 1− t t 1− t t + 1− t Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn Q 2017 2018 + + ≤1 1+ a 2017 + b 2018 + c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = abc Câu 92 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: (Trích đề thi Chuyên Hà Tĩnh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: 2017 2018 2018 2017 + + ≤ 1⇒ 1− ≥ + 1+ a 2017 + b 2018 + c 2018 + c 1+ a 2017 + b AM − GM c 2017 2017 ⇔ ≥ + ≥ 2018 + c 1+ a 2017 + b 1+ a 2017 + b Tương tự: b 2018 a 2017 2018 ≥2 ; ≥2 2017 + b 1+ a 2018 + c 1+ a 2017 + b 2018 + c Nhân theo vế ta được: abc 2017.2018 ≥8 ⇔ abc ≥ 8.2017.2018 ( a + 1) ( 2017 + b) ( 2018+ c) ( a + 1) ( 2017 + b) ( 2018+ c) Dấu “=” xảy a = 1,b = 2017,c = 2018 Vậy giá trị lớn P 8.2017.2018 Câu 93 Cho số thực dương x, y thỏa mãn xy + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x =1 x 4x + + 15xy y 3y (Trích đề thi Chuyên Bắc Giang năm 2017-2018) 59 Hướng dẫn giải Tách áp dụng BĐT AM-GM ta được: y x x 4 P= + + + 3xy + 12xy + − x y 3y 3 ≥2 y x x 4 + .3xy + 12xy − x y 3y 3 2 x = 2x + + xy ≥ 2x + xy = + xy = 3 3 Dấu “=” xảy x = y = ≥ + 2x + xy − Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Câu 94 Chứng minh rằng: x + 2xy + 4xyz ≤ (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:  1 x + 2xy + 4xyz = x + x.4y  z + ÷ 2  2  1 3 1 ≤ x + x. y + z + ÷ = x + x  − x + ÷ 2 2  2 = x + x ( − x) = x − + x ( − x) + 2 ( ) = ( x − 2) 1+ x2 − 2x + = ( x − 2) ( x − 1) + 2 Do x + y + z = ⇒ < x < ⇒ x − < Vì thế: x + 2xy + 4xyz ≤ ( x − 2) ( x − 1) + ≤ (đpcm) Dấu “=” xảy x = 1,y = ,z = Câu 95 Cho số dương a, b, c Chứng minh: a b c a+ b+ c + + + ≥4 2 b c a a + b + c (Trích đề thi Chuyên Hà Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( a + b + c) + ab + bc + ca a2 b2 c2 a+ b+ c VT = + + + ≥ ab bc ca a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 2+ ab + bc + ca a2 + b2 + c2  a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 = + + + +2 ÷  2( ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ÷ 2( ab + bc + ca)   = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: 60 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca + +2 2( ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 VT ≥ 33 + + = ( dpcm) 2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 96 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b + ac c + ab a + bc = (Trích đề thi Chuyên Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: a + c a + 2b + c a + 2b + c = ⇒ b + ac ≤ 2 2 a a 2 2a 2a ≥ ⇒ ≥ = ≥ a + 2b + c a + 2b + c 4( a + 2b + c) a + 2b + c + b + ac b + ac b + ac ≤ b + ⇒ Mặt khác: a + b + c ≥ 33 abc ≥ ⇒ Do đó: 4 2a 12 2a a + b + c) ≥ ⇒ ≥ ( a + 2b + c + 7a + 10b + 7c  a b c  VT ≥ 12  + + ÷  7a + 10b + 7c 7b + 10c + 7a 10a + 7b + 7c  ( a + b + c) + c ) + 17( ab + bc + ca) ≥ 12 ( a2 + b2 Mặt khác: ( ) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 17( ab + bc + ca) ≤ 8( a + b + c) ⇒ ( 12 ( a + b + c) ) a + b + c + 17( ab + bc + ca) 2 ≥ 12 ( a + b + c) 8( a + b + c) 2 = 2 ( dpcm) Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 97 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( 1+ a) P= + b2 + ab + a + ( 1+ b) + + c2 + ( 1+ c) + + a2 + bc + b + ca + c + (Trích đề thi Chuyên Quảng Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: ( 1+ a) + b2 + a2 + b2 + 2a + 2ab + 2a + 2( ab + a + 4) − 2 = ≥ = = 2− ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + 61 ( 1+ b) 1+ c) + a2 + ( 2 Tương tự: ≥ 2− ; ≥ 2− bc + b + bc + b + ca + c + ca + c +  1  + + Do đó: P ≥ − 2 ÷ = − 2Q  ab + a + bc + b + ca + c +  Với x, y dương ta có: ( x − y) 2 + c2 + ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ 4xy ⇔ x+ y 1 1 1  ≤ ⇔ ≤  + ÷ (*) x + y 4xy x + y 4 x y  Dấu “=” xảy x = y 1 1 1 = ≤  + ÷ Áp dụng (*) ta được: ab + a + ( ab + a + 1) +  ab + a +  Tương tự: 1 1 1 1 ≤  + ÷; ≤  + ÷ bc + b + 4  bc + b +  ca + c + 4  ca + c +  Do đó: 1 1  1 1  Q≤  + + + 1÷⇒ 2Q =  + + + 1÷  ab + a + bc + b + ca + c +   ab + a + bc + b + ca + c +  1 1  ⇒ P ≥ 6−  + + + 1÷  ab + a + bc + b + ca + c +  1 c ac  = 6−  + + + 1÷  abc + ac + c bc.ac + abc + ca + c +  1 c ac  = 6−  + + + 1÷  ca + c + ca + c + ca + c +  = − 2 =5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 98 Cho x;y;z ba số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y(y − z) = Tìm giá trị y3 x2 + y2 + x3 nhỏ biểu thức P = 2 + 2 + x+ y x +z y +z (Trích đề thi Chuyên Hải Phòng năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi x3 xz2 xz2 z = x − ≥ x − = x− 2 2 2xz x +z x +z y3 z x2 + y2 + Tương tự 2 ≥ y − Suy P ≥ x + y − z + y +z x+ y Theo gt z = x2 + y2 ⇒ P ≥ x+ y + ≥ x+ y x+ y Vậy Pmin = ⇔ x = y = z = 62 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 2+ x) ( y − 1) = 94 Câu 99 Với x, y cá số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17 (Trích đề thi Chuyên Hưng Yên năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: A = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17 = 1+ ( x + 1) + 1+ ( y − 2) 4 Đặt a = x + 1, b = y − , ta A = 1+ a4 + 1+ b4 Từ giả thiết ta được: ( a + 1) ( b + 1) = Theo AM – GM ta có:  4a2 + 1≥ 4a ⇒ a2 + b2 ≥ a + b − (1)  2  4b + 1≥ 4b a + b2 ≥ ab Cộng theo vế (1) (2) ta được: a2 + b2 ≥ 2ab ⇒ ( ) ⇔ a + b + ab = 4 ( 2) a + b2 ≥ a + b + ab − = − = ⇒ a2 + b2 ≥ 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: ( ) ( 1+ 1) + ( a A = 1+ a4 + 1+ b4 ≥ + b2 ) = (a + b2 ) +4  1 17 ≥  ÷ +4=  2 1 ⇔ x = − ,y = 2 17 Vậy giá trị nhỏ A Câu 100 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = Dấu “=” xảy a = b = 2x2 + y2 + z 2y + z2 + x2 2z2 + x2 + y2 + + ≥ 4xyz Chứng minh − yz − zx − xy (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015) Hướng dẫn giải Chứng minh được: x + y + z ≥ x ( y + z ) 2 2 2 2 Tương tự ta có y + z + x ≥ y ( z + x ) , z + x + y ≥ z ( x + y ) Do ta chứng minh x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy 63 Bất đẳng thức tương đương với y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy yz y+z ≥ = ( − yz ) yz − yz + yz yz − yz ( Ta có ( < − yz Vậy nên ) yz = − )( ( ) ) ( xy − + ≤ nên ( − yz y+z ≥ , tương tự có ( − yz ) yz + yz ) ) ( yz + yz ( yz + yz ) ), ≥ dễ có + yz z+x ≥ ( − zx ) zx + zx x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy Do y+z z+x x+y 1 + + ≥ + + ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx Với a, b, c>0 có ( a + b + c )  1 1 a b b c c a + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + + = nên a b c b a c b a c  1 + + ≥ (*) a b c a +b+c Áp dụng (*) ta có + xy + + yz + + zx + xy + yz + zx x+ y y+z z+x + + = x + y + z = ) 2 (Vì xy + yz + zx ≤ Vậy y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Do ta có ≥ x2 + y + z 2 y + z + x2 z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Đẳng thức xảy x = y = z = 64 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ 1; ... abc = ta ( 1+ a) ( 1+ b) ( + c) = ( 1+ a) + ( 1+ b) + ( 1+ c) Û Đặt x = 1 + ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ a) ( 1+ c) + =1 ( 1+ b) ( 1+ c) 1 ;y = ;z = , ta thu xy + yz + zx = 1+ a 1+ b 1+ c Biểu thức M viết... rằng: + 2a 1? ?? 4b + ≥ 1+ 2a 1+ 4b 15 Hướng dẫn giải Ta có: 2+ 2a 1? ?? 4b 1? ?? 4b  1  P= + = + 1+ = + = 2 + ÷ 1+ 2a 1+ 4b 1+ 2a 1+ 4b 1+ 2a 1+ 4b  2+ 4a 1+ 4b  Với a, b, c dương ta có: 1 + ≥ (* ) a... + ( a + 1) ( b + 1) ( ab + 1) ab ( a − b ) + ( a − b ) ( a − b3 ) + ( a − b ) = (a + 1) ( b + 1) ( ab + 1) ≥0 a2 b2 2ab + ≥ = c = Do b + a + ab + 1 + 1 + c c ( ( ( 1) ) Đẳng thức xảy a = b (