Dự án word đề hsg Tốn THCS - 2023 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học: 2022 – 2023 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm câu Ngày thi: 10/02/2023 x x x2 x A x x 2 x x 2 x x2 x2 1 Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4.0 điểm) 1) Giải phương trình sau: x x 2 45 x 4 ab a b 3 2 2) Cho a b 1 ab 0 Chứng minh: b a a b Câu 3: (4.0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 4 x y y x 3y 2) Cho số tự nhiên n 2 số nguyên tố p thỏa mãn p – chia hết cho n đồng thời 2 2 n3 chia hết cho p Chứng minh n + p số phương Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B,C), qua điểm A kẻ tia Ax vng góc với AM cắt tia CD điểm F 1) Chứng minh AM = AF 2) Trên cạnh CD lấy điểm M cho , gọi giao điểm AM,AN với BD Q P ; gọi I giao điểm MP NQ Chứng minh AI MN H 3) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN M,N thay đổi Câu 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác ab bc ca a b c Chứng minh: a b c a b c a b c Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 ĐÁP ÁN Câ u Nội dung Điểm 1) (2 điểm) x x x2 x A x x 2 x x 2 x x2 x2 1 Ta có: ĐKXĐ: x 2, x 0 Khi đó: A x2 x x 1 x 1 x x x 0,5đ x x x 1 x 1 x x 1 x2 2 x2 x2 2 x 2x2 x 1 x x 1 x 1 2x A x với x 2, x 0 KL:Vậy 0,25 đ 0,5đ 0,5 0,25 2) (2 điểm) 2x2 A x với x 2, x 0 Ta có: A 0,5 2x2 x 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 U Để A có giá trị nguyên x nguyên, suy x 1 1;2 x2 1 Vì nên 2 +) x 1 x 0 x 0 (loại) +) 0,5 x 2 x 1 x 1 T / m Vậy 0,5 x 1;1 x x 2 45 x 4 1) (2 điểm) Giải phương trình sau: ĐKXĐ: x x 0 khơng phải nghiệm phương trình nên phương trình tương đương với: x 2 0,5 45 45 x 2 x 4x x 2 0,25 0,5 Đặt y y x ; y 0 , phương trình trở thành: y l 45 y y 45 0 y y 9 n 0,5 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 x 3 y 9 x 9 x Với Vậy tập nghiệm phương trình là: x 1 x (thỏa mãn đk) S 1; 5 0,5 0,25 ab a b 3 2 2) (2 điểm) Cho a b 1 ab 0 Chứng minh: b a a b Với a b 1 ab 0 ta có: a a3 b b3 a4 b4 a b a b 2a2b a b 3 b3 a3 a3 b3 a b a3 b3 a3b3 a b 3ab a b 0,5 a b 2ab 2a2 b2 3 a b 3ab (Vì a b 1 ab 0 ) 2 2 4ab 4a b 2a b ab a2 b2 (Vì a b 1 ab 0 ) 0,5 0,5 2ab ab ab a b ab a2b2 0,5 (Vì ab 0 ) ab a b 2 Vậy b a a b với a b 1 ab 0 2 2 1) (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 4 x y y x 3y x y 4 x y y x 3y x y x y x y 3y 0,5 x y y y 3y x y y 3y +) Xét y = 2: PT vô nghiệm +) Xét y 2 Ta có: Vì x Z nên y 2 Do x2 0,25 y 3y y 2 y 4y y 4y 0,25 0,25 y 4y y U số phương nên +) Với y = x (vơ lí) y 2 y 1 1 y y 3 T / m : y 2 y 1 x 1 x 1 T / m: xZ x +) Với y = x, y 1;1 , 1;1 Vậy 2) (2 điểm) Cho số tự nhiên n 2 số nguyên tố p thỏa mãn p – chia hết cho n đồng thời n chia hết cho p Chứng minh n + p số 0,25 0,25 0,25 Dự án word đề hsg Tốn THCS - 2023 phương Ta có: n3 n 1 n n 0,25 Vì p 1n p n p n n n p Do đó: Từ n 1 n n p n2 n 1p p 1n p kn k 1 p kn Suy ra: 0,5 * n n 1kn kn n n kn n n k n 1 0,25 n2 n 1kn k n n n kn 1 kn k 1 n k kn Vì k 1 k 1 n k 0,5 0,25 k 1 n k kn kn n k kn k n Nên suy Từ (1) (2) suy ra: k = n + Khi n p n2 2n n 1 A (đpcm) 0,25 B 1 I M H P D F N C 1) Chứng minh rằng: AM = AF Xét ABM ADF vng B; D có: AB = AD (cạnh hình vng) BAM DAF (cùng phụ MA D ) Suy ra: ABM = ADF (cgv-gn) AM AF (đpcm) 2) Chứng minh: AI MN H PAQ D 45o Ta có: kết hợp APQ DPN (đối đỉnh) 2,0 0,75 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 Suy ra: N PDN PAQ g.g Q 1 Suy ra: A PDA PNQ g.g Q PN PD DPN PQ PA kết hợp APQ 2 o Từ (1) (2) suy ra: Q1 Q2 N1 A1 90 (vì tam giác AND vng D) o Suy ra: AQN 90 NQ AM Q Cmtt: MP AN P Khi AMN có hai đường cao NQ MP cắt I I trực tâm Suy AI đường cao thứ ba tam giác AI MN H (đpcm) 0,75 0,5 3) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN M, N thay đổi Gọi BM = x; DN = y (0 < x; y < a) Khi đó: 1 ax ay a x a y 2 1 1 a2 ax ay a ax ay xy a xy 2 2 SAMN SABCD SABM SA DN SNMC a 0,75 Lại có: MAN FAN AM AF ; AN chung; MAN FAN 45o AH AD 1 SMAN AH MN AD.MN SMAN at 2 Suy ra: Đặt MN = t t MN MH NH MB ND x y t Mà 1 SMAN at a2 xy at a xy 2 Khi đó: , thay x t y t2 t2 at a t y y at a y ty a at ty y 0 4 t t2 y a2 ta 0 2 Vì t a ta 0 t t2 y a ta 0 2 t 4ta 4a2 0 t 2a 8a t 2a 2 2a t a 2 SAMN a.a 2 a 2 Suy ra: t x y x y a t a 2 Dấu “=” xảy Min SAMN a2 0,75 BM DN a Vậy Cho a, b, c ba cạnh tam giác 21 21 0,5 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 ab bc ca a b c Chứng minh: a b c a b c a b c 2đ Vì a,b,c cạnh tam giác nên: a b c 0; a b c 0; a b c Đặt: x a b c 0; y a b c 0; z a b c Ta có: x y z a b c; a yz x z xy ;b ;c 2 0,5 y z x z x z x y x y y z ab bc ca ab c abc a bc 4z 4x 4y 1 xy yz zx xy yz zx 3x 3y 3z x y z 4 z x y 2 z x y 4 1 y x z x y z z x y 3 x y z 4 z x z y y x x y z x y z x y z Mà x y z a b c ab bc ca a b c Suy ra: a b c a b c a b c 0,5