UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (2,0 điểm) x2 A : x x 3x x x 1) Rút gọn biểu thức: với x 2, x 0 a b 2c 2) Cho abc = 2; tính giá trị biểu thức B = ab + a + bc + b + ac + 2c + Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : 3x 3x 8 16 2) Xác định số a, b để đa thức f (x )=x +2 x +ax +b chia hết cho đa thức g( x )=x +x +1 Câu (2,0 điểm) 1) Tìm cặp sớ ngun x; y thỏa mãn: x 16 y y 5 2) Cho a, b, c Chứng minh a b c (a b c) 30 Câu (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF Gọi H giao điểm AE BC 1) Chứng minh AME CMB AE BH 2) Gọi O O’ giao điểm hai đường chéo hình vng AMCD, BMEF Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng 3) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Câu (1,0 điểm) 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B xy x y 12x 24x 3y 18y 2053 -Hết - Họ tên thí sinh: ………………… Họ, tên chữ ký GT1: ………………… Số báo danh: ………………………… Họ, tên chữ ký GT2: ………………… UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022 – 2023 MƠN TỐN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Nội dung Điểm Câu 1) x2 A : x( x 2)( x 2) 3( x 2) x x x x 2( x 2) x : : ( x 2)( x 2) x2 ( x 2)( x 2) x x x x 2x x x 6 x2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) 1 x 2 x A x với x 2, x 0 Vậy Câu 2,0đ 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Ta có : a ab 2c a ab 2c B = ab + a + abc + ab + a ac + 2c + ab + a + 2 + ab + a ac + 2c + abc a ab 2c a ab ab + a + 2 + ab + a c(a + + ab) ab + a + 2 + ab + a a + + ab ab + a + ab + a + 0,25 0,25 0,25 0,25 =1 Câu 2,0đ 1) 3x 3x 8 16 0,25 x 18 x 16 16 x 18 x 0 x ( x 2) 0 x 0 x 0 x 0 x 0,25 0,25 Vậy x = 0; x = -2 2) f ( x ) x x ax b x 1 2( x x 1) (a 2) x b 3 0,25 0,25 2 Để f (x )=x +2 x +ax +b chia hết cho đa thức g( x )=x +x +1 ( a 2) x b 0 với x 0,25 a 0 b => 0,25 a 2 b 1 Vậy a = b = đa thức f (x )=x +2 x +ax +b chia hết cho đa 0,25 thức g( x )=x +x +1 1) x 16 y y x y 7 0,25 x y 3 x y 3 1.7 7.1 ( 1).( 7) ( 7).( 1) x y -2 -4 -10 x y 10 -4 0,25 Vậy cặp sớ ngun (x; y) phải tìm là: 4; , 4;0 , 4;0 , 4; 0,25 a a a a 1 a 1 a a 1 a 2) Ta có: a a 1 a. a 1 a a 1 a a 1 Do a a 1 a a 1 a tích sớ ngun liên tiếp nên chia hết cho 2;3;5 , chia hết cho 30 Câu Lại có a 1 a a 1 chia hết a 1 a a 1 chia hết cho 2,0đ 30 Từ suy a a chia hết cho 30 5 Tương tự b b chia hết cho 30 c c chia hết cho 30 a b5 c a b c a a b5 b c c Từ suy chia hết cho 30 Câu 3,0đ Vẽ hình 0,25 E F ý 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 I H D O' C O A M K B 1) Chứng minh AME CMB Chứng minh AE BC 2) Tam giác vng AHC có OH đường trung tuyến ứng với cạnh 0,5 0,5 1 OH AC DM 2 huyền AC 0,25 900 ) DH MH (1) DMH (H Chứng minh tương tự, ta HF MH (2) 0,25 Từ (1) (2) D, H , F thẳng hàng 3) Gọi I giao điểm AC DF 0,25 0,25 Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF, hay I trung điểm DF 0,25 Kẻ IK vng góc AB ( K thuộc AB ) K trung điểm AB, K cố định 0,25 1 IK ( AD BF ) AB 2 Mặt khác ( Không đổi ) I cố định Vậy DF qua I cố định B xy x y 12 x 24 x y 18 y 2053 0,25 2 x x x x x 2 với x (1) Do: y y y 3 0 y y 12 3 với y (2) 0,25 B xy x y 12 x 24 x y 18 y 2053 Câu 1,0đ x x y y 12 x x y y 36 2017 0,25 x x y y 12 y y 12 2017 x x 3 y y 12 2017 (3) Từ 1 , , 3 B 2.3 2017 B 2023 x 1 B 2023 y Vậy GTNN Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận cho điểm tối đa 0,25 0,25