PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm trang, có câu) Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z) Câu (2,5 điểm) a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) a bc p b) Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c độ dài ba cạnh 1 1 1 2 a b c Chứng minh p a p b p c Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy? Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vng góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) AIM ABI đồng dạng AM AI BN BI b) Câu (1,5 điểm) BE BC Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2 - Hết Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN HDC CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – – y4 + 1) = xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1) 0,5 đ Ta có x(x – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x + 1) chia hết cho 2, 0,5 đ => xy(x4 – 1) 30 tương tự xy(y4 – 1) 30 0,25 đ => x5y – xy5 30 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0,5 đ 2 2 (x – y) + (y – z) + x + z = 0,5 đ x – y = y – z = x = z = x = y = z = 0,25 đ Câu (2 điểm) a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b) a bc p b) Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c độ dài ba cạnh 1 1 1 2 a b c Chứng minh p a p b p c 1 a) a + b = => a = + x, b = + y với x + y = ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2 0,5 đ 1 1 2 x y x y 2 = 2 1 => GTNN(A) = x = y = a = b = 1 Ta có: p c p b a 1 1 Tương tự p c p a b ; p b p a c Cộng vế với vế BĐT chiều 1 4 2 p c p b p a a b c 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 1 1 1 2 a b c p a p b p c Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy? Gọi thời gian tơ đến vị trí cách xe đạp xe máy x(h) điều kiện x > => Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) 0,25 đ => Quãng đường ô tô 50x (km) Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km) 0,25 đ Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => ô tô vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x 0,5 đ x = (h) = 50 phút (TMĐK) 0,5 đ Vậy đến 10h50 phút tơ vị trí cách xe đạp xe máy Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vng góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) AIM ABI đồng dạng AM AI BN BI b) A M I B N C IAB a) MAI (AI phân giác góc A) C AIM IAM IMC 900 (t/c góc ngồi ) 1800 C C IAB IBA 90 2 (t/c góc ngồi ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ IAB => AIM => AIM ABI đồng dạng 0,25 đ b) Chứng minh tương tự có IBN ABI đồng dạng => AIM IBN đồng dạng AM IM AI IN BN BI => Có IM = IN tam giác MCN cân C AM AM IM AI BN IN BN BI => 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu (1,5 điểm) BE BC Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2 A B I E K D F C Ta có SAEF SABCD – SABE SCEF SADF 1 1 SABCD – SABCD SABCD SABCD SABCD 20(cm ) 6 12 SAIK SAFI AK AI AB AD Nối FI => SAIF SAFE AF AE AB DF AD BE S 1 AIK SAIK SAFE 10(cm ) SAFE 2 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Chú ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Trên sở tổng điểm giám khảo chia điểm phần cho phù hợp, đảm bảo xác, công Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com