Phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn đề thi häc sinh giái líp 6,7,8 thcs cÊp hun §Ị thức NM HC: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thêi gian lµm bµi: 150 Ngµy thi: 04/04/2017 (§Ị thi gåm cã 01 trang) Câu 1: (4 điểm) a 1 2a 4a a3 4a : a3 a 4a 3a a 1 Cho biểu thức M = a) Rút gọn M b) Tìm a để M > c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu 2: ( điểm) 1) Giải phương trình: x x x x 8 96 94 92 a) 98 b) x - 7x - = 2) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: 1 x x 2(x m) x m x m m2 x2 f x ax bx 10x g x x x 3) Tìm a, b cho chia hết cho đa thức Câu 3: ( điểm) 1) Cho: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B định Tính qng đường AB? Câu 4: (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 5: (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b +c=2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c 2015 a 2016 b 2017 c P= Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Mơn: Tốn Câu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a 0; a 1 0,5 a 1 2a 4a a 4a : a3 a 4a 3a a 1 Ta có: M = a 1 a 4a 4a a a a 1 a a 1 a a a = a 1 4.0đ 2a 4a a a a 1 a = = a 1 0,5 4a a 4 0,5 a 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4 a 1 a a 1 0,5 a 4a 4a = a a 4 = a 4 4a Vậy M = a với a 0; a 1 0,5 0,5 b) (1đ) M > 4a > 0suy a > kết hợp với ĐKXĐ Vậy M > a > a 1 c) (1đ) 0,5 0,5 a a 4a 1 a 4a a2 a2 Ta có M = a = 2 a 2 2 Vì a 0 với a nên a 2 2 5,0đ a2 1 với a 0,5 Dấu “=” xảy a Vậy MaxM = a = a) (1đ) Ta có 1 a 2 0 a 2 x +2 x + x+6 x+ + = + 98 96 94 92 x +2 x +4 x +6 x +8 ⇔ ( 98 +1) + ( 96 + 1) = ( 94 + 1) + ( 92 1 1 ⇔ ( x + 100 )( 98 + 96 - 94 - 92 ) = + 1) 0,5 Vì : 98 + 96 - 94 - 92 ¿ Do đó: x + 100 = ⇔ x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta có x6 – 7x3 – = (x3 + 1)(x3 – 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – )2 + > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với 0,5 0,5 0,5 x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = x {- 1; 2} 2) (2đ) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 0,5 x x 2( x m) x m xm m2 x (1) ĐKXĐ: x+ m 0 x- m 0 x m (1 x )( x m) ( x 2)( x m) 2 2( x m) (2m 1) x m 2(*) 3 m ta có (*) 0x = (vơ nghiệm) + Nếu 2m -1= m x 2m + Nếu m ta có (*) 0,5 0,25đ - Xét x = m m m m 2m m 2m 1 2m 2m 0 m m 0 m 0 2 2 0,25đ (Khơng xảy vế trái ln dương) Xét x= - m m m m 2m2 m m 1 m 1 2m 1 m m = 1 Vậy phương trình vơ nghiệm 3)(1đ) 0,5đ 0.25đ g x x x 2= x 1 x Ta có : f x ax bx 10x g x x x Vì chia hết cho đa thức 0.25đ Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) ax bx 10x 4= x+2 x-1 q x Với 0.25đ x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1 Với Thay (1) vào (2) Ta có : a=-4 b=-2 0.25đ 1)(2đ) Từ x + y + z = (x + y + z)3 = Mà: x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = x y z z x y 0 0,25 x=-2 2a-b+6=0 (4,0đ) 0,25 x y z z x y z x y z z z x y x xy y 0,25 x y x y z 2xy yz 2xz+xz yz z z x xy y 0 x y 3z 3xy yz 3xz 0 0.25đ x y y z x z 0 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z 2015 2015 2015 * Nếu x y z 1 A x y z 1 2015 2015 2015 * Nếu y z x 1 A x y z 1 2015 2015 2015 * Nếu x z y 1 A x y z 1 0,5 0,5 2) (2điểm) Gọi x (km) độ dài quãng đường AB ĐK x > x Thời gian dự định hết quãng đường: 30 (giờ) Quãng đường sau giờ: 30 (km) Quãng đường lại : (x-30) (km) x 30 Thời gian quãng đường lại : 40 (giờ) x x 30 1 40 Lập phương trình : 30 x 30.5 3( x 30) x 60 (thỏa mã đk) Vậy quãng đường AB 60km E A 4(5đ) B 1 O M H' H D C N a) (2đ) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1 C1 45 BE = CM ( gt ) 0,5 0,5 Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) OE = OM O1 O3 0,5 Lại có O2 O3 BOC 90 tứ giác ABCD hình vuông 0,5 O O EOM 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O b)(1.5đ) Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng AB = CD AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà BE = CM (gt) AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : MN EB ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) 0,5 0,5 0.5 c)(1.5đ) Gọi H’ giao điểm OM BN Từ ME // BN OME MH ' B 0,25 Mà OME 45 ∆OEM vng cân O ' B 450 C MH ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MC CMH ' ( hai góc đối đỉnh) BM MH , , kết hợp OMB ' C 450 MH ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) OBM (2,0đ) 0,5 0,5 0,25 Vậy BH ' C BH ' M MH ' C 90 CH ' BN Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Ta có 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c 2015 a 2016 b 2017 c P= b c 4033 c a 4032 a b 4031 2016 b 2017 c = 2015 a Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b c 4033 c a 4032 a b 4031 2016 b 2017 c P = 2015 a yz zx x y y x x z y z P x y z x y z x z y y x z x y z 2 2 6 (Co si) x y x z z y Dấu “=” xảy x = y = z suy a = 673, b = 672, c = 671 Vậy giá tị nhỏ biểu thức p a = 673, b = 672, c = 671 0,5 0,5 2 0,5 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com