UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề có trang) ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MƠN TỐN Thời gian làm 150 phút Bài (3 điểm) a)Phân tích đa thức a (b c) b (c a ) c (a b) thành nhân tử b)Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a b c) a b c Tính giá trị biểu thức: P= a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab c)Cho x + y + z = Chứng minh : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Bài (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương 2 1 1 25 b) Cho a, b > thỏa mãn a b 1 Chứng minh a b b a Bài (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác BCE DCF Tính số đo góc EAF Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’, BB’, CC’ H trực tâm a) Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2 b) Chứng minh HB.HC HA.HB HC.HA 1 AB AC BC AC BC AB c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N Chứng minh H trung điểm MN Bài (1 điểm) Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng có tính chất chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 505 đường thẳng 2018 đường thẳng đồng quy -Hết Giám thị số Giám thị số UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề có trang) Bài GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN Điểm chi Cộng tiết 0,25 Lời giải sơ lược Bài a) a (b c) b (c a) c (a b) = a (b c) b (a c) c (a b) 2 (3 = a (b c) b (a b) (b c ) c (a b) điểm) = (a b )(b c) (c b )(a b) = (a b)(a b(b c) (b c)(b c)(a b) = (a b)(b c) (a b b c) = (a b)(b c)(a c) 0,25 1,0 0,25 0,25 b) (a+b+c)2= a b c ab ac bc 0 0,25 a2 a2 a2 a 2bc a ab ac bc ( a b)(a c) Tương tự: c2 c2 b2 b2 ; b 2ac (b a )(b c ) c 2ac (c a )c b) 0,25 a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c )(b c) (a b)(a c)(b c) 1 (a b)(a c)(b c) 1,0 P 0,25 0,25 c) Vì x + y + z = nên x + y = –z (x + y)3 = –z3 0,25 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) 1,0 Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx Vì : 3xyz(x2 + y2 + z2) 5 3 3 5 = x + y + z + x (x – 2yz) + y (y – 2zx) + z (z – 2xy) = 2(x + y + z ) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2 Bài a) Để n 18 n 41 hai số phương n 18 p n 41 q p, q N 0,25 1,0 0,25 p q n 18 n 41 59 p q p q 59 p q Nhưng 59 số nguyên tố, nên: p q 59 Từ n 18 p 302 900 suy n 882 0,25 p 30 q 29 0,25 0,25 Thay vào n 41 , ta 882 41 841 292 q Vậy với n 882 n 18 n 41 hai số phương b) Có: a b 0 a b 2ab 0 a b 2ab (*) (Dấu đẳng thức xảy a = b) 0,25 0,25 25 1 Áp dụng (*), có: a 5 a b b 25 1 b 5 b a a 2 1 25 1 Suy ra: a b 5 a b b a b a 2 2 1 25 1 a b 5 a b b a a b 1 25 1 1 a b 5 ( Vì a+b = 1) b a a b 1 4 (Vì a+b = 1) Với a, b dương, chứng minh a b a b 1,0 0,25 0,25 (Dấu đẳng thức xảy a = b) 2 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 1 1 25 a b Dấu đẳng thức xảy ra: a b b a Bài 0,25 D A C B F E Chứng minh ABE ECF Chứng minh ABE FCE (c g c) =>AE=EF Tương tự AF=EF =>AE=EE=AF =>Tam giác AEF => EAF 60o Bài (3 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 A B' C' H N M B a)Chứng minh A' C D BHC ' đồng dạng với BAB ' BH BC ' => => BH BB ' BC '.BA AB BB ' (1) 0,25 Chứng minh BHA ' đồng dạng với BCB ' BH BA ' => BH BB ' BC.BA ' BC BB ' (2) Từ (1) (2) => BC '.BA BA '.BC Tương tự CB '.CA CA '.BC => BC '.BA CB '.CA BA '.BC CA '.BC ( BA ' CA ').BC BC BH CH BC '.CH S BHC BH BC ' => AB AC BB ' AC S AB BB ' ABC AH BH S AHB AH CH S AHC Tương tự CB.CA S CB AB S ABC ABC b) Có 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HB.HC HA.HB HC.HA S ABC 1 AB AC AC.BC BC AB S ABC https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ c) Chứng minh AHM đồng dạng với CDH (g-g) HM AH => (3) HD CD Chứng minh AHN đồng dạng với BDH (g-g) AH HN => (4) BD HD Mà CD=BD (gt) (5) HM HN Từ (3), (4), (5) => => HM=HN HD HD =>H trung điểm MN => 1,0 1,0 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 Bài (1 điểm) Gọi E, F, P, Q trung điểm AB, CD, BC AD Lấy điêrm I, G EF K, H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ IF HQ GE KP Xét d đường thẳng cho cắt hai AD, BC, EFlần lượt M, N, G’ Ta có AB ( BM AN ) S ABMN 2 EG ' 2 G G ' CD(CM DN ) SCDNM G'F hay d qua G Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề qua điểm G, H, I, K Do có 2018 đường thẳng qua điểm G, H, I, K, theo nguyên lý 0,25 1,0 0,25 2018 Dirichlet phải tồn 505 đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com 0,25 0,25