UBND HUYỆN PHỊNG GD&ĐT KỲ HỌC SINH GIỎI BA MƠN VĂN HÓA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (4 điểm) a 1 a 4a a3 4a : a3 a 4a 3a a 1 Cho biểu thức M = a) Rút gọn M b) Tìm a để M > c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị nhỏ Câu 2: ( điểm) a) Tìm đa thức P(x) thoả mãn: P(x) chia cho x + dư 1; chia cho x – dư 8; chia cho (x + 3)(x – 4) thương 3x cịn dư 4 b) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y 3 y Câu 3: ( điểm) a) Chứng minh m; n số tự nhiên thỏa mãn: m2 +m=5 n2 + n : (m - n) ( 5m 5n ) số phương b)Giải phương trình: ( x+1 )( x +8 ) ( x+7 ) =12 Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB 4a > suy a > kết hợp với ĐKXĐ Vậy M > a > a 1 c) (1đ) a 2 0,5 a 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4 a 1 a a 1 0,5 a 2 0,5 a2 1 với a 0 a 2 Dấu “=” xảy a Vậy MaxM = a = a) (2đ) Vì đa thức (x +3)(x – 4) có bậc nên phần dư chia P(x) cho (x +3)(x – 4) có dạng R(x) = ax + b ⇒ P(x) = (x +3)(x – 4) 3x + ax + b 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm { P(−3)=−3a+b=1¿¿¿¿ 0,5 a =1 ; b = P(x) = (x +3)(x – 4) 3x + x + = 3x3 - 3x2 - 35x + b) (2đ) Ta có x2 = y2 + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 Do x + y + – (x - y – 1) = 2y + số chẵn x , y N* nên x + y + > x – y – Do x + y + x – y – hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp: x + y + = x – y – =2 x = y = Vậy (x; y) = (4; 1) ⇒ (4,0đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) (2,0 điểm): 2 Tacó 4m m 5n n ⇔5 ( m −n2 ) + m−n=m ⇔ ( m−n ) ( m+5 n+ )=m (*) Gọi d ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ ( m-n) ⋮ d (5m+5n+1) 0,5 ⋮ d ( m-n) ⋮ d ⇒ ⇒ 5m-5n ⋮ d ⇒ (5m+5n+1)+(5m-5n) ⋮ d 10m+1 ⋮ d 0,5 2 Mặt khác từ (*) ta có: m ⋮d ⇒ m ⋮ d Mà 10m+1 ⋮ d nên ⋮ d ⇒ 0,5 0.5 0,25 d=1 (Vì d số tự nhiên) Vậy (m-n);(5m+5n+1) số tự nhiên nguyên tố 0,5 nhau,thỏa mãn (*) nên chúng số phương 0,5 b) (2,0 điểm) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 0,5 0,25 Câu Nội dung 2 Điểm Mà t nên t 0 t 9 t 3 Từ tìm x x 5 S= ; 3 Vậy phương trình có tập nghiệm 4(6đ) E D A M Q B P I H C a) (2,5 điểm): - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) EB ED EA.EB ED.EC - Từ suy EC EA - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (c-g-c) 0,75 0,75 0,5 - Suy EAD ECB b) (2,0 điểm): - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o - Xét EDB vuông D có B = 30o ED = EB ED EB 2 S EAD ED S EB từ SECB = 144 cm2 ECB - Lý luận cho 0,5 0,75 0,75 0.5 Câu Nội dung Điểm 0,25 c) (1,5 điểm): - Chứng minh PQ đường trung bình tam giác BHD PQ // BD - Mặt khác: BD CD (Giả thiết) - Suy ra: PQ DC Q trực tâm tam giác DPC Hay CQ PD 0;1 Ta có Vì b, c nên suy b b; c c Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1) Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + (2) (2,0đ) 0,25 0,5 0,5 Vì a, b, c ; 1 nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) ; – abc 0 Do từ (2) suy a + b + c – ab – bc – ca (3) Từ (1) (3) suy a + b2 + c3 – ab – bc – ca Dấu “=” xảy ba số a, b, c có hai số số hai só số 0,5 0,5 0,5 0,5 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình