PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Thời gian: 90 phút(không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức: 10 x x A : x x 2 x 2 x x 2 a Rút gọn biểu thức A c Tìm giá trị x để A < nguyên b Tính giá trị A , Biết x = d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 1 1 + + = b) x + x +20 x +11 x+30 x +13 x+ 42 18 Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + 2 c Chứng minh rằng: AD AM AN Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh : 1 a (b c ) b (c a ) c (a b) Bài (1,0 điểm) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 số phương Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH Bài Bài (2,0đ) a (0.75) b (0.5) c (0.25) d (0.75) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mơn:Tốn Lớp: Nội dung Điểm Biểu thức: 10 x x A : x x 2 x 2 x x 2 1 A x Rút gọn kết qủa: 1 1 x x x ⇒ A= 2 A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 A −1 ∈Z x−2 ⇔ A= 0.5 0.25 0,5 Z x ¿ {1; 3} (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 ¿ 0.75 ⇔ x-2 ¿ Ư(-1) ⇔ x-2 ¿ { -1; 1} ⇔ Bài2 (2,0đ ) a (1.0) b (1.0) 2 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 0.25 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 t 0 t 9 t 3 x x Mà t nên 0.25 0.25 5 x ; 3 PT có nghiệm 0.25 x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; ĐKXĐ : x≠−4; x≠−5; x≠−6; x≠−7 Phương trình trở thành : 0.25 1 1 + + = ( x+4 )( x+5 ) (x +5 )( x+6) ( x+6)( x +7 ) 18 1 1 1 − + − + − = x + x+5 x+ x +6 x+6 x +7 18 1 − = x +4 x+7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; Câu A 0.25 0.25 0.25 E B 0.5 (3.5) a (1.0) = ABF Ta có DAM (cùng phụ BAH ) AB = AD ( gt) 0.25 BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) ΔADM=ΔBAFADM = ΔADM=ΔBAFBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành 0.25 0.25 Mặt khác DAE = 90 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔADM=ΔBAFABH ΔADM=ΔBAFFAH (g.g) b (1.0) 0.25 AB BH BC BH = = AF AH hay AE AH ( AB=BC, AE=AF) HAB = HBC ABH Lại có (cùng phụ ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH (c.g.c) ) 0.25 S SΔADM=ΔBAFCBH BC BC ΔADM=ΔBAFCBH = =4 =4 SΔADM=ΔBAFEAH AE , mà SΔADM=ΔBAFEAH AE (gt) nên BC2 = (2AE)2 BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.25 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN = = CN MN AM MN 0.25 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: c (1.0) MN MC AB MC AD MC = = = AN AB AN MN hay AN MN 2 0.25 CN + CM MN AD AD CN CM + = + = = =1 MN MN AM AN MN MN 0.25 (Pytago) 2 AD AD 1 + = 2 AM AN AM AN AD (đpcm) 0.25 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R x, y, z > ta có a2 b2 c2 a b c x y z xyz (*) a b c x y z Dấu “=” xảy Thật vậy, với a, b R x, y > ta có a2 b2 a b x y x y a bx ay 2 (**) y b x x y xy a b 2 0 (luôn đúng) a b x y Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Câu (1.5) a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c Dấu “=” xảy x y z 1 2 1 a b c Ta có: a (b c ) b (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Hay 0.25 1 1 1 1 1 a b2 c2 a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c (Vì abc 1 ) 1 2 1 1 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 a 3 b c Mà a b c nên ab ac bc ab ac bc 1 Vậy a (b c ) b (c a ) c (a b) Bài (1.0) 0.5 (đpcm) Ta có an+1= +2 +3 +…+ n + n + an+ an+1 = 2(1+ + +…+ n) + n + n(n 1) = 2 +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 số phương - HẾT - 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5