111Equation Chapter Section 1PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Q Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức x x 1 a) Tìm x để Q xác định rút gọn Q b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Q x Câu (2,0 điểm) Cho x 4cos 45 1982 11 giá trị biểu thức T 20 x 11x 2020 18 16sin 45 tan 60 Tính m 1 1 m x m Câu 3.(2,0 điểm) Tìm giá trị để nghiệm phương trình (với m tham số) số dương Câu (2,0 điểm) Giải phương trình 2 x x x 11 0 Câu (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để A số nguyên tố, biết A n n n a b ab a b Câu (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn Câu 7.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC , biết AB c, BC a, CA b Vẽ phân giác AD ( D 2bc AD bc thuộc BC ) Chứng minh Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , C 45 a) Tìm giá trị để CH 3BH b) Chứng minh sin 2 2sin cos Câu (1,5 điểm) Cho số thực x, y, z thay đổi cho 3x y z 12 Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức M 5 x y z xy yz x y 14 Câu 10 (1,5 điểm) Cho số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước nguyên tố khác Chứng mnh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương ĐÁP ÁN Câu x 0 x a) Q xác định Với x 1, x 3 ta có : Q x x 1 x 3 x 3 x 1 x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x b) Với x 1, x 3 P Q x x x Với x 1, x 3 x 0 nên P x x 1 Vậy Min P 1 x 1 Câu 2.Ta có : x 4cos 45 64 3 2 18 16sin 45 tan 60 2 18 16 2 18 2 2 2 42 2 3 62 31 4 3 3 62 3 62 4 42 T 20.11982 11.111 2020 2051 Vậy T 2051 1 3 1 1 Câu ĐKXĐ: x 1 Đưa phương trình dạng m x 2 Nếu m 1 phương trình vơ nghiệm x 1 m Nếu m 1 x m nghiệm phương trình x 1 m Để x m với m 1 Vậy nghiệm phương trình m 1 m 1 m Phương trình có nghiệm dương 1 m Vậy với m 1; m phương trình có nghiệm dương Câu 4.Giải phương trình 2 x x x ĐKXĐ: 2x x m m x 11 0 x 11 0 2 x x x 11 x x x 5 x 11 x x 3 x x 3 x 1(tm) x 12(ktm) 2 x x 9 x x Vậy S 1 Câu 5.Ta có : A n3 n n n 2n n 2n n n n n 1 Do n n n 1, với n Vậy A số nguyên tố n 1 n n 1là số nguyên tố n 3 A 13(tm) Vậy n 3, A số ngun tố Câu 6.Ta có : ab a b a b Với a, b * a b 3 ab a b ab nên a b số phương Vì a b 18 nên a b 1;4;9;16 a b 1 ab 1(ktm) a b 4 ab 8(ktm) a b 9 ab 27(tm) a b 16 ab 64(ktm) Vậy số tự nhiên cần tìm 27 Câu A E B D C Qua D kẻ DE / / AB, E AC Chứng minh EAD cân E Suy AE=ED ED EC AB AC ABC Áp dụng hệ định lý Ta-let vào ta có: bc 1 AE ED EC AE AE. 1 AE 1 bc b c Suy AC AB AC CA hay 2bc AD AE ED AD AE AD (dfcm) bc Trong ADE có Câu A H B M C a) Xét tam giác ABH vng H, có BH AH cot B AH tan Xét tam giác ACH vng H, ta có CH AH cot CH 3BH AH cot 3 AH tan 3tan tan 30 3 Vậy 30 CH 3BH tan b) Kẻ trung tuyến AM , C 45 nên C B AB AC H nằm B C, theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ta AM MB MC BC AMC cân M có: AMB 2C 2 (tính chất góc ngồi) ABC vng A, ta có : AHM vng H, ta có: sin AB AC ;cos BC BC sin 2 AH 1 AM Ta có : 2sin cos 2 AB AC AH BC AH AH 2 2 2 BC BC BC AM AM Từ 1 , sin 2 2sin cos Câu 9.Ta có : M 4 x xy y y yz z x y xy x y 2 x y y z x y 32 xy 2.3x 2.3 y 2x y y z x y 3 2x 5 y y z x y 3 5 1 1 3x y z 3 5 Theo giả thiết, ta có: 3x y z 12 x y z 3 81 2 x y y z x 3 y z x y y 3 3 x y z 9 z 0 M 32 Dấu " " xảy Vậy M 32 x y 3, z 0 Câu 10 Gọi số cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , số khơng có ước số ngun tố khác xi yi nên số có dạng 2 với xi , yi số tự nhiên Xét cặp số xi ; yi ; x2 ; y2 ; x3 ; y3 ; x4 ; y4 ; x5 ; y5 , cặp số nhận giá trị bốn trường hợp sau: (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số chẵn), (số lẻ; số lẻ) Nên theo ngun lý Dirichlet có hai cặp số dạng giá trị Khơng tính tổng quát giả sử x1; y1 ; x2 ; y2 nhận giá trị dạng (số chẵn; số lẻ) x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 Khi x1 x2 ; y1 y2 số chẵn nên a1a2 2 3 2 số phương Do ta có điều phải chứng minh