PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27 tháng 11 năm 2013 Bài (5 điểm) Cho biểu thức P = x2 x x x x x 1 x : x1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = c) So sánh P2 với 2P Bài (3 điểm) a) Giải phương trình: x x 0 b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x y 4z y z 4x z x 4y Bài (2 điểm) 3 Cho x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x y 2 xy Chứng minh xy số hữu tỉ Bài (5 điểm) Cho đường trịn (O,R) đường kính AB Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến đường thẳng d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB tiếp tuyến đường trịn đường kính IK Bài (2 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Bài (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y b) Cho x, y , z 1 Chứng minh : x y z y xz z xy x yz x y z H tên h c sinh: ; Số báo danh: báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN THIỆU HÓA Bài Bài (5 đ) a) 2,0 đ Điều kiện: x 0, x 1 P= = b) 1,5 đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Nội dung Điểm 0,5 đ x2 x ( x 1)( x x 1) x x : x x1 = x x ( x 1) ( x x 1) x : ( x 1)( x x 1) 0,5 đ = x2 x x x x x x x 1 : = ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) x 0,5 đ ( x 1) 2 = x x 1 ( x 1)( x x 1) x P= 0,5 đ 0,5 đ 2 x x 0 x x 1 7 ( x 2)( x 3) 0 ( x với x 0) x 4 (thỏa mãn điều kiện) x 0 Vậy với x = P = c) 1,5 đ P= P= Bài (3 đ) a) 1,0 đ b) 2,0 đ x x 1 x x 1 > x x x 1 0.5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta có P > P nên P.(P - 2) P2 - 2P P2 2P 0,5 đ x x Điều kiện x 2 0,25 đ x x Đặt 0 t 1 t t 0 t 0 x = t (t 0) 0,25 đ *t 0 x 0 x 2 0,25 đ *t 1 x 1 x 0,25 đ 0,5 đ Điều kiện: x, y, z (Thỏa mãn điều kiện) Cộng vế ta có : 0,5 đ 2x 2y 2z 4x 4y 4z 4x 4y 4z 4x 4y 4z 0 Vì 2 4y 1 4z 1 0 (*) 4x 1 0; 4y 1 0; 4z 1 0 4x 2 0,5 đ 4x 0 Nên (*) xay 4y 0 x y z 4z Kết luận : x y z Bài (2đ) 0,5 đ 0,5 đ * Nếu x = y = xy 1 số hữu tỉ * Nếu x, y khác y3 y y4 y2 3 x y 2 xy x 2 xy x x x x y4 y2 y2 xy 1 x x x 0,5 đ 0,5 đ y2 y2 xy 1 số hữu tỉ x x 3 Vậy x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x y 2 xy xy số hữu tỉ Bài (5 đ) K 0,5 đ d C I A a) 1,5 đ H O Nối OC Vì d tiếp tuyến (O) C nên OC vng góc với d Ta có: AI// BK ( vng góc với d) => ABKI hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vng góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình hình thang) B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Vì (OAC cân) CAI ACO ( So le trong, AI//CO), ACO CAO CAI CAO IAC HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH Tương tự: BK = BH Do ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên ABC vng C => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng tam giác vuông) c) 1,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta có: IAC HAC CI CH CK IK ) Mà CH AB H IK => AB tiếp tuyến (C , ) Hay AB tiếp tuyến đường trịn H (C , đường kính IK Bài (2 đ) 0,5 đ 0,5 đ M H A K B Ta có: BMK ( góc có cạnh tương ứng vng góc) HAK Suy ra: BKM HKA (g.g) BK KM BK KA KM KH HK KA 0,5 đ 0,25 đ AB BK KA Mặt khác: BK.KA ( bất đẳng thức Cosi) Dấu “=” xảy BK = KA AB KM KH 0,5 đ 0,5 đ Vậy giá trị lớn tích KM.KH = trung điểm cạnh AB AB BK = KA, tức K 0,25 đ Bài M (3 đ) a) 1,5 đ Ta có: x xy y x y x xy y x y 0 x y (2 xy 1) x y xy 1 x y xy 1 x 0 2 x y xy y 0 x 1 2 x y xy 1 2 x y xy 1 y 2 x y xy x y 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Vậy phương trình có nghiệm (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) b) 1,5 đ Vì x, y , z 1 nên (1 x)(1 y ) 0 xy x y z xy x y z y y (1) z xy x y z x x Tương tự ta có y xz x y z (2) ; z z x xy x y z Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta x y z xyz y xz z xy x yz x y z x y z Dấu “=” xẩy x = y = z =1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hết