PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC CHÍNH THỨCNH THỨCC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x +2009 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: +2008 x x +2 x +45 x+8 x +69 13 + 15 = 37 + Câu 3: (2 điểm) a4 +b ¿ ab +a3 b−a b2 a/ Chứng minh b/ Cho hai số dương a,b a=5-b 1 + Tìm giá trị nhỏ tổng P= a b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a2006 +b2006 =a2007 + b2007 =a2008 +b2008 2009 2009 Hãy tính tổng: S= a +b √ 3+√ 5− √13+ √ 48 √ + √2 b/ Chứng minh :A= số nguyên Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD = BC AH +HC PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC CHÍNH THỨCNH THỨCC Câu 1: (1 điểm) +2009 x +2008 x +2009 2 = ( x + x +1) +2008( x + x +1) 2 = ( x + x +1)( x - x +1)+ 2008( x + 2 = ( x + x +1)( x - x +2009) Câu 2: ( điểm) x x 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ +1) x +2 x +45 x+8 x +69 13 + 15 = 37 + x +2 x +45 x +8 x +69 ⇔ ( 13 +1)+( 15 -1)=( 37 +1)+( -1) a=1,b=1 ⇔ ⇔ x+15 + 13 2( x +15 ) 15 0,25đ ( x+15 ) 4( x+15 ) = 37 + (1−a)(1−b)=0 0,25đ 0,25 đ x=-15 0,25 đ Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a4 +b ¿ ab +a3 b−a b2 ⇔a + b4 ≥ ab +2 a3 b−2 a b2 ⇔a + b4 − ab −2 a3 b+2 a b2 0,25 đ ¿0 0,25 đ ⇔(a4 −2 a b+a b2 )+(b −2 ab +a2 b ) 0,25 đ ⇔(a2 −ab )2 +(b2 −ab )2≥0 0,25 đ b/ (1 điểm) 1 a+b + P= a b = ab = ab 20 20 ≥ P= ab (a+b ) = 0,25 đ 0,5 đ Vậy giá trị nhỏ P 5 a=b= 0,25 đ Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) a2008 +b2008 = ( a Ta có: ⇔ ⇔ 2007 +b 2007 )( a+b )−ab (a 2006 +b 2006 ) 0,25 đ 1= a+b−ab 0,25 đ (1−a )(1−b )=0 0,25 đ a=1 ,b=1 ⇒ Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) √ 3+√ 5− √13+ √ 48 √ + √2 A= √ √ 3+ 5− √(2 √ 3+1)2 √ 6+√ A= 0,25 đ 3+ √ ( √ 3−1 )2 √ 6+√ = √ √( √6+ √2 )2 √ 2+ √ = √ 6+ √ = =1 0,25 đ √6+ √2 ¿ 0,25 đ Z 0,25 đ Câu (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 ⇒ xy-3y=2x-1 ⇒ y(x-3)=2x-1 Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 0,25 đ ¿ y=2+ x−3 0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA CE CB ( hai tam giác CDE CAB đồng dạng) Góc C: chung 0,75 đ Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: 0,25 đ ∠BEC =∠ ADC có: ∠ ADC =∠ EDC +∠ ADE=135 Suy ra: ∠BEC =1350 0,5 đ Suy ra: ∠ AEB=450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vng có góc 45 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân E nên AM cịn phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD ABC DEC ED // AH HC HC Suy ra: GC AC , mà AC DC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,5 đ 0,5 đ