PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x2 x x1 Cho P : x x x x 1 x a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm x để P = c/ So sánh P2 với 2P Bài (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình: x x 1 1 x x 2/ Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC a/ Viết phương trình đường thẳng AB; BC b/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 0 2/ Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm tia đối BA, kẻ tiếp tuyến IC (C tiếp điểm) Gọi M điểm cố định thuộc nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa điểm C (M khác A;B) Gọi N giao điểm thứ IM với (O); H hình chiếu C AB; K hình chiếu O IM, E giao điểm CH OK a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN c/ Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E Bài (1,0 điểm) Cho số nguyên a, b thỏa mãn a b 2(ab a b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ): Ý Đáp án x x : x P (với x 0 ; x≠1) x x x x 1 x2 x x x x x1 x x x 1 Điểm a/ x x 1 b/ x x x 1 2 x x x 1 Vậy P x x 1 Ta có: P (với x 0 ; x≠1) x x 1 2 P x x 7 x x 0 x x 1 x x 0 x 0 (vì x 0 nên 0,25đ 0,25đ x 0) 0,5đ x 4 Vậy với x =4 P = 0, 5đ Ta có: P ( Với x 0 ; x ≠ 1) x x 1 c/ Do x 0 ; x≠1 nên x x P 0 x x 1 Ta lại có x x 0 (vì x 0 ; x≠1) x x 1 1 P 2 x x 1 x x 1 Ta có P2 – 2P = P(P – 2) (vì 0< P 2 ) => P2 2P Vậy P2 2P 0,25đ 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Điểm x x 0 x 1 1 0 x x x 0 ĐK: 0,25đ TH1: x VT0 nên PT vô nghiệm 0,25đ 1 1 x 1 x TH2: x 1 PT: x x x x x x 1/ x 1 x x x x – x x 0 x x x x 0 x x 1 x( x 1) 0 x x x 1 0 0,25đ x x 1 1 x x x 1 (vì x 1) 1 Vậy S 0,25đ + Viết phương trình đường thẳng MP y x – 0,25đ + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2-a/ y x b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm b = – Vậy phương trình đường thẳng BC y x – 2-b/ + Tương tự ta có ptđt AB y x – 0,25đ y x – + Giải hệ y 7 x 0,25đ ta suy tọa độ đỉnh B(0; – 6) Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P trung điểm AC nên P trung điểm BD, tìm tọa độ điểm D(10;12) Vậy D(10;12) 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 0 x xy x 2015 x 2015 y 2015 1 x x y 1 2015 x y 1 1 1/ 2/ Điểm 0,25đ x y 1 x 2015 1 0,25đ x y x y 1 x; y 2016; 2016 x 2015 1 x 2015 x; y 2014; 2016 0,25đ Vậy x; y 2016; 2016 x; y 2014; 2016 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 Gọi số cần tìm abcd ĐK: a; b; c; d N ;1 a 9;0 b; c; d 9 Theo ta có: abcd a b c d 2023 (1) Vì abcd a b c d 2023 nên abcd 3000 a 9 nên a=1; TH1: a=1 Thay vào (1) ta được: 1bcd b c d 2023 bcd b c d 1022 (2) bcd 1022 (b c d ) 1022 995 nên b=9 Thay vào (2) ta được: 9cd c d 1022 cd c d 113 (3) cd 113 c d 113 95 nên c=9 Thay vào (3) ta được: 9d d 113 d d 14 d 7 Suy số cần cần tìm là: 1997 TH2: a=2 Thay vào (1) ta được: 2bcd b c d 2023 bcd b c d 21 (4) bcd 21 (b c d ) 21 21 100 nên b=0 Thay vào (4) ta được: 0cd c d 21 cd c d 21 (5) cd 21 c d 21 21 nên c=0;1;2 + Nếu c=0 Thay vào (5) ta được: 0d d 21 d d 21 d 10,5 (loại) + Nếu c=1 Thay vào (5) ta được: 1d d 21 d d 10 d 5 Suy số cần cần tìm là: 2015 + Nếu c=2 Thay vào (5) ta được: 2d d 21 d d (loại) Vậy có số tmycbt là: 1997 2015 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (3,0đ): Ý Đáp án Điểm C O A H M B I N K 0,25đ E a/ b/ Chứng minh: IC2 =IA.IB 2 2 Chỉ ra: IC IO OC IO OA IO OA IO OA IA.IB đpcm Chứng minh: IH.IO=IM.IN Chỉ ra: OCI vuông C, đường cao CH nên IC IH IO (1) 2 Chỉ ra: IM IN IK KM IK KN IK KM IK OA2 OK IK OK OA2 IO OA2 IO OA IO OA IA.IB IC (2) c/ Từ (1) (2) suy ra: IH.IO=IM.IN đpcm Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E + Chỉ ra: OHE đồng dạng với OKI suy OK.OE=OH.OI (3) + OCI vuông C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4) + Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ OKM đồng dạng với OME Nên OME OKM 900 suy ra: ME OM Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng qua M vng góc với OM cố định tức đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E nằm đường thẳng qua M vng góc với OM Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn đường tiếp tuyến đường tròn (O) A B 0,75 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a b2 2(ab a b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Ý Đáp án Điểm Cho số nguyên a,b thỏa mãn a b 2(ab a b) a b 2ab 2a 2b 4a a b 1 4a Suy a 0 a b 1 4a số phương suy a số phương Nên đặt a = x2 (x số nguyên) Khi đó: x 0,25đ 0,25đ b 1 4 x x b 2 x b x 1 Ta thấy x (x+1) (x-1) x số nguyên liên tiếp Suy ra: x2 (x+1)2 (x-1)2 x2 số phương liên tiếp Vậy a b hai số phương liên tiếp Ghi chú: Các cách giải khác, cho điểm tối đa 0,25đ 0,25đ