Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ.. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều d[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MƠN TỐN
Thời gian làm 150 phút -Câu 1: (3 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
A = 9 17 9 17 Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P = 9x2 6x 1 9x2 30x25 Câu 3: (4 điểm)
Cho hệ phương trình
ax + y = 4x + ax = -1
a Giải hệ a =3
b Với giá trị a hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Câu 4: (4 điểm)
Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB
Câu 5: (6 điểm)
Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo BD chiếu lên AB AD E F
a Chứng tỏ: CF = DE CF DE
Tìm quỹ tích giao điểm N CF DE b Chứng tỏ: CM = EF CM EF
(2)ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1:
A = 9 17 9 17 2 =
18 17 18 17 2
2
0,5 điểm
=
17 17 17 17 2
2
=
2
2
17 17
2
2
1,0 điểm =
17
17 2
2
=
17 17 2
2
(vì 17 1 ) 1,0 điểm =
2 2 2 2 0
2 0,5 điểm
Câu 2:
P = 9x2 6x 1 9x2 30x25
=
2
3x 3x 0,5 điểm
= 3x1 3 x 3x1 3 x4 (vì A A ) 1,0 điểm Dấu “=” xảy
3
5 3 3
x x
x
x x
1,0 điểm
Vậy PMin =
5
3 x
0,5 điểm Câu 3:
a Khi a =3 ta có hệ 4x3+x3+yy==−31 <=> 4x=3y(=33−−33xx)=−1 0,5 điểm
<=> −y5=x3=−−310x <=> y=x3=−23x <=> yx==−23 0,5 điểm
Vậy a = hệ phương trình có nghiệm (2;-3) 0,5 điểm b Xét hệ ax4x++yay==3−1 (I), ta có (I) <=> 4x+ay(=33−−axax)=−1 0,5 điểm
<=> ( y=3−ax(1)
4−a2)x
(3)Muốn (I) vơ nghiệm thì: −41− a−32=a ≠00 ⇔ 3aa ≠−2=41 0,5 điểm
a
=±2
a ≠1
3
⇔ a=±2 0,5 điểm
Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm là: a ≠ ±2 Điều kiện để hệ vô nghiệm là: a=±2
Câu 4:
Gọi thời gian dự định x (giờ), vận tốc xe lúc đầu y (km/h) (x, y >0), chiều
dài quãng đường AB xy (km) 0,5
điểm
Khi xe chạy nhanh 10km thì: Vận tốc xe lúc là: y + 10 (km/h)
Thời gian xe hết quãng đường AB là: x – (giờ)
Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) 0,5 điểm Khi xe chạy chậm 10km thì:
Vận tốc xe lúc là: y – 10 (km/h)
Thời gian xe hết quãng đường AB là: x + (giờ)
Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2) 0,5 điểm từ (1) (2) ta có hệ:
3 10
5 10
x y xy
x y xy
0,5 điểm
10 30
10 50
xy x y xy
xy x y xy
10 30
10 50
x y x y
0,5 điểm
10 30
2 80
x y y
15 40 x y
0,5 điểm
Giải hệ phương trình ta được: x = 15; y = 40 0,5 điểm Vậy thời gian xe dự định hết quãng đường AB 15 giờ, vận tốc xe lúc đầu 40km/h Quãng đường AB có độ dài là: 15 40 = 600 (km) 0,5 điểm Câu 5:
Vẽ hình
a Chứng minh CF⊥DE CE=DE
ta có CDFDAE ( )c g c CF DE 0,5 điểm Ta có C1D
(4)=> CND 900 hay CF⊥DE 0,5 điểm Qũy tích N:
Phần thuận: ta có CND 900 (câu a)
=> N chạy đường tròn đường kính CD Giới hạn : N miền hình vng ABCD
- Khi M B F A, E B suy CF trùng với CA DE trùng với DB N O (tâm hình vng)
- Khi M D F D, E A suy CF trùng với CD DE trùng với DA N D
Vậy N chạy 1/4 đường trịn, cung DNO, có đường kính CD 1,0 điểm Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần tư DO đường trịn đường kính CD ta có
900
CND (1)
Gọi E giao điểm DN AB, F giao điểm CN AD Dựng hình chữ nhật AEMF ta chứng minh M∈BD
Từ (1) => C1D 1(góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) => CDF DAE g c g( ) DF AE
mà FM =AE (vì AEMF hình chữ nhật)
=> DF=FM <=> ΔFDM vuông cân FDM 450 M DB
Vậy quỹ tích N 1/4 cung DNO đường trịn đường kính CD 1,0 điểm
b Chứng tỏ CM=EF CM⊥EF
gọi K giao điểm FM CB ta có: CK=DF => CK=FM 0,5 điểm
tương tự : MK=ME
Do đó:CKM FME c g c( ) CM EF 0,5 điểm
Ta có: KCM MFE CM EF. 0,5 điểm
c Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
Chứng minh tương tự câu a ta có: BF⊥CE 0,5
điểm
Trong ΔCEF ta có CM⊥EF ; ED CF ; FB⊥CE 0,5 điểm
=> CM, ED, FB Là đường cao tam giác CEFdo chúng đồng quy