PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC CHÍNH THỨCNH THỨCC Câu 1: (6 điểm) M=(1− √ x ):( √ x +3 + √ x +2 + √ x +2 ) √ x +1 √ x−2 3−√ x x−5 √ x +6 a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P=3 x 2013 +5 x 2011 +2006 với √ √ x= 6+2 √ 3−√ √ 2+2 √ 3+ √ 18−8 √2−√3 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình a) ( b) x+3)( x+4)( x+5)( x+6)=24 x x 2 x x Câu 3: (4 điểm) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = M x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 6 b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x y y z z x 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu 4: (5 điểm) Cho đường trịn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện 6 biểu thức P sin cos Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE DF Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 BF Câu 5: (1 điểm) Tìm n ¿ N* cho: n4 +n3+1 số phương - Hết Lưu ý: Cán coi thi không giải thích thêm! PHỊNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) a) (4,5đ) ĐKXĐ: x≥0 ; x≠4 ; x≠9 1)Rút (*) gọn M Với x≥0 ; x≠4 ; x≠9 : (0,5đ) √ x : √ x +3 −√ x+2 + √ x +2 ( √√ xx +1− ) [ √ x−2 √ x−3 ( √ x −2)( √ x−3 ) ] +1 M= ( √ x+3)( √ x−3 )−( √ x−2 )( √ x +2)+( √ x +2 ) √ x +1 ( √ x−2)( √ x−3 ) x −9−( x−4 )+ √ x +2 = : √ x +1 ( √ x−2)( √ x−3 ) x−2 =√ √ x +1 = Vậy : [ x−2 √ x+1 M= √ ] x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ) (với (*) (2,5đ) M= 2) √ x−2 = √ x+1−3 = √ x +1 − =1− √ x+1 √ x+1 √ x +1 √ x +1 √ x+1 (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3⋮√ x +1⇔ √ x+1∈U (3 ) Ư(3) ¿ {±1;±3 } Vì x 0 x 0 x 1 Nên √ x+1∈ { 1;3 } Xảy (0,5đ) √ x+1=1⇔ √ x=0 ⇔ x=0 (TMĐK (*) ) trường hợp sau: √ x+1=3⇔ √ x=2 ⇔ x=4 (không TMĐK (*) loại (0,25đ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b_ √ √ x= 6+2 √ 3−√ √ 2+2 √ 3+√ 18−8 √2.−√ √ 18−8 √ 2= √( 4−√ 2)2=|4− √2|=4− √2 Có (0,5đ) √ √2+2 √ 3+4− √2= √2 √ 3+4= √( √3+1)2=|√3+1| (0,25đ) x 2 3 1 2 3 62 4 x= 6+2 √( √ 3−1)2− √3=√ 6+2 √3−1−√ 3= √ 4+2 √ 3− √3 √ x=√( √ 3+1)2−√ 3=|√3+1|−√ 3=√3+1−√ 3=1 (0,75đ) 2013 2011 Với x = 1.Ta có P=3 +5 +2006=3+5+2006=2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x+3)( x +6 )(x +4 )( x+5 )=24 2 ( x +9 x+18)( x +9 x +20 )=24 (1) Đặt x +9 x+19= y (1) ( y + 1)(y – ) – 24 = y2 – 25 = 2 ( x +9 x+24 )(x +9 x+14 )=0 ( x+2 )( x+7 )( x +9 x +24 )=0 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Chứng tỏ x +9 x+ 24>0 Vậy nghiệm phương trình : x=−2 ; x=−7 2 b Ta có x −x −1=−( x −2 x +1)=−( x−1 ) 0) 289 Vậy M = 16 x = y = 0,5 b 1 6 x y y z z x Cho x, y số dương thỏa mãn: 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y z 1 Áp dụng BĐT a b a b (với a, b > 0) 2đ 0.5 1 1 a b a b Ta có: 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z 11 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 0,5 1 1 16 x y x z y z 1 1 x y z 16 x z x y y z Tương tự: 1 1 x y z 16 y z x y x z 0,5 cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 x y z x y z x y z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z 0,5 0,5 Caai 4: (5 điểm) B D I O C 0,25 H E P A Q BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA F Nối OE, BEF vuông B; BA EF nên AB2 = AE AF AE AB AE AB AE AB 1 AB AF OA AQ AB AF 2 Vậy AEO ABQ(c.g.c) Suy ABQ AEO mà ABQ P1 (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên AEO P1 , mà hai góc đồng vị => PH // OE Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy H trung điểm OA Ta cã: P sin cos6 sin co s 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,75đ P sin cos sin sin cos cos P sin cos 3sin cos 1 3sin cos 0,5đ Ta cã: sin 2 cos 4sin cos 4sin cos sin cos P 1 3sin cos 1 4 Suy ra: Do ®ã: Pmin vµ chØ khi: 0,25đ 0,25đ sin cos sin cos (vì sin tg 1 450 cos gãc nhän) Khi CD vng góc với AB 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có ACB ADB nội tiếp đường trịn (O) có AB đường kính nên ACB ADB 900 => ADBC hình chữ nhật 2 0,25đ Ta có: CD = AB = AE AF => CD4 = AB4 = AE2 AF2 = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF AB3 = CE.DF.EF Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: BE EA.EF AE BE AE CE.BE BF FA.EF AF BF AF DF BF BE CE BF DF Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 →n4 +n3 +1=( n + K ) =n +2 Kn2 + K →n3 −2 Kn =K −1→n2 ( n−2 k )=K −1≥0 2 2 Mà K −1⋮n → K =1 n ≤K −1 ( K ∈N ¿ ) 0,25đ 2 Nếu K =1→K =1→n ( n−2 )=0→n=2 Thử lại +2 +1=5 ( thỏa mãn) 2 Khi K ¿ 1→K > K −1≥n → K >n 2 n−2k < → mâu thuẫn với điều kiện n ( n−2 K )=K −1≥0 Vậy n = (1đ)