SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Đề thức Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Số báo danh Câu I (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: x 2m x 2m 0 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm 2x x P 2 x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức x1 x2 2(1 x1 x2 ) m thay đổi 1 2 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh A a b c số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: 1 B 2 ( x y ) ( y z ) ( z x ) số hữu tỉ 2 x x 10 Câu II (5,0 điểm).1) Giải phương trình: x x 1 1 1 x x 4 y y 2) Giải hệ phương trình: x x x 4 y2 y y3 Câu III (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( N P ) 1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V (4,0 điểm) 1) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130 Đặt d j a j 1 a j , ( j 1, 2, , 44) Chứng minh 44 hiệu d j xuất 10 lần 2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: b c c a a b 2 HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có trang) Câu Câu I 6đ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MƠN THI: TỐN LỚP: THCS Ngày thi: 24 - - 2011 Ý Hướng dẫn chấm 1) Ta có ' (m 1) 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m 2,5đ 4m Theo định lí viet, ta có x1 x2 2m, x1 x2 2m , suy P 4m 2 (2m 1) 1 1 Max P 1, m 2 4m 2a) Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca 0 1,5đ Suy A (a b c)2 a b c số hữu tỉ 2b) 1 1 1 a , b , c Đặt suy 1,0đ x y y z x z a b c 1 Áp dụng câu 2a) suy B số hữu tỉ 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) Câu II 1) Đk: x 1 Phương trình tương đương với 2 6đ 2,5đ 2x2 x x2 10 x 10 x 0 2 x 1 x 1 x x 1 x 10 2 2x2 0 t t Đặt t , ta phương trình t t 3 x 1 2x (vô nghiệm) Với t , ta x 1 2x2 t , suy x Với ta x 1 2) 2,5đ x y x y 4 Đk: y 0 Hệ tương đương với x x x 4 y3 y y u x u u 2v 4 u 4u 0 y Đặt ta hệ x u uv u u v v , y Điểm 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 u 2 v 1 1 x 2 y x 1 u 2 Với ta (thoả mãn điều kiện) y 1 v 1, x 1 y Kẻ EF AC F, DG BC G Theo giả thiết S( ADPE ) S( BPC ) S( ACE ) S( BCD ) Câu III 2đ Câu IV 4,0đ A 0,5 Do AEC CDB (c g c) DBC ECA 0,5 Ta có N H O ANB ANP BNP QAP QBP D C 1800 AQB , suy NAQB nội tiếp (1) B OAQB nội tiếp (2) P Dễ thấy tứ giác Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B E nằm đường tròn Suy điểm O, N, A, B nằm đường tròn Ta có OCN , 2OAN 2OBN ODN suy bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 2) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường tròn qua 1,0đ điểm N, O, D, C Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định d1 d d 44 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (a45 a44 ) a45 a1 130 129 (1) Câu V 1) 2đ 2,0 Nếu hiệu d ( j 1, 2, , 44) xuất không 10 lần j đ d1 d d 44 9(1 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1) Vậy phải có hiêụ d j ( j 1, , 44) xuất khơng 10 lần 2) 0,5 Mà AC BC EF DG A C Suy AEF CDG AE CG BPE PBC PCB PCD PCB 600 1) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến 3,0đ chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng Suy ANP QAP QBP BNP Q 1,0 Ta có 2(a b ) (a b) 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,5 0,5 2,0đ a2 b2 c2 a2 b2 c2 Suy b c c a a b b2 c c2 a2 c2 a2 Đặt x b c , y c a , z a b , y z x2 z x2 suy VT 2x 2y ( z x) ( y z) x 2 2x 2y y2 x2 y2 z 2z 1,0 ( x y)2 y z 2z ( z x) ( x y)2 ( y z )2 x 3x y 3y z 3z 2 2x 2y 2z 2( y z ) x 2( z x) y 2( x y 3z 2 1 2011 ( x y z) Suy VT 2 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa 0,5