Chuyên đề 3 bài toán liên quan đồ thị lê hoành phò file word

CHUYÊN Đề - BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đồ THị KIếN THứC TRọNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y  f  x  , y  g  x  Phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x   phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax3  bx  cx  d , a    Nếu có nghiệm x  x0 phân tích:  x  x0  Ax  Bx  C  Nếu đặt hàm số f  x   ax3  bx  cx  d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT  , có nghiệm: yC Ð yCT  , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT   yC Ð yCT   Phương trình bậc có nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT  a f     2) Hai điểm nhánh đồ thị y  g  x , ta thường lấy hai hoành độ k  a k  b với a, b  xk Góc khoảng cách:   xx ' yy '   - Góc vectơ: cos u, v  x  y x '2  y '2     - Góc đường thẳng: cos   cos n, n '  - Khoảng cách AB   xB  xA    yB  y A  AA ' BB ' A2  B A '2  B '2 - Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến    : Ax  By  C  : d Ax0  By0  C A2  B - Đồ thị hàm bậc 3: y  f  x  cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB  BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hồnh Trang - Phương trình trùng phương ax  bx  c  0, a  có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng  t1  t2 , t2  9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  đồ thị  C  : y  f  x  y  y0  f '  x0  x  x0  , hệ số góc: f '  x   k  tan  x, t  - Điều kiện đồ thị y  f  x  y  g  x  tiếp xúc hệ phương trình:  f  x   g  x  có nghiệm  f ' x  g ' x      - Tiếp tuyến qua điểm K  a; b  : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua điểm K  a; b  tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y  ax  b, d ' : y  a ' x  b ' có: d  d ' a  a ' , b  b ' ; d / / d ' a  a ' , b  b ' ; d  d ' a.a '  1 Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: x  D   x  D f   x   f  x  Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: x  D   x  D f   x    f  x  Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O  - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI  x  X  x0  y  Y  y0  Oxy    IXY  với I  x0 ; y0  :  - Điều kiện  C  nhận I  x0 , y0  tâm đối xứng y0  f  x0  x   f  x0  x  , x0  x, x0  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện  C  nhận d : x  a làm trục đối xứng; f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S  a;0  hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Trang Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M  x; y   V  cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TỐN Bài tốn 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y  x  2m2 x  cắt đường thẳng y  x  hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x  2m2 x   x   x  x3  2m2 x  1   x  x3  2m2 x   Xét hàm số f  x   x3  2m2 x  Ta có f    1  f '  x   3x  2m2  nên hàm số đồng biến      Vì lim f  x   lim x3  2m2 x    x  x lim f  x   lim x3  2m2 x    x  x nên phương trình f  x   ln có nghiệm x  : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y  x3   2m  1 x   3m   x  m  b) y  x3  3mx  m  Hướng dẫn giải a) Cho y   x3   2m  1 x   3m   x  m     x  1  x  2mx  m     x  1 f  x   x  2mx  m   1 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1  m2  m    '    m  1 m  2, m    f      m      b) D   Ta có y '  3x  3m, y '   x  m Điều kiện  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT  Trang    m   m  yC Ð yCT   f  m f     m   2m m m   2m m    m  1  4m3   4m3  m2  2m     m  1  4m2  3m  1   m  (vì    16  nên 4m2  3m   0, m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng  d m  qua điểm A  2;2  có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: y  2x 1 x 1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình  dm  : y  m  x     mx  2m  Phương trình hồnh độ giao điểm  d m  đường cong: mx  2m   2x 1   mx  2m   x  1  x  1, x  1 x 1 1  mx2  3mx  2m   0, x  1 a) Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1  m  a    m  m  12    0, g     m  12 m     b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x  1 đồ thị Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1  1  x2 Đặt x  t  x1  1  x2  t1   t2 Phương trình trở thành: m  t  1  3m  t  1  2m    mt  mt     ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  P   m  Bài tốn 3.4: Tìm tham số để đường thẳng Trang a) y  m, m  cắt đồ thị  C  hàm số y  x  3x  hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O x2 b) y  3x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1  x2 đạt x 1 giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x   m  x  3x   m  Với m  đường thẳng y  m cắt  C  hai điểm phân biệt A  xA ; m  B  xB ; m  đối xứng qua Oy, xA  xB   Tam giác OAB vuông O nên OAOB   xA xB  m2  Mà xA  xB  nên xA  m; xB  m   Do m4  3m2  m     m   m3  2m2  m    m  (vì m  ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2  3x  m  x   m  3 x  m  0, x  x 1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1:   m  2m      : Đúng m   g 1  1   Ta có: x1  x2   b   b      2a 2a m  2m   4  m  1 8  2 Vậy giá trị x1  x2 nhỏ m  1 Bài toán 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài b) Đường thẳng d : y   x  m cắt  C  : y  2x 1 hai điểm A, B mà AB  10 x 1 Hướng dẫn giải Trang a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hồnh nghiệm phương trình: x   m  1 x  m   x  x  m Điều kiện m  m  Khi đó, phương trình có nghiệm x  1, x  1, x   m , x  m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m m  1  m  m  (chọn) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  :  2x 1  x   m  1 x  m    x  m   x 1  x  Đường thẳng d cắt  C  điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác   m  6m   m     m  1   m  1     m  1  0, m  1   m  1  m   Khi A  x1;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  x1  x2  m  1; x1.x2  m  Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1   10   x2  x1   2   x1  x2   x1 x2    m  1   m  1   2  m   1  m  (thỏa mãn)   m   m  Vậy m  hay m  Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y  m  x cắt đồ thị  C  : y  cắt tiệm cận  C  P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm d  C  : x  3x  m  x  x   m   x  m  0, x  x 1 Trang x  3x điểm M, N x 1 Ta có x  khơng nghiệm   m2  16  , m nên d cắt  C  điểm phân biệt M, N x  3x  x2 Ta có y  nên TCĐ: x  , TCX: y  x  x 1 x 1 Do xP  , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m  x  x   xQ  xP  xQ m  xM  xN m2 Do : đpcm   2 2 Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y  x  biết tung độ tiếp điểm y0  b) y   x3  x  3x  song song với d : y  x9 Hướng dẫn giải   a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm x0 , f  x0  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  Vì y0   f ' x  x    x0  1 nên f '  x0   x2 Thế vào: y  1  x  2   x  4 b) y '   x  x  Đường thẳng d có hệ số góc k  Tiếp tuyến song song với nên y '   x  16 x  15   x0   3   x2  4x   4 x0   2 Với x0   29 37 f  x0   nên có tiếp tuyến y  x  24 12 Với x0   f  x0    nên có tiếp tuyến y  x  4 Vậy có tiếp tuyến y  3 37 x  y  x  12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: Trang a) y  x3  x  có hệ số góc bé b) y  f  x  thỏa mãn f 1  x   x  f 1  x  x  Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y '  x  12 x  6   x  1  6 , dấu = x0  nên max y '  6 , tiếp tuyến A 1; 1 y  6 x  b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f 1  x  f ' 1  x    f 1  x  f ' 1  x  Thế x  : f 1 f ' 1   f  x  f ' 1 * Thế x  vào f 1  x   x  f 1  x   f 1   f 1  f 1 1  f 1    f 1  f 1  1 Với f 1  * :  (loại) Với f 1  * : 4 f ' 1   f ' 1  f ' 1  Vậy phương trình tiếp tuyến y   1  x  1 Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: a) y  x3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng  C  đến tiếp tuyến 2 x 1 b) y  x3  3x  biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB  9OA Hướng dẫn giải a) Ta có y '   x  1 , x  1 Phương trình tiếp tuyến d M  x0 ; y0    C  , x0  1 y  x0  1  x  x0   x0  x0   x   x0  1 y   x02  x0  3  nên Trang 4   x0  1   x02  x0  3 d  I ,   2  16   x0  1 2 2 2   x0  1   x0  1  16    x0  1  4     x0    x0  1     x0  3 Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến y  x  Với x0  3 , ta có phương trình tiếp tuyến y  x  b) Ta có y '  3x  x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB  9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: k  tan OAB   OB  9 OA Do y '  9  3x  x  9  x2  2x    x0  1    x0   x  x   VN  Với x0  1, phương trình d y  x  Với x0  , phương trình d y  x  25 Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: y  tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S  Hướng dẫn giải Ta có y '  3  x  2 ,x  Tiếp tuyến d với  C  M  x0 ; y0  , x0  d:y 3  x0    x  x0   x0  x0  Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy Trang x 1 điểm M có hồnh độ âm, biết tiếp x2  x  x0    x02  x0    Ta có A ;0  , B  0;  x0       S 1 1 x02  x0  x02  x0   OA.OB    6 x     x02  x0   x0  1  x0     x0  4  x0   x0  3x0   Chọn x0  nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y   1  x  1 ; d : y   x  12 Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: a) y  x3  x  qua A  0;2  b) y  1  m  x   m , m  qua mx  m  M  1; 1 Hướng dẫn giải a) Ta có: y '  3x  10 x Phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  y  f '  x0  x  x0   y0 y   3x03  10 x0   x  x0    x03  5x02    Cho tiếp tuyến qua A  0;2  :  3x02  10 x0 0  x    x  x03  5x02   x02  x0  5   x0  x0  Với x0  có tiếp tuyến y  Với x0  25 x2 có tiếp tuyến y   b) Ta có y '  1  mx  m  1 ,x  1 m m Gọi d tiếp tuyến với  Cm  điểm T  x0 ; y0  d : y  y '  x0  x  x0   y0 Trang 10  5x02  2 Bài tốn 3.28: Tìm điểm M thuộc  C  : y  cận  C  ngắn x 1 cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm x 1 Hướng dẫn giải Đồ thị  C  : y  x 1 có TCĐ: x  , TCN: y  nên giao điểm tiệm cận I 1;1 Ta có x 1  x 1 M  x;    C  nên khoảng cách:  x 1   x 1  IM   x  1    1   x 1   x  1 Dấu = xảy  x  1     x  1 4   x  1   x    x  1  2   Vậy M1  2;1  , M  2;1  x 1 có đồ thị  C  Tìm điểm M đồ thị  C  cho tổng khoảng cách x 1 từ M đến đường thẳng 1 : x  y    : x  y   nhỏ Bài toán 3.29: Cho hàm số: y  Hướng dẫn giải  Giả sử M  x0 ;  x0  d x0      C  , x0  Tổng khoảng cách x0   3 x0  x0   x0       x0   x0   x0  x0   5  2 x0    x0   x0   x0  x0  x0  5     x0    x0   5  x0   Dấu đẳng thức xảy  x0      x0   Trang 20    Vậy điểm M thỏa mãn M  2;1  , M  2;1  Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y   4x  có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x 3 Hướng dẫn giải Đồ thị y    Gọi M  x; 4x  có TCĐ  : x  , TCN  ' : y  x 3 4x      C  , ta có d  M ;    d  M ;  ' x 3   x 3  4x  4  x 3  2 6 x 3 x 3 Dấu = xảy x     x  3  , có điểm M  6;7  M '  0;1 x 3 Bài tốn 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y  x 1 có tổng khoảng cách đến trục bé x 1 Hướng dẫn giải   Gọi M  x; x 1  x 1 , x  1    C  , tổng khoảng cách đến trục d  x  x 1 x 1 Xét điểm A  0;1   C  d  nên d  , xét điểm có: x  ,  x  , đó: d  x x 1 2  x 1  2   x  1   2  2 x 1 x 1 x 1 Dấu = xảy x    2   x  1   x  1  x 1   Vậy có điểm M 1  2;1  , M ' 1  2;1   x2  Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y  có tổng khoảng cách đến trục bé x2 Hướng dẫn giải  Gọi M  x;  x2   x2  tổng khoảng cách đến trục  C d  x  , x     x2  x2 Trang 21 x 1  nên x 1   3 2 Xét điểm A  0;    C  d  3 , d  nên xét điểm có hồnh độ x  2 x2  x2   nên d  x  Khi x2 x2 Nếu  x  x2  x2  8x  , f ' x   d  f  x   x  2 x2  x  2 f ' x    x   Lập BBT d  f    Nếu  x2  1 , g ' x   0  x  d  g  x    x  x2  x  2     Do g nghịch biến   ;0   g  x   g    So sánh d   3 M  A  0;   2 Bài tốn 3.33: Tìm hai điểm nhánh đồ thị  C  : x2  x  y có khoảng cách bé x2 Hướng dẫn giải Hàm số y  x2  x  1  x 1 ,x  x2 x2   Gọi A   a;3  a  1  1  , B   b;3  b   điểm thuộc nhánh với a, b  Ta có: a  b 1  2   BA   a  b    a  b      a  b  1  1   a b    ab  2 2   2    a  b    2   4ab    2 ab a b  ab a b         2ab     4.2 ab   Trang 22    Dấu = xảy a  b 2ab   Vậy A    1 ab ab 1  1   4 ;3   B  ;3      4 4 2 2  Bài tốn 3.34: Tìm điểm M thuộc  P  : y  f  x   3x  8x  N thuộc  P ' : y  g  x   x  x  13 cho MN bé Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN Gọi M  x; f  x   , N  x1; g  x1   f '  x   g '  x1   6 x   x1   x1  3x   Do MN  36 x  192 x3  392 x  352 x  121  h  x   Ta có h '  x   64 x3  36 x  49 x  22   64  x  1  x  27 x  22  h '  x    x  Lập BBT h  x   h 1  Khi M 1;4  , N  3; 2  ; kiểm tra MN vng góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M 1;4  , N  3; 2  Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị  C  : x2  x  a) y  có tâm đối xứng x 3 b) y  x  x3  x có trục đối xứng Hướng dẫn giải nên  C  có TCĐ: x  TCX: y  x  , giao điểm tiệm cận I  3;4  x 3   x  X  Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI :  Thế vào  C  được: y  Y  a) Ta có y  x   Y   X  1 5 Y  X  X 33 X Trang 23 Vì Y  F  X   X  hàm số lẻ  đpcm X  b) y '  x3  12 x  x  x x  3x   y '   x  2 x  1 x    x  X  Thế hàm số:  y  Y 1 Xét điểm I  1;1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI :  Y    X  1   X  1   X  1  Y  X  X hàm số chẵn  đpcm x2  x   5 Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y  đối xứng qua điểm I  0;  x 1  2 Hướng dẫn giải Ta có y  x   Gọi E  x1; y1  , F  x2 ; y2  theo đề bài: x 1  x1  x2   x1  x2  x  x     4   y1  y2   x1 x2  9  x1  x2   x   x    Do x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  F  3;7  x2  x  Bài tốn 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  đối xứng qua đường thẳng x 1 d : y  x  Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vng góc với d d ' : y   x  b PT hoành độ giao điểm d '  C  : x2  x    x  b, x  x 1  x   b  3 x   b  Điều kiện    b  3    b   b2  2b   Hoành độ giao điểm I d d ' : x    x  b  xI  I trung điểm đoạn AB: xI   x A  xB b3 b3   b  (chọn) Trang 24 b3  14 14   14 14  ;6  ;6  , B 3   2   2  Vậy A    Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng y   x  cắt đồ thị hàm số y  x2   m  2 x  m hai điểm đối x 1 xứng qua y  x Hướng dẫn giải Điều kiện PT hoành độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: x2   m  2 x  m   x   x   m   x   m  1 x 1   2  1   m     m  m   Đk:     m    m       m  11  104 hay m  11  104   Gọi x1 , x2 hoành độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1  x2   m7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y  x vng góc với đường thẳng y   x  nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2   x1   x1  x2  4  m    m  (thỏa mãn) Bài tốn 3.39: Tìm cặp điểm nguyên  C  : y  x3  x  đối xứng với qua đường thẳng y  x không nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A  x; y  điểm đối xứng A qua đường thẳng y  x có tọa độ  y; x  Vì u cầu tốn tương đương với việc tìm nghiệm nguyên  x; y  với x  y hệ phương trình  y  x3  x    x  y  y    nên  x  y  x  xy  y    x  xy  y  Phương trình x  xy  y  có nghiệm nguyên x  y  2; 1 ,  1;2  ,  2;1 , 1; 2  Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm  2; 1 ,  1;2 Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y  x khơng nằm đường thẳng  2; 1  1;2  Trang 25 Bài toán 3.40: Cho f  x  hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f  x  có trục đối xứng x  a khi: f '  a   f '''  a   Hướng dẫn giải Ta khai triển f  x  theo x  a : f  x   a4  x  a   a3  x  a   a2  x  a   a1  x  a   a0 f   a đó:  nên đồ thị đa thức f  x  có trục đối xứng x  a i! g  x   f  x  a  hàm số chẵn: i  f  3  a  0  a3   3!  f '  a       a1   f a  f '''  a     1!  Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x  a f '  a   f '''  a    f  m1 a  Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của: x   m   x  6m  a) Các đồ thị y  x2 b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y  mx3  3mx   2m  1 x   m Hướng dẫn giải a) Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm mà đồ thị qua m Ta có y0   x0  m, m   x02  1 m  y0  x02  x0  0, m   x0  1, y0   x0       x0  1, y0   y0  x0  x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M 1;0  M '  1;0  b) y '  3mx  6mx  2m  1,    m  m  Ta có y  x 1  2m 10  m y ' x nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3 Trang 26 y  2m 10  m m x  10 x    x  1  3 3     Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định A   ;3  Bài tốn 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua a) y  mx  x 9   b) y  x3  3mx  2m2  x  m2  5m  với M thuộc d : x  Hướng dẫn giải a) Gọi M  x0 ; y0  điểm mà đồ thị không qua: y0   x0  mx0  , m   x0   x0  9, mx0   y0  x0   , m  x0  Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x  x  , bỏ điểm A  0; 1   x0  0, y0  1 b) Gọi M 1; y   d điểm cần tìm: y   3m  2m2   m2  5m  1, m  3m2  8m  1  y      16  1  y    y   Vậy điểm cần tìm M 1; y  với y   13 13 Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị y  1  m  x3  31  m  x  4mx  m qua điểm cố định thẳng hàng Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định đồ thị: y0  1  m  x03  31  m  x02  4mx0  m, m  y0   x03  3x02  x0  1 m  x03  3x02 , m   x0  3x0  x0      y0  x0  3x0 1 (2) Trang 27 Ta chứng minh (1) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f  x   x3  3x  x  f liên tục  , ta có f  6   85  , f  1   , f    1  , f    11  nên (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  6; 1 ,  1;0  ,  0;2  Từ 1  x03  3x02  x0  nên    y0  x0  Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y  x  Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số y   m  1 x  m , m  tiếp xúc với đường thẳng cố xm định điểm cố định Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định: y0   m  1 x0  m , m  x0  m   m  1 x0  m  y0  x  m  , x0  m, m    x0   y0  m  x0 1  y0   0, x0  m, m   x0  0, y0  1 Ta có y '  m2  x  m , x  m  y '    1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định M  0; 1 , có tiếp tuyến chung y   x  Bài toán 3.45: Trên đồ thị  C  hàm số y   x3  3x  có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với  C  có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y '  p  3x  x  p  3x  x  p  1 '   3p   p  Với p   C  có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M1 , M trung điểm M1M có hồnh độ: xI  x1  x2 1  yI  Vậy trung điểm M1M điểm cố định I 1;0   x  mx  m2 Bài toán 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ  Cm  : y  xm qua Trang 28 Hướng dẫn giải Giả sử  x0 ; y0  điểm mặt phẳng mà có hai đường cong  Cm  qua Khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt y0   x02  mx0  m2  m2   x0  y0  m  x0  x0  y0   x0  m Điều kiện     x0  y0  y0  3x0   Vậy điểm cần tìm có tọa độ  x0 ; y0  thỏa mãn quan hệ  x0  y0  y0  3x0   Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị  Cm  : a) y   m  1 x  m b) y  mx  6m   xm xm Hướng dẫn giải a) D   \ m Ta có Ta có lim y  lim x  x  lim  y  , lim  y   nên TCĐ: x  m với m  x   m  x   m   m  1 x  m  m  nên TCN: xm y  m 1   x  X  m Thế vào  y  Y  m 1 Giao điểm tiệm cận I  m; m  1 , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI :   Cm  được: m  1 X  m   m  m2 Y  m 1  Y  X  X  m  m m2 hàm số lẻ nên  C  có tâm đối xứng I có tọa độ x  m ; y  m  Khử tham X số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y   x  1, x  Ta có Y  F  x   b) Đồ thị  Cm  : y  mx  6m   , x  m có TCĐ: xm x  m TCX: y  mx  6m  nên giao điểm I  m; m2  6m  1  Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI tâm đối xứng I có tọa độ: x  m , y  m2  6m  Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol  P  : y  x  x  Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: Trang 29 x  2mx  3m  a) Cực đại đồ thị y  x 1   b) Cực tiểu đồ thị y  x3  3mx  m2  x  m3  3m Hướng dẫn giải a) D   \ 1 , y '  x  2mx  3m  ,'  m  x 1 Điều kiện có cực trị   0,1   m    m  , hoành độ cực trị x   m  Lập BBT điểm cực đại A: x   m  4, y  f  x  Ta có x   m   m   1  x   P  : y  2x  6x  10 ,  vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x   m   nên giới hạn x   b) D   , y '  3x  6mx  m2  Vì  '   , m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x  m  Lập BBT điểm cực tiểu B : x   m; y  f 1  m   2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y  2 x2  x  Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y  m  x cắt đồ thị y  hai điểm phân x 1 biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải PT hoành độ giao điểm: x2  x   m  x  3x   m   x  m   0, x  x 1 Vì x  khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi:    m    12  m  1   m2  8m    m   m   Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: x  xB m  xM  A  Vì điểm M nằm đường thẳng y  m  x nên yM  m  xM Khử m, ta có m  xM  nên yM  xM   xM  5xM  Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y  5x  Trang 30 Giới hạn: m    x     x   m   6  6x     x   Bài tốn 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y x2  x  x 1 Hướng dẫn giải Ta có D   \ 1 , y '  y x0  x0    x0  1  x  1  x  x0   Cho x  y  Xét f  x   x  x  2 nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0  x02  x0  x0  x0   x0  1 2x 1  x  1 2 , x  f '  x   2 x  x  1 Cho f ' 1   x  Bảng biến thiên x  − y' y 0  − +   −1 Do y  1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B  0; y  với y  Bài tốn 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến  C  : y  x   tuyến vuông góc với Hướng dẫn giải Gọi M  a; b  , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y  k  x  a   b Điều kiện d tiếp xúc  C  hệ sau có nghiệm x  Trang 31 x mà tiếp x 1   x 1 x 1  k  x  a  b  x      1  x 1  k    x  1 Do  k  x  a  b x 1  k  x  1 x 1 2  k 1  a   b    k 1  a   b   k x 1 Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: g  k    a  1 k   1  a  b   k  b   0, k  Yêu cầu toán: a  1, k1k2  1, g 1   a  1, b2     a  1 ,  a  1   1  a  b    b2   2   a  1  b2  4, a  1, a  b  Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường trịn     x  1  y  bỏ điểm A 1;2  , B 1; 2 ,  C  2; D  2;  BÀI LUYệN TậP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng x2  x  a) y  2 x  m cắt đồ thị hàm số y  hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn x thẳng AB thuộc trục tung b) y  m cắt đồ thị y  x  x  điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x  1  m  x    x  0 Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1  x1  x2 m   Kết m  b) Kết m  41 25 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng x2  a) y  m  x    cắt đồ thị hàm số y   C  hai điểm thuộc hai nhánh x Trang 32 x2  b) y   x  m cắt đồ thị hàm số y  hai điểm phân biệt A, B cho AB  x Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Kết m  b) Kết m  2 Bài tập 3.3: Cho hàm số y  x có đồ thị  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  C  cho tiếp tuyến  x  3  C  M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn Các tiếp điểm x0   3 , x0    Bài tập 3.4: Cho hàm số y  f  x   cos2 x  m sin x Tìm m để hai tiếp tuyến x    x   song song trùng Hướng dẫn   32     m   f ' Kết    1  4 3 Điều kiện f '   Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y   2m  1 x  m2 x 1  tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y  x Điều kiện đồ thị y  f  x  y  g  x  tiếp xúc hệ phương trình:  f  x   g  x  có nghiệm Kết m    f '  x   g '  x  Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y   x  x  điểm uốn b) y   x3  3x có hệ số góc lớn Hướng dẫn a) y '  4 x3  x, y ''  12 x  Trang 33 Kết y   3 x y  x 3 3 b) Kết y  3x  Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2m x  m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O x 1 Hướng dẫn Điều kiện f   x    f  x  có nghiệm x  x  1 Kết m   1 m  , m  1 2 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị  C  : y  2x  có khoảng cách bé x 1 Hướng dẫn    Kết A  5;2  , B  5;2   Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị không qua: y  x3   m  1 x   m2  3m  x    2m  m2  Hướng dẫn Kết đường thẳng x  , bỏ điểm A 1;7  điểm M  x; y  cho  x  1  x  1 x  2   x3  x   y     Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị  H  : y  4x  có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x 3 Hướng dẫn Kết M  0;1 M  6;7  Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  x3  mx  m  , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m  hay m  3  2 Trang 34