Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 13 khối tứ diện và khối chóp lê hoành phò file word

Chuyên đề 13:KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP 1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM - Hình chóp tam giác , tứ giác, - Hình chóp đều: đáy đa giác cạnh bên Trung đoạn hình chóp đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy Hình chóp hình chiếu đỉnh chóp tâm đáy Thể tích khối chóp: V  B.h Thể tích hình chóp cụt: V  S1  S1S  S2 h   Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: S  AB ' C ' AB ' AC ' V  S AB ' C '  SA ' SB ' SC '  ;  S ( ABC ) AB AC V ( S ABC ) SA SB SC Chú ý: 1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có cách chọn đỉnh chóp 2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần (có cặp cạnh đối nhau) nội tiếp hình hộp chữ nhật tứ diện nội tiếp hình lập phương 3) Khi tính tốn đại lượng, cần đặt ẩn tìm phương trình để hướng dẫn giải ẩn Để tính diện tích, thể tích có ta tính gián tiếp cách chia nhỏ phần lấy phần lớn trừ phần dư dùng tỉ số 4) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h CÁC BÀI TỐN Bài tốn 13 1: Tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đơi có OA = a, OB = b, OC= c Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC) a) Chứng minh cos   cos   cos  1 b) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh O xuống mặt phẳng (ABC) H trực tâm tam giác ABC với đường cao AA', BB', C C' ^  'B a) Ta có  O A' A,  OB Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  ' C nên cos  cos O A' A sin O A A '  OH  OC a ^ Tương tự cos   Từ hệ thức ^ OH OH , cos   b c 1 1 OH OH OH       1 OH a b c a2 b c Vậy cos   cos   cos  1 abc b) Ta có: OH  nên: S HBC  S HAB  2 a b  b 2c  c 2a b2c 2 a 2b  b c  c a a 2b 2 a 2b  b 2c  c a S HBC SOBC cos  Tương tự: ; S HAC  c2a2 a 2b  b c  c a    Bài toán 13 2: Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a AO B = AO C = 60°, B O C = 90° a) Chứng minh ABC tam giác vng OA  BC b) Tìm đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng OA BC Chứng minh (ABC) vng góc (OBC) Hướng dẫn giải ^ ^ a) Vì A O B = A O C = 60°, OA = OB = OC = a nên AB = AC = a Suy  ABC =  OBC Vậy tam giác ABC vuông cân A Gọi J trung điểm cùa BC OJ  BC, AJ  BC nên OA  BC b) Gọi I trung điểm OA, OJ = AJ nên IJ  OA, IJ đoạn vng góc chung OA BC  a   a  a2 a IJ OJ  OI        IJ     2 2 Ta có OJ  BC, AJ  BC, IJ = OA nên tam giác OAJ vng I Do góc mp(OBC) mp(ABC) góc OJA= 90° Vậy mp(OBC)  mp(ABC) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 13 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hướng dẫn giải Dựng tứ diện APQR cho B, C, D trung điểm cạnh QR, RP, PQ Ta có AD BC  PQ  AQ  PQ mà D trung điểm PQ  AQ  AP Chứng minh tương tự, ta có AQ  AR, AR  AP 1 Ta có: VABCD  VAPQR  AP.AQ.AR 4 Xét tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có: AP  AQ 4c , AQ  AR 4a , AR  AP 4b Suy ra: AP   a  b  c , AQ  a  b  c AR  a  b  c Vậy: VABCD  12  a  b2  c2   a  b2  c2   a  b2  c  Bài tốn 13 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải: Gọi K trung điểm BC I SK  MN a Từ giả thiết suy MN  BC  , MN / / BC , suy 2 Ra I trung điểm SK MN Ta có SAB SAC nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN,  AMN cân A, suy AI  MN Mà (SBC)  (AMN)  AI  (SBC) => AI  SK Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do SAK cân A, suy SA = AK  Ta có SK SB  BK  a 3a a a nên:   4 2 3a a a 10  SK  AI  SA  SI  SA         2 a 10 Vậy: S AMN  MN AI  (đvđt) 16 Bài tốn 13.5: Cho hình chóp O.ABC có cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c chúng vng góc với đơi một: a) Tính thể tích hình chóp O.ABC b) Tính chiều cao OH diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải a) Ta có AO  OB AO  OC OA  (OBC) nên hình chóp O.ABC coi hình chóp A.OBC với đáy OBC đường cao AO abc Do đó: V  SOBC OA  (đvtt) b) Hạ OH  (ABC) H trực tâm đáy Ta có: 1 1 1 b c  a 2c  a 2b  2     OH a OA '2 a b c a 2b c Do đó: OH  abc 2 a b  b 2c  a 2c 3V a 2b  b c  a c Và V  S ABC OH  S ABC  (đvtt)  OH Bài tốn 13 6: Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AC, BC; D điểm đối xứng s qua E; I giao điềm đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) a) Chứng minh AD vng góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI Hướng dẫn giải a) Ta có SA  (SBC) => SA  BD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Mà BD  SB  BD  (SAB)  BD  SM Mà SM  AD (do tam giác SAB vuông cân) ⟹SM  (ABD) => SM  AD Chứng minh tương tự ta có: SN  AD => AD  (SMIN) => AD  SI b) Ta có AD  SA2  SD a SD DI DA  DI  SM MB  SD 2a  DA AB a  2 Hạ IH  AB IH//BD Do đó: IH AI AD  DI 1 a     IH  DB  DB AD AD 3 Mặt khác SM  (ABD) nên 1 a a a a3 VMBSI  SM S MBI  SM BM IH   6 2 36 Bài toán 13 7: Một hình chóp P.ABC có hai mặt bên (PAB) (PAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A có trung tuyến AD = m, PB tạo với đáy góc  tạo với mặt phẳng (PAD) góc  a) Chứng minh PB PA2  AD  BD b) Tính thể tích hình chóp Hướng dẫn giải a) Hai mặt bên (PAB), (PAC) vng góc với đáy, nên giao tuyến PA vng góc với đáy  Do AB hình chiếu PB đáy nên PAD  Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến AD  BC, mà PA  BC nên BC  mp(PAD) Do PD hình chiếu  PB mp(PAD) nên PBD  Trong tam giác vuông PBD ta có: PB PD  BD Trong tam giác vng PAD ta có: PD PA2  AD Vậy: PB PA2  AD  BD b) Đặt PB = x PA = xsin  PD = xcos  , BD = xsin Trong tam giác vng PAD ta có: PD  PA2  AD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 2 2 hay x  cos   sin   m  x  m2 cos   sin  Thể tích hình chóp 1 m sin  sin  V  S ABC PA  BD AD.PA  x sin  m.x sin   3 3  cos   sin   m sin  sin  V=  cos   sin   Vậy Bài toán 13 8: Cho tứ diện ABCD điểm M, N, p thuộc cạnh BC, BD, AC cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính tỉ AQ tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD phân chia mặt phẳng AD (MNP) Hướng dân giải Gọi E MN  CD Khi Q PE  AD Gọi F trung điểm BC G điểm AC cho DG // PQ Ta có FD//MN AG PG PG ED 1  1  1  AP AP PC EC 1  2MF 1   MC 3 Suy AQ AP   AD AG Gọi V thể tích tứ diện ABCD, V1 thể tích khối đa diện ABMNQP, V2 thể tích khối đa diện CDNMPQ Khi V2 V  V1 Ta có: V1 VABMN  VAMPN  VAPQN Vì S BMN S MNC S DNC BM BN  ,  ,   ,  nên S BCD S BCD S BCD BC BD 1 Suy VABMN  V ,VAMNP  , VAMNC  V 8 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải VAPQN  VADNC  V 10 Do V1  V 7 V , suy  V2 13 20  Bài toán 13 9: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = 30°, BSC = 45°,  = 60° Tính thể tích hình chóp S.ABC CSA Hướng dẫn giải Trên ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm M, N, P cho SM = SN = SP Gọi H hình chiếu S lên (MNP) ta có: SM = SN = SP HM = HN = HP => H tâm đường tròn ngoại tiếp  MNP Theo định lý hàm số cơsin ta có: MN   nên S MNP  , NP   , MP 1    21 3 2 Vì MH bán kính đường trịn ngoại tiếp  MNP nên: MN NP.PM MH   S MNP SH= 2 2 4 SM  MH  1 VSMNP  SMNP SH  12      31  21 3  3 2 2  1  2 abc Ta có VS ABC  SA SB SC abc  V  SABC VS MNP SM SN SP 2  3 2  1  21  3 12 Bài toán 13 10: Cho hai tia Ax By tạo với góc  , đường thẳng AB vng góc với Ax By; AB = d Hai điểm M, N nằm hai tia Ax By, AM = m, BN = n Tính: a) Thể tích khối tứ diện ABMN Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo AB MN Hướng dẫn giải 1 a) VABMN  AM BN d sin   m.n.d sin    b) Vẽ BM  AM ABM ' M hình chữ nhật có AB// (MN M ' ) Khoảng cách h hai đường thẳng AB MN khoảng cách từ AB tới mp(MNM') hay khoảng cách từ B tới mặt phảng Hạ BH  NM' BH  mp(MNM'), h = BH Ta có S BMN  NM '.BH nên h mn sin  m  n  2mn cos  Bài tọán 13 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) ta lấy hai điểm M, N Đặt AM = X, CN = y a) Tìm điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O xy  a2 b) Giả sử M, N thay đổi cho tam giác OMN vng O Tính thể tích tứ diện BDMN Hướng dẫn giải a) Trong mp(AM, CN) hạ MP  CN ta có tam giác MNP vng P Do đó: MN  NP  MP 2  AC   CN  CP  2a   y  x  MN= MN  2a  ( x  y ) Điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O là: MN OM  ON  MN MA2  AO  OC  CN 2  2a   x  y   x  y  a  xy  a2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b)BD  AM , BD  AC => BD  (ACM)  BD  MO Nếu MO  ON MO  (ONB), tức MO đường cao tứ diện BDMN Do đó: a  a2  a 2 VBDMN  MO; S BDN   x    y     a a4 a2 a   x  y2   x2 y2  a2 a ( x  y) (đvtt) x  y2    Bài toán 13 12: Cho khối lăng trụ ABC.A' B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm đường thẳng MB' đường thẳng AA', N giao điểm IC' AC Thiết diện khối lăng trụ cắt mp(B'C'M) hình thang B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần, gọi V1 thể tích phần chứa cạnh AA' V2 thể tích phần cịn lại Giả sử khối lăng trụ ABC.A'B'C' có diện tích đáy S chiều cao AA' = h Ta có: 1 V1 VAMNA ' B 'C ' VIA ' B 'C '  VIAMN  S A ' B ' C ' IA ' S AMNIA 3 1S 7  S 2h  h  Sh  VABC A ' B ' C '   V1  V2  34 12 12 12 Suy ra: 12V1 7(V1  V2 ) hay V1  V2 Bài tốn 13.13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn A'C', I giao điểm AM A'C Tính thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Hướng dẫn giải a) Hạ IH  AC ( H  AC )  IH  ( ABC ) nên IH đường cao tứ diện IABC Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  IH / AA '  IH CI 2 4a    IH  AA '  AA ' CA ' 3 AC  A ' C  A ' A2 a BC  AC  AB 2a Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB.BC a 2 4a Thể tích khối đa diện IABC: V  IH S ABC  b) Hạ AK  A ' B ( K  A ' B ) Vì BC   ABB ' A ' Nên AK  BC  AK   IBC  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK AK  2S AA ' B AA ' AB 2a   A' B A ' A2  AB Bài toán 13 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có mặt đáy tam giác ABC vuông B AB = a, BC = 2a, AA' = 3a Một mặt phẵng (P) qua A vng góc với CA' cắt đoạn thẳng CC' BB' M N a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB b) Chứng minh AN  A'B tính diện tích tam giác AMN Hướng dẫn giải 1 a) VCA'AB = VA'ABC = SABCAA' = a.2a.3a = a b) Ta có: CB  AB, CB  AA ' (do AA '  ( ABC )), suy CB   A ' AB  Mặt khác AN  CA ' suy AN  A ' B Ta có: VA ' AMN  S AMN A ' I 3 Vì NB//AA’,MC//(AA’B)  VA ' AMN  S MAA ' N VMAA ' B VCAA ' B a Và A ' I A ' C  A ' A2 Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải