Cđ5 tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số  Dạng tổng quát : a c  a : b c : d b d Các số a d gọi ngoại tỉ ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a c   ad bc  b ,d 0  b d  Tính chất :  Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức ta có thể:  Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;  Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;  Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ Từ dãy tỉ số a c e a c e a c e a  c e   ta suy :     b d f b d f b d  f b  d f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Khi có dãy tỉ số a b c   , ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; 5 Ta viết a : b : c 2 : : B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y  2x  y 36 Giải  Tìm cách giải Để tìm x,y dãy tỉ số biết thêm điều kiện buộc Ta có thể:  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)  Trình bày lời giải + Cách : (Đặt ẩn phụ) Đặt x y  k suy : x 3k , y 4 k Theo giả thiết : 2x  3y 36  k  12 k 36  18k 36  k 2 Do : x 3.2 6; y 4.2 8 Kết luận x 6, y 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y 2x  y 36    2 2.3  3.4 18 x 2  x 6 y 2  y 8 Kết luận : x 6, y 8 + Cách 3: (phương pháp thế) x y 3y Từ giả thiết   x  4 3y  3y 36  y 72  y 8 Mà 2x  3y 36  3.8 6 Do : x  Kết luận x 6, y 8 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết :  ,  2x  y  z 6 Do : Giải  Tìm cách giải Từ hai tỉ lệ thức giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y nối cần tạo thành phần chứa y giống Sau ý tưởng ví dụ trên, có cách giải  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số  Trình bày lời giải + Cách Từ giả thiết : x y x y     1 12 y z y z     2 12 20 Từ (1) (2) , suy : Ta đặt x y z    * 12 20 x y z    k suy x 9 k ; y 12 k ; z 20 k 12 20 Theo giả thiết : 2x  y  z 6  18k  26 k  20 k 6  k 6  k 3 Do đó: x 27, y 36, z 60 + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y z 2x 3y z 2x  y  z        3 12 20 18 36 20 18  36  20 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Do đó: x 3  x 27 y 3  y 36 12 z 3  z 60 20 Kết luận : x 27, y 36, z 60 + Cách (phương pháp : ta tính x, y theo z) 3z 3z x y 3y 9z Từ giả thiết : y z   y  ;   x    5 4 20 Mà 2x  3y  z 6  Suy : y  9z 3z z   z 6  60  z 60 20 10 3.60 9.60 36, x  27 20 Kết luận : x 27, y 36, z 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x y biết x y  xy 24 Giải Đặt x y   k suy : x 2 k , y 3k Theo giả thiết : xy 24  k 3k 24  k 4  k 2 + Với k 2 x 4; y 6 + Với k  x  4; y  Kết luận Vậy  x ; y    4;   ,  4;6   Nhận xét Trong ví dụ mắc sai lầm sau : + Thứ lời giải thiếu trường hợp k  + Thứ hai vận dụng tính chất : x y xy 24    4! Chúng ta lưu ý tính chất dãy tỉ số 2.3 không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với Do gặp điều kiện phép nhân lũy thừa biến, nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác , biết Chứng minh : bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c   x y z Giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Tìm cách giải Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa : ay bx , bz cy , az cx hay cần chứng minh ay  bx 0, bz  cy 0, az  cx 0 Vì từ giả thiết ta cần chứng minh bz  cy cx  az ay  bx   0 Với suy nghĩ , cần nhân tỉ số với số thích hợp a b c vào tử mẫu số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số kết Quan sát tỉ số bz  cy cx  az ta thấy bz  az ; để triệt tiêu được, cần nhân tử mẫu tỉ a b số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ ba  Trình bày lời giải Từ đề ta có : abz  acy bcx  abz acy  bcx   a2 b2 c2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : abz  acy bcx  abz acy  bcx abz  acy  bcx  abz  acy  bcx    0 a2 b2 c2 a2  b  c Suy ay  bx 0,bz  cy 0,bz  cx 0  ay bx ,bz cy ,bz cx  a b c   x y z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài tỉ lệ với Diện tích 1960m Tính chu vi hình chữ nhật Giải  Trình bày lời giải Đặt chiều rộng chiều dài khu đất x y (mét; x,y > 0) Theo đề , ta có : Đặt x y  xy 1960 x y   k (điều kiện k > ) , suy : x 5k , y 8k Theo giả thiết : xy 1960  5k 8k 1960  k 49  k 7 (vì k  ) Từ ta tìm : x 35; y 56 Suy chu vi hình chữ nhật :  35  56  182  m  Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác không đối đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số : 2020a  b  c  d a  2020b  c  d a  b  2020c  d a  b  c  2020d    a b c d Tính M  a b b c c d d a    c d d a a b b c File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Giải Từ giả thiết suy : 2019   a b c d a b c d a b c d a b c d 2019  2019  2019  a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d + Trường hợp 1: Xét a  b  c  d 0  a  b   c  d  ;b  c   d  a  Suy M   c d  c d   d  a d a  c d d a    c  d   d  a M   1    1    1    1  + Trường hợp :Xét a  b  c  d 0 Suy a b c d  M  a a a a a a   1    4 a a a a a a Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác ,thỏa mãn tỉ lệ thức Chứng minh 21a  10b 21c  10d  a  11b c  11d a c  b d Giải Từ 21a  10b a  11b  Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : 21c  10d c  11d Từ 21a  10b   21a  231b  241b b 21a  10b a  11b 21a  231b       1 21c  10d c  11d 21c  231d 21c  10d   21c  231d  241d d Từ 231a  110b 10a  110b 231a  110b  10a  110b 241a a      2 231c  110d 10c  110d 231c  110d  10c  110d 241c c Từ (1) (2) , suy : a b a c  hay  c d b d Ví dụ 8: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nào, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỉ lệ với 7; ; Giải Đặt độ dài ba cạnh tam giác a, b, c Độ dài ba đường cao tương ứng ; hb ; hc Theo đề ta có :  hb hb  hc hc    aha bhb chc  1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có :  hb hb  hc hc  ha  hb  hb  hc    ha  hc 7 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN hc   2  hc  5ha  5hc  2ha 3hc  Mặt khác  hb hb  hc 2ha  2hb hb  hc 3h  2hb hb  hc     c  14 14   3hc  hb  7  hb  hc   9hc  hb 7hb  7hc  hc hb  Từ (2),(3) suy : Đặt hc hb   2 hb hc   hb hc    k  k    3k ; hb 4 k ; hc 2 k Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 2c  a b c   Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; C Bài tập vận dụng 5.1 Tìm x, y biết : a)  2y  4y  6y   ; 18 24 6x 5.2 Cho x, y thỏa mãn b)  3y  5y  y   12 5x 4x 2x  y  2x  y    Tìm x, y 6x 5.3 Tìm số x, y, z biết rằng: a) x : y : z 3 : : 5z  3x  y 594 b)  x  1 2  y   ;4  y   3  z   2x  y  z 50 c) 2x y z   x  y  z 38 5.4 Tìm x, y, z biết rằng: a) 7x 10 y 12 z x  y  z 685; b) x  y 5 z y z 9 y    ; c) y  z 1 z  x  x  y    x  y  z x y z d) x y z   x  y  z ; y z 2 x z 5 x  y  e) xy  xz  yz    xy  yz  zx 11 15 27 5.5 Cho a c  Chứng minh rằng: b d File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a)  a  2c   b  d   a  c   b  2d  ; 2020 a2020  b 2020  a  b   b) 2020 c  d 2020  c  d  2020 5.6 Cho a c  Các số x, y, z, t thỏa mãn xa  yb 0 zc  td 0 b d Chứng minh xa  yb xc  yd  za  tb zc  td 5.7 Cho tỉ lệ thức 3x  y x  Tính giá trị tỉ số x y y 5.8 Chứng minh : Nếu  x  y  5  y  z  3  z  x  x y y  z  5.9 Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b ac ;c bd Chứng minh rằng: a3  b  c  a  b  c  a)   ; b c3  d  b c  d  b) a3  8b  27c a  b  8c  27d d 5.10 Chứng minh a  y  z  b  z  x  c  x  y  a, b, c khác khác ta có y  z zx x y   ab  c  b c  a c a  b  5.11 Cho a, b, c thỏa mãn a  c  a b c   Chứng minh : 2016 2018 2020  a  b   b  c  5.12 Cho a  b  c a  b  c 1 x  y x y z   Chứng minh : a b c  z  x  y  z 5.13 Cho x y z t    Chứng minh biểu thức sau có giá trị y  z t z t  x t  x  y x  y  z nguyên A  x y y z z t t x    z t t x x  y y z 5.14 Cho dãy tỉ số : Tính giá trị biểu thức B  a a1 a2 a    2019  2020 a2 a3 a2020 a1  a1  a2   a2020  a12  a2  a32   a2020 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 5.15 Cho a b c a 49 b 51   a  b  c 0 Tính P  100 b c a c 5.16 Cho a, b, c ba số dương, thỏa mãn điều kiện : a b  c b c  a c a  b   c a b a  c  b  Hãy tính giá trị biểu thức B          a  c  b   5.17 Cho a, b, c thỏa mãn a b c a  b c  b 0 Chứng minh : c 0 a b  c a  b  c 5.18 Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn 5.19 Cho x y z x  Chứng minh x  yz x  y z x 2x  y  z x y y z   Tính giá trị biểu thức A  (giả thiết A có nghĩa) 3x  y  5z 5.20 Cho số a; b; c khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P  ab bc ca   a b b c c a ab  bc  ca2 a3  b  c File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1 a) Vì  2y  4y   24   y  18   y   24  48 y 18  72 y 18 24  24 y 6  y  Thay vào đề ta có : 1      6x 18  18x 90  x 5 18 6x 18 6x  b) Ta có :   y  5y  y  20 y  35 y      12 5x 4x 20x 20x  y   20 y   35 y  12 y   y 12  20x  20x 12   y  12 y  y  Thay vào đề ,ta : Vậy x 2 y  15 1 15   x 2 5x 15  15 5.2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 2x  y  2x   y  2x  y     57 12 Kết hợp với đề suy ra: 2x  y  2x  y   12 6x  Trường hợp 1: Xét 2x  y  0 suy ra: 2x  y  1  0  2x  0;3 y  0  x  ; y   Trường hợp 2: Xét 2x  y  0 suy 6x 12  x 2 Thay vào đề ta có : 2.2  3y  3y    1  y  7  y 3 7 Vậy x 2; y 3 Nhận xét dễ bỏ sót trường hợp 5.3 a) Đặt x y z    k  x 3k ; y 4 k ; z 5k Mà 5z  3x  y 594  5.25k  3.9k  2.16 k 594 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  66 k 594  k 9  k 3 + Với k 3 suy x 9; y 12; z 15 + Với k  suy x  9; y  12; z  15 b)  x  1 2  y     x  1 4  y   suy  x  1 4  y   3  z  3   x  1 12 Đặt   y  2 12   z  3 12  x1 y z3   2 x1 y  z3    k  x 2 k  1; y 3k  2; z 4 k  3 Mà 2x  3y  z 50   k  1   3k     k   50  k   k   k  50  k 45  k 5 Vậy x 2.5  11; y 3.5  17; z 4.5  23 c) Ta có : 2x y z x y z      12 12 12 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y z x y  z 38     2 18 16 15 18  16  15 19 suy : x 36; y 32; z 30 5.4 a) Từ 7x 10 y 12z  x y z   60 42 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x y z x  y z 685     5 60 42 35 60  42  35 137 Từ suy : x 120; y 210; z 175 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : 5 z y z 9 y 5 z  y z  9 y    2 12    z 2  z 3;9  y 10  y 1; X  y 6  x 5 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y  z 1 z  x  x  y  x  z 1 z  x   x    2 x y x x y z Kết hợp với đề bài, suy : x  y  z 2 Suy : y  z  2x  x  y  z  3x   3x  x 1 File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN z  x  2 y  x  y  z  3y  3y  y  x  y  2z  x  y z  3z   3z  z  11  13 b) Giải tương tự câu c, ta : x  ; y  ; z  6 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: xy  zx  yz  xy   zx   yz  17     15 27  15  27 51 Suy : xy  3  xy 2  1 zx  5  zx 3   yz  9  yz 6  3 Từ (1) ,(2) (3) nhân vế với vế :  xyz  36  xyz 6 + Trường hợp xyz 6 Kết hợp với (1),(2) (3) ta có : x 1; y 2; z 3 + Trường hợp xyz  Kết hợp với (1),(2) (3) ta có: x  1; y  2; z  5.5 Đặt a c   k  a bk , c dk b d a) Xét  a  2c   b  d   bk  2dk   b  d  k  b  2d   b  d   1 Xét  a  c   b  2d   bk  dk   b  2d  k  b  d   b  2d    Từ (1) (2), suy :  a  2c   b  d   a  c   b  2d  b) Đặt a c   k  a bk , c dk b d     2020 k 2020  a2020  b 2020 b 2020 k 2020  b 2020 b b 2020     1 Xét 2020 c  d 2020 d 2020 k 2020  d 2020 d 2020 k 2020  d 2020 2020 Xét 2020 a b   bk  b   2020 2020 c d   dk  d   b 2020  k  1 2020 d 2020  k  1 2020  b 2020  2 d 2020 Từ (1) (2) , suy điều phải chứng minh 5.6 Đặt a c   k  a bk ;c dk b d File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Xét xa  yb xbk  yb b  xk  y  xk  y     1 za  tb zbk  tb b  zk  t  zk  t Xét xc  yd xdk  yd d  xk  y  xk  y     2 zc  td zdk  td d  zk  t  zk  t Từ (1) (2) , suy : 5.7 Từ xa  yb xc  yd  , điều phải chứng minh za  tb zc  td 3x  y  suy :  3x  y  3  x  y   12x  y 3x  y x y  12x  3x 3y  y  9x 7 y  x  y 5.8 Từ  x  y  5  y  z  3  z  x  suy : 2 x  y  30  5 y  z  30  3 z  x  30  x  y x z z x   15 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x  y y  z z  x  x  y   z  x  y  z      1 15 10 15  10 x  y y z z x z x    y z  x  y      2 15 10 10  Từ (1) (2) , suy : 5.9 Từ b ac  Đặt x y y  z  , điều phải chứng minh a b b c a b c  ;c bd      b c c d b c d a b c    k  a bk ;b ck ;c dk b c d   3 3 3 3 k b3 c3  d a  b  c b k  c k  d k a) Xét    k  1 b3 c3  d b c  d b3 c3  d 3 3  k b c  d    a b  c   bk  ck  dk    Xét    k     b  c  d b  c  d b  c  d       a3  b  c  a  b  c  Từ (1) (2), suy :   điều phải chứng minh b c3  d  b c  d    3 3 3 3 k b  8c  27d a  b  27 c b k  c k  27 d k b) Xét    k  3 3 3 3 3 b  8c  27d b  8c  27d b  8c  27d Xét a a b c   k k k  k   d b c d File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh 5.10 Từ a  y  z  b  z  x  c  x  y  suy a y  z   abc bz x  abc  cx  y  abc  y z z x x  y   bc ac ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : y z z x z x    y z  x y     1 bc ac ac  bc c a  b  y z x  y  y z   x  y  z x     2 bc ab bc  ab b  c  a z x x  y x  y   z x  y  z     3 ac ab ab  ac ab  c  Từ (1), (2), (3) , suy y  z zx x y   , điều phải chứng minh a  b  c  b  c  a c  a  b  5.11 Áp dụng tỉ số , ta có : a b c a b b  c a c      2016 2018 2020 2 2 4  a  c  16 Do  a  b b  c       a  c   a  b  b  c     a  b   b  c  5.12 Áp dụng tính chất tỉ số , ta có : x y z x  y z    x  y  z (Vì a  b  c 1 ) a b c a b c Suy :  x  y  z   x2 y z2 x2 y z2    x  y  z a2 b c a b2 c ( a  b  c 1 ) Vậy  x  y  z  x  y  z 5.13 Từ  x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z x y z t 1  1  1  1 y  z t z t  x t x  y x y z x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t    y  z t z t  x t x  y x y z  Trường hợp 1: Xét x  y  z  t 0 File word: Zalo_0946 513 000 13 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  x  y   z  t  ; y  z   t  x  Suy A   ( z  t )  (t  x ) z t tx    z t tx  ( z  t )  (t  x ) A   1    1    1    1   Trường hợp 2: Xét x  y  z  t 0 Suy y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z  x  y z t Suy A  x x x x x x x x    1    4 x x x x x x x x Vậy biểu thức A ln có giá trị số ngun 5.14 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : a a  a   a2019  a2020 a1 a2 a    2019  2020  a2 a3 a2020 a1 a2  a3   a2020  a1 Suy : a1 a2  a2019 a2020 Do B   a1  a1   a1  a12  a12   a12 20202 a12  2020 2020.a12 5.15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c a b c a 49 a 51    1  a b c Do P  100 1 b c a b c a a 5.16 Từ đề suy : a b  c b c  a c a  b a b c a b c a b c 2  2  2    c a b c a b Mà a,b ,c  nên a  b  c  , suy a b c  a  a  a  Từ , ta có : B          8  a  a  a  5.17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a  b  c a  b  c  a  b  c    a  b  c  2b    1 a  b  c a  b  c  a  b  c    a  b  c  2b  a  b  c a  b  c  2c 0  c 0 5.18 Từ x y z x x  y x y   suy x  y z x z x z x Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x  y x  y x  y  x  y 2x x      1 z  x z  x z  x  z  x 2z z File word: Zalo_0946 513 000 14 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN x  y x  y x  y  x  y  2y y      2 z  x z  x z  x  z  x  2x x Từ (1) (2) , suy : 5.19 Từ Đặt x y   x  yz z x x y x y y z y z x y z    ;      suy 15 20 20 24 15 20 24 x y z    k  x 15k ; y 20 k ; z 24 k 15 20 24 Do A  30k  60 k  96 k 186 k 93   45k  80 k  120 k 250k 125 5.20 Với a,b ,c 0 ta có : ab bc ca   a b b c c a  a b b c c a 1 1 1         ab bc ca b a c b a c  1    a b c  P 1 a b c File word: Zalo_0946 513 000 15 -File word: Zalo_0946 513 000