Hsg t7 cđ3 tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau bản sửa

CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐS7 CHUYÊN ĐỀ – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT A Tỉ lệ thức a c   a, b, c, d  Q;b 0, d 0  Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d Trong đó: Các số hạng a d gọi ngoại tỉ, số hạng b c gọi trung tỉ Tính chất: a) Tính chất 1: (Tính chất tỉ lệ thức) a c  Nếu b d ad bc a c a b d c d b  ;  ;  ;  a , b , c , d  b) Tính chất 2: Nếu ad bc ta có: b d c d b a c a Như tỉ lệ thức, ta hoán vị trung tỉ với nhau, hoán vị ngoại tỉ với nhau, hoán vị trung tỉ với nhau, ngoiạ tỉ với B Tính chất dãy tỉ số Tính chất dãy tỉ số a c a c a c a  c      b d bd b d +) b d a c e a c e a c e a  c e        b d f b  d  f b  d  f (giả thiết tỉ số có nghĩa) +) b d f Chú ý: Khi ta nói số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c , tức là: x y z   a b c x : y : z a : b : c PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số I Phương pháp giải a c  (b, d 0) Tỷ lệ thức: Là đẳng thức hai tỉ số b d a : b c : d Trong đó: a, b, c, d số hạng tỷ lệ thức - a d số hạng hay ngoại tỉ - b c số hạng hay trung tỉ Các số a d gọi ngoại tỉ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a c   ad bc a) Tính chất 1: Nếu b d ad bc 0  a c d b d c a b  ;  ;  ;  b d c a b a c d b) Tính chất 2: Nếu Tính chất dãy tỉ số a c a c a c a  c      b d b  d b  d (giả thiết phân số có nghĩa) - Nếu b d - Mở rộng: a c e a c e a c e a  c e        b d f b  d  f b  d  f (giả thiết phân số có nghĩa) + Nếu b d f TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 246 4 24 0     ;     Ví dụ:   6   (do khơng có nghĩa) nên tính chất khơng cịn - Nâng cao: k1a  k2 c  k3e a c e k   k k b  k d  k f b d f + Nếu a c a b c d a b c d    d ; a c + Nếu b d b (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) x y z   Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c , ta nói số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c a b c   , Ví dụ: Khi có dãy tỉ số ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2,3,5 Ta viết a : b : c 2 : : a c  +) Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức b d suy 2 a c a c k1a k2 c a  c    k1 , k2 0       ; k k  k 0  ; b d b d k1b k2 d b d 3 x y z  x  y  z x y z  x y z           ;    b c a b c a b c a Từ a b c II Bài toán  a c a b c d  (c  d 0)  Bài 1: Chứng minh b  c d  a  a  b  c  d 0 Lời giải Chú ý: Trong tốn có chữ không cần đặt điều kiện mẫu khác a b c d a b b c a b b c a b c d a b c d     1  1   cd d a cd a d c d a d Ta có: b  c d  a  a  b  c  d 0  a  b  c  d 0      a bc d       0     cd d a   a c  cd d a đpcm Bài 2: Cho ( x  y ) : ( x  y ) : xy 1: : 30 Với x, y 0 tính xy ? Lời giải ( x  y ) : ( x  y ) : xy 1: : 30  x  y x  y xy   ( x, y 0)(1) 30 Theo giả thiết ta có: xy x  y x  y x  y  x  y x xy x y         1  y 6 30 10 30 Từ (1) xy x  y x    * , thay y 6 vào (*) ta được: Lại có: 30 xy x  x x  ( x  6) xy         xy 45 30 5 30 Vậy xy 45 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a99  99 a100  100 a1  a2      99 Bài 3: Tìm số a1 ; a2 ; ; a100 , biết 100 a1  a2   a100 10100 Lời giải Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a  99 a100  100 (a1   a100 )  (1    100) a1  a2     99   100 99 100  99  1 (1  100).100 10100   1  a1 a2  a100 101 (1  100).100 : Vậy a1 a2  a100 101 2 3 Bài 4: Cho số a, b, c, d 0 thỏa mãn b ac; c bd ; b  c  d 0 Chứng minh a  b3  c a  b3  c  d d Lời giải: Vì số a, b, c, d 0 , ta có: b ac  a b b c a b c a b3 c  ; c bd         (*) b c c d b c d b c d Theo tính chất dãy tỉ số  a b3 c a  b  c    (1) b3 c d b3  c  d a3 a a a a b c a    (2) b b b b c d d Lại có: b a  b3  c a  b3  c  d d (đpcm) Từ (1)(2) Bài 5: Cho (a  b) : (b  c) : (c  a) 6 : : 8; a  b  c 42 Hãy tìm c ? Lời giải a b b c c a   k  a  b 6k ; b  c 7k ; c  a 8k Cách 1: từ đề suy   2(a  b  c) 21k  k 4 a  b 24    c 18 a  b  c 42 Cách a  b b  c c  a 2(a  b  c ) 84 a b     4  4  a  b 24  c 18 21 21 a c  Bài 6: Cho b d Chứng minh rằng: a b c d  d a) b a c b d  d b) c a b c d  c c) a TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2: CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lời giải a c a c a b c d   1  1   b d b d a) Ta có: b d a c a b a b a c b d        1  c d c d c d (với c khác 0) b) Ta có: b d a c b d b d a b c d      1    a c a c a c (với a c khác 0) c) Ta có: b d a c  Bài 7.1: Cho b d Chứng minh rằng: a ac  a) b b  d ab cd  b) a  b c  d ab ca  7.2) Với a bc a  b c  a Lời giải a c a c   a) Ta có b d b  d (tính chất dãy tỉ số nhau) a c a b ab a b a b c d        c d cd c d a  b c  d (đpcm) b) b d c) Từ giả thiết Bài 8:  a c ab a b a b c a      b a c a c a a  b c  a (đpcm) (với a, b, c đôi khác khác 0) 7a  3ab 7c  3cd a c   2 11c  8d a) Nếu b d 11a  8b a2  b2 a  2 c b) Với b ac b  c a c a 3a  2c   c) Nếu b d b 3b  2d Lời giải a c a b a b a.b 7a  3ab 11a  8b         c d c d c.d 7c  3cd 11c  8d (đpcm) a) Ta có b d a c  k Cách khác: đặt b d suy a bk , c dk , thay vào vế đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính vế theo k suy điều phải chứng minh a b a2 b2 a b a  b a      2  b c b c b c c (đpcm) b) Ta có b c a c 3a 2c 3a  2c a 3a  2c        b d 3b 2d 3b  2d b 3b  2d (đpcm) c) Theo giả thiết a  c ac a c   2 bd Bài 9: Cho b d Chứng minh b  d Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c  a a2       1 b d  b b Ta có: b d a c a2 c a2  c      2 b d b  d2 Lại có: b d a  c ac  2 bd (đpcm) Từ (1)(2) b  d a c  k Cách 2: đặt b d suy a bk , c dk , thay vào vế đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính vế theo k suy điều phải chứng minh a c 5a  3b 5c  3d   Bài 10: Cho b d Chứng minh 5a  3b 5c  3d Lời giải a c 5a 3c 5a  3b 5a  3b 5a  3b 5c  3d        5b 3d 5c  3d 5c  3d 5a  3b 5c  3d Ta có: b d a c  k Cách 2: đặt b d suy a bk , c dk , thay vào vế đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính vế theo k suy điều phải chứng minh Bài 11: a c xa  yb xc  yd   xa  yb  0, zc  td  x , y , z , t Cho b d , Các số thỏa mãn Chứng minh: za  tb zc  td Lời giải a b ax by ax  by az tb az  tb         c d cx dy cx  dy cz td cz  td Từ giả thiết  xa  yb xc  yd  za  tb zc  td (đpcm) a2  b  ab  a.d a2  b a c     c2  d 2 Bài 12: Cho tỉ lệ thức: b d Chứng minh rằng: c.d c  d  c  d  Lời giải a c a b a.b a b a  b        c d c.d c d c  d Từ b d a b ab a2 b  a  b  a2  b2       2 c d cd c d  c d c d a c  Cách 2: đặt b d =k suy a bk , c dk , thay vào vế đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính vế theo k suy điều phải chứng minh 2 Bài 13: Cho số a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn: a2 a1.a3 , a3 a2 a4 a13  a23  a33 a1  3 a  a  a a4 Chứng minh rằng: Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a1 a2 a2 a3 a1 a2 a3 a13 a23 a33 a13  a23  a33 a1 a2 a3 a1   ,      3 3    a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2  a33  a43 a2 a3 a4 a4 (đpcm) Từ giả thiết a3  c  b3 a a c b    3 d Bài 14: Cho c d d Chứng minh rằng: c  b  d Lời giải a c b a3 c3 b a     3 3 c b d d Ta có: c b d a3 c b3 a a3  c  b  3 3  3 b d d c  b  d (đpcm) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: c a c  Bài 15: Cho tỉ lệ thức: b d a  3ab  5b2 c  3cd  5d  b  3ab d  3cd Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu thức xác định) Lời giải a k.b a c  k   c kd , thay vào biểu thức ta được: Đặt b d 2a2  3ab  5b k  3k  2c  3cd  5d k  3k       2 2b2  3ab  3k d  3cd  3k Từ (1)(2)  a  3ab  5b2 2c  3cd  5d  b  3ab 2d  3cd (đpcm) ac 2009a  2010c a c   2 Bài 16: Cho b d Chứng minh rằng: bd 2009b  2010d Lời giải 2 a c a c  a  c  a.c a c         2 b d b d b d b d b d     Từ giả thiết ta có: a.c 2010c 2009a 2010c  2009a2     b.d 2010d 2009b 2010d  2009b a4  b4  a b a c     c4  d Bài 17: Chứng minh rằng: Nếu b d  c  d  Lời giải a c a b a b a4 b4  a  b  a4  b4          c d c d c d c  d (đpcm) c d Ta có: b d a c   b, c, d , c  d 0  Bài 18: Cho b d Chứng minh rằng: Lời giải ab  a  b   cd  c  d  2 Ta có: a b ab a b a  b a  b  a  b      c d c d c d c d c  d  c  d2 Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu  x  y  5  y  z  3  z  x  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang (đpcm) x y y z  CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lời giải xy zx xy z x yz zx  y zzx x y   y  z    3  35 Ta có: ; 2 z  x x y zx x y zx zx y z zx   x y   (1) y  z   (2) 5 10 10 x y y z  Từ (1) (2) ta có:  ab  ab  2cd   c d   ab  ab     ab  1  0 Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu có a, b, c, d thỏa mãn  chúng lập thành tỉ lệ thức Lời giải Từ giả thiết ta xét trường hợp: a b ab  ab  2cd   c d 0   ab  cd  0  ab cd   c d (đpcm) +) TH1:  ab  ab     ab  1  0  a b  2ab  2ab  0  a b  +) TH2:  (vô lý)  a  c  a  b b  c a b c      Bài 21: Cho dãy 2009 2011 2013 Chứng minh rằng: Lời giải a b c a c a b b c      k 4 2 2 Ta có: 2009 2011 2013 a  c  4k 2 a  c  4k      a  b  k   4k 4 b  c  2k   a  b   b  c  4k  VT VP  (đpcm) 2006 2006 Bài 22: Cho a, b dương thỏa mãn: a  b Lời giải Giả sử a 1  b 1  a2  b 2  2004 2004 a  b Chứng minh 32 a2  b 2  32 a b  a 2004  a  1 b 2004   b  Nếu a 1  b 1 , giả sử  a 2004  b  b 2004  a , Vì a b   b2 a   a  b 2 a2  b2  2  32 32 (đpcm) 1 1 1   0   0 Bài 23: Cho a, b, c 0 a b c Chứng minh ab bc ca Lời giải 11 1 1 1          0   0 a a b c b c ab ac Từ giả thiết  1 1  0,  0 ac bc Tương tự: bc ab TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 1   2    0 Cộng theo vế ta được:  ab bc ca  (đpcm) x 2000 y 2000  1000  2 2 1000 b (a  b)1000 Bài 24: Cho x  y 1 b x a y Chứng minh rằng: a Lời giải Từ bx  ay  x y2 x  y2    a b ab ab x 2000 y 2000 x 2000 y 2000  1000   1000  2000  1000 1000 1000 a b a b  a  b  a  b (đpcm) a b b c c a x ,y  ,z  ab bc c  a ta có: Bài 25: Chứng minh   x    y    z    x    y    z  Lời giải Xét x 1  a b 2a 2b 2c 1  y 1  ; z 1  ab a  b Tương tự: b c ca VT  Khi Tương tự: 8abc  a  b  b  c  c  a  x 1  VP  Khi đó: a b 2b 2c 2a  1 y  ,1  z  bc ca ab ab , 8abc VT  a  b  b  c  c  a (đpcm) Bài 26: Biết a  ab  b b2 15 c  6 a  ac  c 9  a, c 0; a  c  3 ; Chứng minh 2c b  c  a a c Lời giải  b2  b2 2 a  ab  15 6   a  ac  c    c   3  Ta có:  2c ab  ac  2c ab  ac  2ac  2c  ac ab  ac 2c b  c  2c  c  a  a  b  c    a ac x  x y y x 8 y 3    Bài 27: Cho Chứng minh rằng: Lời giải y x 8 3y x 8 Từ 2  2  y  x  (1)   x y  x 2 y  Và 9 3 Thay x 2 y  vào (1) ta được: 3y 2 y    y 6  x 10 y Bài 28: Cho số a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU b c c a a b 2       a  b  a  c  b  c  b  a  c  a  c  b a  b b  c c  a Lời giải 1 1     Ta có: a  b a  b a  b a  b b  a 1 1     Tính tương tự ta có: b  c b  c c  b , c  a c  a a  c 2   1   1              VT a  b b  c c  a a  b a  c b  c b  a c  a c  b       Cộng theo vế: 3a  b  c 3a  2b  c  (b 0) a  2b  c Bài 29: Cho tỷ lệ thức a  b  c Chứng minh a  c 0 Lời giải 3a  b  c 3a  b  c (3a  b  c)  (3a  b  c) 4b    1(b 0)  a  b  c a  b  c ( a  b  c )  ( a  b  c ) 4b Ta có  a  c 0  (đpcm) 3a  b  c a  2b  c  3a  2b  c a  b  c a c a c   ad  bc Bài 30: Cho số hữu tỷ b d với b  0; d  Chứng minh rằng: b d Lời giải a c    ad cb   ad  bc b d  bd db b  0; d   + Có: ad  bc  ad bc a c     b d + Có: b  0; d   bd db a c a a c c     b bd d Bài 31: Nếu b  0; d  từ b d Lời giải a c    b d   ad  bc b  0; d    1 thêm vào vế (1) với ab ta có: + Có a ac  a  b  d   b  c  a    2 b bd ad  ab  bc  ab + Thêm vào hai vế (1) với dc ta có:  1  ad  dc  bc  dc  d  a  c   c  b  d   ac c   3 bd d + Từ (2) (3) ta có: a c a ac c     b b  d d (đpcm) Từ b d 1 a b c d    2 abc bc d c d a d a b Bài 32 Cho a, b, c, c  Chứng minh rằng: Lời giải Lưu ý: sử dụng tính chất: Với a, b, c số dương ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a a a c 1  - Nếu b b b  c a a a c 1  - Nếu b b b  c Áp dụng vài a 1 + Từ a  b  c theo tính chất (3) ta có: ad a   1 d  0) a b c d a b c (do a a   2 Mặt khác: a  b  c a  b  c  d a a ad    3 + Từ (1) (2) ta có: a  b  c  d a  b  c a  b  c  d + Tương tự ta có: b b b a    4 a b c d b c d a b c d c c c b    5 abc d c d a c d ab d d d c    6 d abc d ab abc d + Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: a b c d 1    2 abc b cd cd a d a b a c a ab  cd c    d Bài 33 Cho b d b; d  Chứng minh b b  d Lời giải a c a.b c.d ab cd     b d Ta có b d b; d  nên b.b d.d ab ab  cd cd a ab  cd c   2   2 (2) ta có: b b d d b b  d2 d Theo tính chất Dạng 2: Chứng minh dãy tỉ số I Phương pháp giải Cách 1: Sử dụng định nghĩa a c  Ví dụ: Cho b d a c  k  a bk; c dk Ta đặt b d thay a, c vào biểu thức cần chứng minh Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân chéo a c  Để chứng minh b d ta chứng minh ad bc Cách 3: Áp dụng tính chất dãy tỷ số TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10