Cđ5 tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Chuyên đề : TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số  Dạng tổng quát : a c  a : b c : d b d Các số a d gọi ngoại tỉ ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a c   ad bc  b ,d 0  b d  Tính chất :  Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức ta có thể:  Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;  Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;  Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ Từ dãy tỉ số a c e a c e a c e a  c e   ta suy :     b d f b d f b d  f b  d f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Khi có dãy tỉ số a b c   , ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; 5 Ta viết a : b : c 2 : : B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y  2x  y 36 Giải  Tìm cách giải Để tìm x,y dãy tỉ số biết thêm điều kiện buộc Ta có thể:  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)  Trình bày lời giải + Cách : (Đặt ẩn phụ) Đặt x y  k suy : x 3k , y 4 k Theo giả thiết : 2x  3y 36  k  12 k 36  18k 36  k 2 Do : x 3.2 6; y 4.2 8 Kết luận x 6, y 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y 2x  y 36    2 2.3  3.4 18 x 2  x 6 y 2  y 8 Kết luận : x 6, y 8 + Cách 3: (phương pháp thế) x y 3y Từ giả thiết   x  4 3y  3y 36  y 72  y 8 Mà 2x  3y 36  3.8 6 Do : x  Kết luận x 6, y 8 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết :  ,  2x  y  z 6 Do : Giải  Tìm cách giải Từ hai tỉ lệ thức giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y nối cần tạo thành phần chứa y giống Sau ý tưởng ví dụ trên, có cách giải  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số  Trình bày lời giải + Cách Từ giả thiết : x y x y     1 12 y z y z     2 12 20 Từ (1) (2) , suy : Ta đặt x y z    * 12 20 x y z    k suy x 9 k ; y 12 k ; z 20 k 12 20 Theo giả thiết : 2x  y  z 6  18k  26 k  20 k 6  k 6  k 3 Do đó: x 27, y 36, z 60 + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y z 2x 3y z 2x  y  z        3 12 20 18 36 20 18  36  20 Do đó: x 3  x 27 y 3  y 36 12 z 3  z 60 20 Kết luận : x 27, y 36, z 60 + Cách (phương pháp : ta tính x, y theo z) 3z 3z x y 3y 9z Từ giả thiết : y z   y  ;   x    5 4 20 Mà 2x  3y  z 6  Suy : y  9z 3z z   z 6  60  z 60 20 10 3.60 9.60 36, x  27 20 Kết luận : x 27, y 36, z 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x y biết x y  xy 24 Giải Đặt x y   k suy : x 2 k , y 3k Theo giả thiết : xy 24  k 3k 24  k 4  k 2 + Với k 2 x 4; y 6 + Với k  x  4; y  Kết luận Vậy  x ; y    4;   ,  4;6   Nhận xét Trong ví dụ mắc sai lầm sau : + Thứ lời giải thiếu trường hợp k  + Thứ hai vận dụng tính chất : x y xy 24    4! Chúng ta lưu ý tính chất dãy tỉ số 2.3 không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với Do gặp điều kiện phép nhân lũy thừa biến, nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác , biết Chứng minh : bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c   x y z Giải  Tìm cách giải Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa : ay bx , bz cy , az cx hay cần chứng minh ay  bx 0, bz  cy 0, az  cx 0 Vì từ giả thiết ta cần chứng minh bz  cy cx  az ay  bx   0 Với suy nghĩ , cần nhân tỉ số với số thích hợp a b c vào tử mẫu số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số kết Quan sát tỉ số bz  cy cx  az ta thấy bz  az ; để triệt tiêu được, cần nhân tử mẫu tỉ a b số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ ba  Trình bày lời giải Từ đề ta có : abz  acy bcx  abz acy  bcx   a2 b2 c2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : abz  acy bcx  abz acy  bcx abz  acy  bcx  abz  acy  bcx    0 a2 b2 c2 a2  b  c Suy ay  bx 0,bz  cy 0,bz  cx 0  ay bx ,bz cy ,bz cx  a b c   x y z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài tỉ lệ với Diện tích 1960m Tính chu vi hình chữ nhật Giải  Trình bày lời giải Đặt chiều rộng chiều dài khu đất x y (mét; x,y > 0) Theo đề , ta có : Đặt x y  xy 1960 x y   k (điều kiện k > ) , suy : x 5k , y 8k Theo giả thiết : xy 1960  5k 8k 1960  k 49  k 7 (vì k  ) Từ ta tìm : x 35; y 56 Suy chu vi hình chữ nhật :  35  56  182  m  Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác không đối đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số : 2021a  b  c  d a  2021b  c  d a  b  2021c  d a  b  c  2021d    a b c d Tính M  a b b c c d d a    c d d a a b b c Giải Từ giả thiết suy : 2021  abc d a b c d a b c d a b c d 2021  2021  2021  a b c d  a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d + Trường hợp 1: Xét a  b  c  d 0  a  b   c  d  ;b  c   d  a  Suy M   c d  c d   d  a d a  c d d a    c  d   d  a M   1    1    1    1  + Trường hợp :Xét a  b  c  d 0 Suy a b c d  M  a a a a a a   1    4 a a a a a a Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác ,thỏa mãn tỉ lệ thức Chứng minh 21a  10b 21c  10d  a  11b c  11d a c  b d Giải Từ 21a  10b a  11b  Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : 21c  10d c  11d Từ 21a  10b   21a  231b  241b b 21a  10b a  11b 21a  231b       1 21c  10d c  11d 21c  231d 21c  10d   21c  231d  241d d Từ 231a  110b 10a  110b 231a  110b  10a  110b 241a a      2 231c  110d 10c  110d 231c  110d  10c  110d 241c c Từ (1) (2) , suy : a b a c  hay  c d b d Ví dụ 8: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nào, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỉ lệ với 7; ; Giải Đặt độ dài ba cạnh tam giác a, b, c Độ dài ba đường cao tương ứng ; hb ; hc Theo đề ta có :  hb hb  hc hc    aha bhb chc  1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có :  hb hb  hc hc  ha  hb  hb  hc    ha  hc 7  hc  5ha  5hc  2ha 3hc  Mặt khác hc   2  hb hb  hc 2ha  2hb hb  hc 3h  2hb hb  hc     c  14 14   3hc  hb  7  hb  hc   9hc  hb 7hb  7hc  2hc hb  Từ (2),(3) suy : Đặt hc hb   3 hb hc   hb hc    k  k    3k ; hb 4 k ; hc 2 k Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 2c  a b c   Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; C Bài tập vận dụng 5.1 Tìm x, y biết : a)  2y  4y  6y   ; 18 24 6x 5.2 Cho x, y thỏa mãn b)  3y  5y  y   12 5x 4x 2x  y  2x  y    Tìm x, y 6x 5.3 Tìm số x, y, z biết rằng: a) x : y : z 3 : : 5z  3x  y 594 b)  x  1 2  y   ;4  y   3  z   2x  y  z 50 c) 2x y z   x  y  z 38 5.4 Tìm x, y, z biết rằng: a) 7x 10 y 12 z x  y  z 685; b) x  y 5 z y z 9 y    ; c) y  z 1 z  x  x  y    x  y  z x y z d) x y z   x  y  z ; y z 2 x z 5 x  y  e) xy  xz  yz    xy  yz  zx 11 15 27 5.5 Cho a c  Chứng minh rằng: b d a)  a  2c   b  d   a  c   b  2d  ; 2020 a2020  b 2020  a  b   b) 2020 c  d 2020  c  d  2020 5.6 Cho a c  Các số x, y, z, t thỏa mãn xa  yb 0 zc  td 0 b d Chứng minh xa  yb xc  yd  za  tb zc  td 5.7 Cho tỉ lệ thức 3x  y x  Tính giá trị tỉ số x y y 5.8 Chứng minh : Nếu  x  y  5  y  z  3  z  x  x y y  z  5.9 Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b ac ;c bd Chứng minh rằng: a3  b  c  a  b  c  a)   ; b c3  d  b c  d  b) a3  8b  27c a  b  8c  27d d 5.10 Chứng minh a  y  z  b  z  x  c  x  y  a, b, c khác khác ta có y  z zx x y   ab  c  b c  a c a  b  5.11 Cho a, b, c thỏa mãn a  c  a b c   Chứng minh : 2016 2018 2020  a  b   b  c  5.12 Cho a  b  c a  b  c 1 x  y x y z   Chứng minh : a b c  z  x  y  z 5.13 Cho x y z t    Chứng minh biểu thức sau có giá trị y  z t z t  x t  x  y x  y  z nguyên A  x y y z z t t x    z t t x x  y y z 5.14 Cho dãy tỉ số : Tính giá trị biểu thức B  5.15 Cho a a1 a2 a    2019  2020 a2 a3 a2020 a1  a1  a2   a2020  a12  a2  a32   a2020 a b c a 49 b 51   a  b  c 0 Tính P  100 b c a c 5.16 Cho a, b, c ba số dương, thỏa mãn điều kiện : a b  c b c  a c a  b   c a b a  c  b  Hãy tính giá trị biểu thức B          a  c  b   5.17 Cho a, b, c thỏa mãn a b c a  b c  b 0 Chứng minh : c 0 a b  c a  b  c 5.18 Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn 5.19 Cho x y z x  Chứng minh x  yz x  y z x 2x  y  z x y y z   Tính giá trị biểu thức A  (giả thiết A có nghĩa) 3x  y  5z 5.20 Cho số a; b; c khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P  ab bc ca   a b b c c a ab  bc  ca2 a3  b  c HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1 a) Vì  2y  4y   24   y  18   y   24  48 y 18  72 y 18 24  24 y 6  y  Thay vào đề ta có : 1      6x 18  18x 90  x 5 18 6x 18 6x  b) Ta có :   y  5y  y  20 y  35 y      12 5x 4x 20x 20x  y   20 y   35 y  12 y   y 12  20x  20x 12   y  12 y  y  Thay vào đề ,ta : Vậy x 2 y  15 1 15   x 2 5x 15  15 5.2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 2x  y  2x   y  2x  y     57 12 Kết hợp với đề suy ra: 2x  y  2x  y   12 6x  Trường hợp 1: Xét 2x  y  0 suy ra: 2x  y  1  0  2x  0;3 y  0  x  ; y   Trường hợp 2: Xét 2x  y  0 suy 6x 12  x 2 Thay vào đề ta có : 2.2  3y  3y    1  y  7  y 3 7 Vậy x 2; y 3 Nhận xét dễ bỏ sót trường hợp 5.3 a) Đặt x y z    k  x 3k ; y 4 k ; z 5k Mà 5z  3x  y 594  5.25k  3.9k  2.16 k 594  66 k 594  k 9  k 3 + Với k 3 suy x 9; y 12; z 15 + Với k  suy x  9; y  12; z  15 b)  x  1 2  y     x  1 4  y   suy  x  1 4  y   3  z  3   x  1 Đặt 12   y  2 12   z  3 12  x1 y z3   2 x1 y  z3    k  x 2 k  1; y 3k  2; z 4 k  3 Mà 2x  3y  z 50   k  1   3k     k   50  k   k   k  50  k 45  k 5 Vậy x 2.5  11; y 3.5  17; z 4.5  23 c) Ta có : 2x y z x y z      12 12 12 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y z x y  z 38     2 18 16 15 18  16  15 19 suy : x 36; y 32; z 30 5.4 a) Từ 7x 10 y 12z  x y z   60 42 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x y z x  y z 685     5 60 42 35 60  42  35 137 Từ suy : x 120; y 210; z 175 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : 5 z y z 9 y 5 z  y z  9 y    2 12    z 2  z 3;9  y 10  y 1; X  y 6  x 5 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y  z 1 z  x  x  y  x  z 1 z  x   x    2 x y x x y z Kết hợp với đề bài, suy : x  y  z 2 Suy : y  z  2x  x  y  z  3x   3x  x 1 z  x  2 y  x  y  z  3y  3y  y  x  y  2z  x  y z  3z   3z  z  11  13 b) Giải tương tự câu c, ta : x  ; y  ; z  6 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: xy  zx  yz  xy   zx   yz  17     15 27  15  27 51 Suy : xy  3  xy 2  1 zx  5  zx 3   yz  9  yz 6  3 Từ (1) ,(2) (3) nhân vế với vế :  xyz  36  xyz 6 + Trường hợp xyz 6 Kết hợp với (1),(2) (3) ta có : x 1; y 2; z 3 + Trường hợp xyz  Kết hợp với (1),(2) (3) ta có: x  1; y  2; z  5.5 Đặt a c   k  a bk , c dk b d a) Xét  a  2c   b  d   bk  2dk   b  d  k  b  2d   b  d   1 Xét  a  c   b  2d   bk  dk   b  2d  k  b  d   b  2d    Từ (1) (2), suy :  a  2c   b  d   a  c   b  2d  b) Đặt a c   k  a bk , c dk b d     2020 k 2020  a2020  b 2020 b 2020 k 2020  b 2020 b b 2020     1 Xét 2020 c  d 2020 d 2020 k 2020  d 2020 d 2020 k 2020  d 2020 2020 Xét 2020 a b   bk  b   2020 2020 c d   dk  d   b 2020  k  1 2020 d 2020  k  1 2020  b 2020  2 d 2020 Từ (1) (2) , suy điều phải chứng minh 5.6 Đặt a c   k  a bk ;c dk b d Xét xa  yb xbk  yb b  xk  y  xk  y     1 za  tb zbk  tb b  zk  t  zk  t Xét xc  yd xdk  yd d  xk  y  xk  y     2 zc  td zdk  td d  zk  t  zk  t Từ (1) (2) , suy : xa  yb xc  yd  , điều phải chứng minh za  tb zc  td 5.7 Từ 3x  y  suy :  3x  y  3  x  y   12x  y 3x  y x y  12x  3x 3y  y  9x 7 y  x  y 5.8 Từ  x  y  5  y  z  3  z  x  suy : 2 x  y  30  5 y  z  30  3 z  x  30  x  y x z z x   15 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x  y y  z z  x  x  y   z  x  y  z      1 15 10 15  10 x  y y z z x z x    y z  x  y      2 15 10 10  Từ (1) (2) , suy : 5.9 Từ b ac  Đặt x y y  z  , điều phải chứng minh a b b c a b c  ;c bd      b c c d b c d a b c    k  a bk ;b ck ;c dk b c d   3 3 3 3 k b3 c3  d a) Xét a  b  c b k  c k  d k   k  1 3 3 3 3 b c  d b c  d b c  d 3  k b c  d    a b  c   bk  ck  dk    Xét     k       b c  d   b c  d   b c  d  Từ (1) (2), suy : a3  b  c  a  b  c    điều phải chứng minh b3 c3  d  b c  d    3 3 3 3 k b  8c  27d b) Xét a  8b  27c b k  8c k  27d k   k  3 b  8c  27d b  8c  27d b  8c  27d Xét a a b c   k k k  k   d b c d Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh 5.10 Từ a  y  z  b  z  x  c  x  y  suy a y  z  abc  bz x  abc  cx  y  abc  y z z x x  y   bc ac ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : y z z x z x    y z  x y     1 bc ac ac  bc c a  b  y z x  y  y z   x  y  z x     2 bc ab bc  ab b  c  a z x x  y x  y   z x  y  z     3 ac ab ab  ac ab  c  Từ (1), (2), (3) , suy y  z zx x y   , điều phải chứng minh a  b  c  b  c  a c  a  b  5.11 Áp dụng tỉ số , ta có : a b c a b b  c a c      2016 2018 2020 2 2 4  a  c   a  b b  c       16 Do a  c   a  b  b  c     a  b   b  c  5.12 Áp dụng tính chất tỉ số , ta có : x y z x  y z    x  y  z (Vì a  b  c 1 ) a b c a b c Suy :  x  y  z   x2 y z2 x2 y z2    x  y  z a2 b c a b2 c ( a  b  c 1 ) Vậy  x  y  z  x  y  z 5.13 Từ  x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z x y z t 1  1  1  1 y  z t z t  x t x  y x y z x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t    y  z t z t  x t x  y x y z  Trường hợp 1: Xét x  y  z  t 0  x  y   z  t  ; y  z   t  x  Suy A   ( z  t )  (t  x ) z t tx    z t tx  ( z  t )  (t  x ) A   1    1    1    1   Trường hợp 2: Xét x  y  z  t 0 Suy y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z  x  y z t Suy A  x x x x x x x x    1    4 x x x x x x x x Vậy biểu thức A có giá trị số ngun 5.14 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : a a  a   a2019  a2020 a1 a2 a    2019  2020  a2 a3 a2020 a1 a2  a3   a2020  a1 Suy : a1 a2  a2019 a2020 Do B   a1  a1   a1  a12  a12   a12 20202 a12  2020 2020.a12 5.15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c a b c a 49 a 51    1  a b c Do P  100 1 b c a b c a a 5.16 Từ đề suy : a b  c b c  a c a  b a b c a b c a b c 2  2  2    c a b c a b Mà a,b ,c  nên a  b  c  , suy a b c  a  a  a  Từ , ta có : B          8  a  a  a  5.17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a  b  c a  b  c  a  b  c    a  b  c  2b    1 a  b  c a  b  c  a  b  c    a  b  c  2b  a  b  c a  b  c  2c 0  c 0 5.18 Từ x y z x x  y x y   suy x  y z x z x z x Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x  y x  y x  y  x  y 2x x      1 z  x z  x z  x  z  x 2z z x  y x  y x  y  x  y  2y y      2 z  x z  x z  x  z  x  2x x Từ (1) (2) , suy : 5.19 Từ Đặt x y   x  yz z x x y x y y z y z x y z    ;      suy 15 20 20 24 15 20 24 x y z    k  x 15k ; y 20 k ; z 24 k 15 20 24 Do A  30k  60 k  96 k 186 k 93   45k  80 k  120 k 250k 125 5.20 Với a,b ,c 0 ta có : ab bc ca   a b b c c a  a b b c c a 1 1 1         ab bc ca b a c b a c  1    a b c  P 1 a b c