ĐS7 cđ12 1 TINH CHAT DAY TI SO BANG NHAU

Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm sau: Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần chứng minh a c Cách Dùng tính chất tỉ lệ thức, ad = = ;… b d bc Cách Dùng phương pháp “đặt k ” theo bước sau: Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị k Bước Biểu diễn tử theo tích k với mẫu tương ứng Bước Thay giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến hệ thức Tính giá trị biểu thức: Cách 1: Đặt giá trị tỉ số k + Tính giá trị biến theo k + Thay giá trị biến vào biểu thức thực tính (Cách áp dụng với có cấu trúc khơng q phức tạp) Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Biến đổi biểu thức sau áp dụng tính chất dãy tỉ số để làm xuất biểu thức dạng phải tính giá trị + Nếu gặp biểu thức mà số dãy tỉ số có dạng quy luật vịng quanh ta cần cộng thêm vào vế trừ vế với số để đưa tử mẫu tỉ số biểu thức II Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng: a c b a) a + c a− = cb+d b− d = biết: d b) a + b a− = bc+d c− d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a+c a−c a+c+a 2a a = = −cb+d b − db + d = 2b = b (1) +b−d (2) a + c a − c a + c − (a − c) 2c = = = = c b+d Từ (1) b−d b + d − (b − d ) 2d (2) suy a b = d c d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a + b a − b a + b + a − b 2a a c + d = c − d =c + d + c − d =2c =c (1) a + b a − b a + b − (a − b) 2b = = = b = (2) c+d Từ (1 ) c−d c + d − (c − d ) 2d (2) suy a c = Bài 2: Chứng minh rằng: b d a c b ⇒ a b = d = c d biết: d a) a a + b) b Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = bc c+ d a− = bd c− d a a+b a+b−a b a b a c = = = ⇒ = ⇒ = (đpcm) c c+d c+d−c d c d b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b a−b a−b+b = (đpcm) a = a c=d ⇒ = c−d c−d+d c b d Bài 3: Chứng minh a c rằng: = a a) = biết: b c d a−b c −d Lời giải: a a) Vì = nên c b = a+b c+d b) a a−b = a−b c−d d c−d c Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a c b) Vì = = a−b c−d b d = c − (c − d ) nên a+b c+d a − ( a − b) b = b a b a c = ⇒ = ⇒ = d c d b d a+b c+d d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b a+b a+b− b =a a= b a = ⇒ =c + d⇒ cd = c+d−d c c d b d Bài 4: 2a + 3c 2a − 3c a c Chứng minh = a) Cho = 2b + 3d 2b − 3d b d 4a − 3b 4a + 3b a c Chứng minh = b) Cho = 4c − 3d 4c + 3d b d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a + 3c 2a − 3c 2a + 3c + 2a − 3c 4a a 2b + 3d = 2b − 3d =2b + 3d + 2b − 3d = 4b =b (1) (2) 2a + 3c 2a − 3c 2a + 3c − (2a = = − 3c) 6c c = = 2b + 3d 2b − 3d 2b + 3d − (2b − 3d ) 6d d T vs (đpcm) àu ( y 3b 12 Từ )) r (1 ) a a = c b b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 4a 3b − 4a += 3b 4a −= 3b 4a + + 3b 8a = a = (1) 4c − 3d 4c + 3d 4c − 3d + 4c + 3d 8c = a b 4c − 3d ( c a − b = 4a − 3b − (4a + 3b) + 4c + 3d suy (2) = a a c c = b d b d = −6b (2) = 4c − 3d − (4c + 3d ) −6d ⇒ (đpcm) d Bài 5: 4a − 3b 4c − 3d a c Chứng minh = a) Cho = a 2a + 3b c 4a − 5b b d a c Chứng minh = b) Cho = 2c + 3d 4c − 5d b d Lời giải: 4a − 3b 4c − 3d 4a − 3b a 4a − 3b 4a nên4c − 3d =c ⇒4c − 3d =4c = c a a) Vì Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4a − 3b 4a 4a − 3b − 4a −3b b 4c − 3d = 4c = 4c − 3d − 4c =−3d =d ⇒ c 4a = 4c b ⇒ d d a c 2a + 3b = b ⇒ d a (đpcm) = b 4a − 5b 4a + 6b 4a − 5b b) Vì 2c + 3d = 4c − 5d ⇒4c + 6d =4c − 5d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4ab+ 6b 4a − 5b 4a + 6b + 4a − 5b (1) = + 6d = 4c − 5d =4c + 6d + 4c − 5d d 4c 2a + 3b 4a − 5b 10a +15b 12a −15b Vì 2c + 3d = 4c − 5d ⇒10c +15d =12c −15d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 10a +15b 12a −15b 10a +15b + (12a −15b) 22a = = = = a 10c +15d Từ 12c −15d (2) suy c (1 ) 10c +15d + (12c −15d ) a = c b ⇒ d d Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải: Vì a + c = 2b a = 22c c (đpcm) b a + c = 2b 2bd = c (b + d (b ≠ 0, d ≠ 0) ) a+c c = 2bd = c (b + d nên (a + c) d = c (b + d ) ⇒ b+d d ) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a+c c = = b+d d a Vậy = c (2) a a+c− = c b+d−d b (đpcm) b d Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải: a b = c d ( x + y ) = 5( y + z ) = 3( z + x ) Ta có: x+y = z+x x−y = z+x x+y−z−x 3−2 ⇒x−y= 2( z + x) a y+z = ⇒ x−y = z+x 10 z+x −y−z+z+x = −3 + 5 (1) z+x (2) x−y = y−z z+x y z 2= − ⇒ = 10 x−y y−z = = rằng: 2009 = y−z; Từ (1) (2) ta có: Bài 8: Cho = x−y y−z = b 2011 = c 2013 Chứng minh (a − c )2 = ( a − b )( b − c) Lời giải: a Ta có: a−b b−c =2009 2011 = =k 2013 −4 −2 −2 c = (1) ( a − b )( b ( ) a − c = −4k 4k = ⇒ a − b = −2k −4k − c) = 4k ( a−c )2 ⇒ = = b ( = a−c  b − c = −2k  Từ (1) 4 ( a − c )2 = (a − b )( b − c) suy (2) a Bài 9: Cho b  a + b + c 3 a b  = c c (đpcm) = d Chứng minh   = b+c+d d Lời giải: Đ a b ặt c = = k⇒ a == bk;b = ck;c = dk bd c = a+  bk + ck  k.(b + c k3 b + c + dk 3 = = + d ) 3 3   Do   b+c +d b+ c+ d (1)  b+c+d    k = Mặt a a b c khác =ck= dk d d Từ (1)  b c d bk b (2) c a+b+ (đpcm) c 3 (2) a suy  d  = b+c+ d Bài 10: Cho tỉ lệ thức ≠ 0) Chứng minh a + 2b − c 3a + 2b + c = 3a − 2b + c (b a − 2b − c Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : a+c=0 3a + 2b + c 3a − = 2b + c = (3a + 2b + c) − (3a − 2b + c) = 4b = 1(b ≠ 0) ⇒ 3a + 2b +c=a+ 2b − c a (a + +2 b 2− b c) − −(a − c2 b a− c) −4 b b − c ⇒ 2a + 2c =0⇒a+ c=0 (đpcm) Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn a) x v = biể = y −2 u thứ x Tí c: nh + gi y trị A b) = y = x + y x y − x = Tính giá trị biểu thức: B = 3x + 5y Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x = y = x + y = − = − + ⇒x = − ⇒ x = − ⇒y = − ⇒ y = − 15 Do A = 5.(−6) + 4.(−15) = −90 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x = y = y − x = = 5 − x ⇒ 3=2⇒x=6 y ⇒ 10=52 ⇒ y = Do B = 3.6 + 5.10 = 68 Bài 12: a) Cho a : b : c = 3: : a + b + c = 24 Tính M = a.b + b.c + ca b) Cho a : b : c : d = : 3: : a + b + c + d = −42 N = a.b + c.d Tính Lời giải: a) Vì a : b : c = 3: : a b c = = nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 24 3= = = + + =12 = ⇒ a = 6;b = 8; c = 10 Do đó: M = 6.8 + 8.10 +10.6 = 48 + 80 + 60 =188 b) ) Vì a : b : c : d = : 3: : a b c d = = = nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: b c d a + b + c + d −42 =2 = = = = + =+ −3 + 14 ⇒ a = −6;b = −9;c = −12; d = −15 a Do đó: N = (−6).(−9) + (−12).(−15) = 54 +180 = 234 Bài 13: a) Biết x = y = z x+y+ z x y z b) = = x – y + z = = 24 E = 3x + y − 6z Tính Tính E = xy − yz Lời giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 24 = = = = = 82 2+3+4 x 8 16 ⇒ = ⇒ x = = 3 y 8 ⇒ = ⇒ y = = 3 z 8 32 ⇒ = ⇒ z = = 3 Bài Cho tỉ lệ thức x y = Tính x y biết: a) x + y = 110 b) x − y = 52 Bài Cho tỉ lệ x y Tính x y biết: = thức a) x + y = 50 b) x − y = 56 Bài Tìm hai số x, y biết : a) 3x = 5y x + = b) −2x = x + y = 30 y 5y Bài Tìm x, y biết: a) 2x = 3y x + y = 10 Bài Tìm x, y, z biết: x y a) = = x + y = z +z −1 Bài Tìm x, y, z biết: x y a) = x + = z y+z = b) 4x = x – y = 11 3y b) x z = x – y + z = 36 b) y = x = y = z x + y − z = 32 −6 Bài x, y biết: Tìm 2x + a) 3x = 3y = 34 b) x : = y : x – y = (−5) 4y Bài Tìm hai số x, y biết : a) x = y 3x − = 2y b) 4 x 2x + 5y = 32 = y Bài 10 Tìm x, y biết: x a) = 4x – y 3y = b) x 3x − y = 35 = y −2 −3 a) x a) Bài 11 Tìm x, y biết: = y = y b)và 3x − v a) y = 35 v b) = = x z – = y a) x = y 2x = y + 3y – = z 2z = 16 x2 y2 = + 4 , 5 x Bài 17 Tìm x, y biết: −1 a) x = y 3 B ài 13 Tì m x3 + y3 = 91 Bài 18 Tìm x, y, z biết: b)và y – z = 39 = z − 3x + y = 52 = y = z 12 13 15 Bài 14 Tìm x, y biết: x.y = b) x 3x2 – 5y = 63 = y = x x = y 100 a) 3x = 5y 2 x –y = 48 z c) b) Bài 16 Tìm x, y biết: + v − Bài 15 Tìm x, y biết: y = y x2 + y2 = 34 = −33 Bài 12 Tìm x, y, z biết: x x y a) b) x2 − y2 − − x x b) 2x x3 + y3 = 133 = 5y a) x y = ; z y = x + y + z = 50 b) x = z ; y= z x – y – z = 33 Bài 19 Tìm x, y, z biết : a) x ;y 2x + = = z 3y − y 4z = 2 34 3x − y 2x = + 5z = 30 b) 3y ; 5y = 7z Bài 20 Tìm x, v − y + 3z y, z x = 14 biết: a) v x (x + = y) 3 y − x a) (x − y) = 12 Bài 21 Tìm x, y, z biết : a) x − 2x + 3y − z = 50 = y − = z − 3 b) x − = y − = z − 3 = = 2y y = − z1 − 5z − 3x − = y4y = 50 + z5 +7 13 4 4 = z − b == ) x+ 32 424 y − −y z = 34− −10 2x3 Bài 23 Tìm số biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau 3x +2y+ z= 169 x Bài 22 Tìm x, y, z biết : x, y, z + a 2 x +y −z = 2) 585 x v = Bài 24 Tìm số x, y, z biết b) x : y : z sản = 3: : xuất 2x2 + phải góp y2 − 3z2 = bao −100 nhiê Dạng u vốn Áp biết dụng tính tổng chất số dãy tỉ số vốn để 300 giải triệu toán đồn g thực tế Bài (Toán chia tỉ 3: Số lệ) Bài 1: viê Ba lớp n 8A, 8B, bi 8C trồng ba 120 bạn Tính số Mi nh, trồng Hù ng, lớp, Dũ biết ng số tỉ trồng lệ với lớp lần số lượt tỉ lệ 2; với 3: 4; :5 Bài 2: Ba Tín nhà sản xuất góp h vốn theo số tỉ lệ 3; 5; Hỏi viê nhà n bi bạn, biết ba bạn có tất 44 viên bi Bài 4: Một số chia thành phần tỉ lệ với : : Tìm phần biết tổng ba phần 240 Bài 5: Một công ty chi 182 triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ba tổ sản xuất Số tiền thưởng ba tổ tỉ lệ với ba số 3; 4;5 Tính số tiền thưởng tổ? Bài 6: Hưởng ứng Tết trồng cây, học sinh ba lớp 9A;9B;9C trồng tổng cộng 240 Số lớp 9A;9B;9C trồng tỉ lệ với 5; 4;3 Tính số lớp trồng Bài Thành phần mứt dừa hồn thành gồm có dừa đường theo tỉ lệ :1 Em tính xem 12kg mứt dừa có kilơgam dừa kilôgam đường Bài 8: Số học sinh giỏi, khá, trung bình khối tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh học sinh trung bình học sinh giỏi 180 em Bài Điểm số kiểm tra Toán vừa qua lớp A phân loại sau: số điểm kém, số điểm trung bình, số điểm khá, số điểm giỏi tương ứng tỉ lệ với số 2; 6;5; Biết số điểm trung bình nhiều số điểm khá, giỏi Hỏi với loại điểm có người? Bài 10 Bác Long xây nhà Bác ba khoản lớn là: thiết kế, xây thơ, hồn thiện Chi phí cho khoản tỉ lệ với số 2;36; 62 Số tiền hoàn thiện nhiều tổng số tiền thiết kế xây thô 180 triệu đồng Hỏi khoản tiền? Bài 11: Số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp 7E tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi học sinh trung bình nhiều học sinh 16 em Bài 12: Ba bạn Minh, Hùng, Dũng quyên góp tiền để làm từ thiện theo tỉ lệ 3; 5; Hỏi bạn quyên góp tiền biết Minh Hùng quyên góp 400 ngàn đồng Bài 13: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối Bài 14: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 18;17;16;15 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối 15 học sinh Tính số học sinh khối Bài 15: Cho tam giác ABC có số đo góc tỉ lệ với 3; 5; Tính số đo góc tam giác ABC Bài 16 Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số độ dài hai cạnh chu vi 64 m Tính diện tích mảnh vườn Bài 17 Minh Khơi thi giải tốn ơn tập cuối kì Kết Minh làm nhiều Khôi số Khôi làm số Minh làm Hãy tìm số bạn làm Bài 18 Trong cửa hàng lương thực có 15 bao gạo, bao đỗ, bao lạc Khối lượng bao gạo, bao đỗ, bao lạc tỉ lệ với số 10; 6;3 Hỏi bao loại nặng kg, biết lượng gạo nhiều lượng đỗ lạc 435 kg? Bài 19: Ba máy bơm bơm nước vào bể bơi có dung tích 235 m3 Biết thời gian để bơm m3 nước ba máy phút, phút phút Hỏi máy bơm mét khối nước đầy bể? Bài 20: Ba lớp có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B số học sinh lớp 7C 17 16 số học sinh lớp A , số học sinh lớp 7B Tính số học sinh lớp Bài 21: Trong vận chuyển hàng cứu trợ đồng bào ảnh hưởng dịch Covid- 19 , ba đội xe giao vận chuyển 3030 hàng Cuối đợt, đội I vượt mức 26% , đội II vượt mức 5%, đội III vượt mức 8% định mức đội nên khối lượng hàng mà ba đội vận chuyển Tính định mức vận chuyển xe Bài 22: Ba kho có tất 710 thóc Sau chuyển kho II 11 số thóc kho I , số thóc số thóc kho III số thóc cịn lại ba kho Hỏi lúc đầu kho có thóc Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức Bài 1: Chứng minh rằng: a c b = d biết: a) a + b) a c = a− cb +d b− d + b = a − b c + d c − d Bài 2: Chứng minh biết: a c rằng: = b b) b a) a = a + b c d = a − b d c + d c − d Bài 3: Chứng minh biết: a c rằng: = a) a a− b = c b d b) a+b b c+d = d c− d Bài 4: 2a + 3c 2a − 3c a c Chứng minh = a) Cho = 2b + 3d 2b − 3d b d 4a − 3b 4a + 3b a c Chứng minh = b) Cho = 4c − 3d 4c + 3d b d Bài 5: 4a − 3b 4c − 3d a c Chứng minh = a) Cho = a 2a + 3b b d a c Chứng minh = b) Cho = 2c + 3d 4c − 5d b d Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu c 4a − 5b a + c = 2bd = c 2b (b + d ) (b ≠ 0, d ≠ 0) c b d a = Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu x − = 5( y + z ) y = 3( z + x ) = y − a c ( ) − a b z c Bà i 8: Ch o = = 2009 2013 a b c a) Cho a : b : c = 3: : a + b + c = 24 Tính M = a.b + b.c + ca b) Cho a : b : c : d = : 3: : N = a.b + c.d a + b + c + d = −42 Tính Bài 13: 2(x+ y) Chứng minh rằng: 2011 a) B x = y = x + = 24 E = 3x + y − 6z i z y + z Tính ế t x y = ( a − b) = x – y + Tính E = xy − yz z b )( b − = z=6 c) Bài 14: x a) C 5y h2 a+b+c 3 o a B = = Chứng minh  ài b c d 9:  = b+c+d d C ho Bài 10: Cho tỉ lệ thức a + c = 3a + 2b + c c = 3a − 2b + (b ≠ 0) Chứng minh a + 2b − c a − 2b − c Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn x a) y = v = −21 A = 5x + y Tính giá x trị + biểu thức: b) y x y − x = B = 3x + 5y = Tính giá y trị biểu thức: B ài : b) x = 3x = 44 Tính giá trị biểu thức C = 20x − − y 22 y 2x + 5y = 48 Tính giá D = x2 + y3 = trị biểu thức y Bài 15: x = y a) Cho ; z y = x + y + z = 25 Tính K= 3x − y + 3z xy − z b) Cx h= ;y o2y = Bà i 16 : z xy + 5z 2x + 3y − L = y−z 4z = −34 Tính a) Cx y2 = 25 Tính G = x3 + y2 h = x2 y o3 + b) x x < 0; y H = x.y2