Đs7 cđ12 1 tinh chat day ti so bang nhau

Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm sau: Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần chứng minh Cách Dùng tính chất tỉ lệ thức, ad  a  c ;… bc b d Cách Dùng phương pháp “đặt k ” theo bước sau: Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị k Bước Biểu diễn tử theo tích k với mẫu tương ứng Bước Thay giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến hệ thức Tính giá trị biểu thức: Cách 1: Đặt giá trị tỉ số k + Tính giá trị biến theo k + Thay giá trị biến vào biểu thức thực tính (Cách áp dụng với có cấu trúc khơng q phức tạp) Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Biến đổi biểu thức sau áp dụng tính chất dãy tỉ số để làm xuất biểu thức dạng phải tính giá trị + Nếu gặp biểu thức mà số dãy tỉ số có dạng quy luật vịng quanh ta cần cộng thêm vào vế trừ vế với số để đưa tử mẫu tỉ số biểu thức II Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng: a  c b a) ac a c b  db  d biết: d b) ab a b c  dc  d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a a ac ac aca  b  d b  d   c b d (1) 2b bd b a  c  a  c ac ac 2c (2)    c  b  d b  d b  d  b  d  2d d Từ 1 2 suy a c  b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: ab cd ab b  cd a  b a  b  a  b 2a a     (1) c  d c  d  c  d 2c c a  b a  b  a  b 2b (2)    cd c  d  c  d  2d d b a c    1 c d b d 2 a Bài 2: Chứng minh rằng:  biết: c Từ suy a b d a) a a b c c d b a b d c  d b) Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a ab aba b a b a c        (đpcm) c cd cdc d c d b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b ab abb a a  c  d  cd c  d d c (đpcm)  b d a Bài 3: Chứng minh rằng:  biết: c a) a ab  b c b) cd Lời giải: a c a) Vì  ab d cd nên b d  ab cd a ab  c cd Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a a  b a   a  b b a b a c        c c  d c  c  d  d c d b d b) Vì b  d ab cd nên b ab  d cd Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b ab abb a a b a  c  d cd c d d c  c d  b d Bài 4: 2a 3c 2a 3c a c a) Cho    Chứng minh  b) 2b  3d 2b  3d b d 4a  3b 4a  3b a c Cho Chứng minh   4c  3d 4c  3d b d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a  3c 2a  3c 2a  3c  2a  3c 4a a     (1) 2b  3d 2b  3d 2b  3d  2b  3d 4b b 2a  3c  2a  3c 2a  3c 2a  3c 6c (2)    c  2b  3d 2b  3d 2b  3d  2b  3d  6d d Từ 1 2 suy a c b  (đpcm) d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 4a  3b 4a  3b 4a  3b  4a  3b 8a a     (1) 4c  3d 4c  3d 4c  3d  4c  3d 8c c 4a  3b  4c  3d Từ 1 2 4a  3b  b  4c  3d  4c  3d  4c  3d suy a c c 4a  3b  4a  3b  b d  a b   6b (2) 6d d (đpcm) d Bài 5: 4a  3b 4c  3d a c a) Cho Chứng minh   b) a 2a  3b c 4a  5b b d a c Cho Chứng minh   2c  3d 4c  5d b d Lời giải: 4a  3b 4c  3d 4a  3b a 4a  3b 4a     nên a c 4c  3d c 4c  3d 4c a) Vì Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4a  3b 4a 4a  3b  4a 3b b     4c  3d 4c 4c  3d  4c 3d d  c 4a  b  a  b  a  (đpcm) 4c d c d b d 2a  3b 4a  5b 4a  6b 4a  5b    b) Vì 2c  3d 4c  5d 4c  6d 4c  5d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4a b 6b 4a  5b 4a  6b  4a  5b    (1) 4c  6d 4c  5d 4c  6d  4c  5d d 2a  3b 4a  5b 10a 15b 12a 15b    Vì 2c  3d 4c  5d 10c 15d 12c 15d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 10a 15b 12a 15b 10a 15b  12a 15b 22a (2)    a  10c 15d 12c 15d 10c 15d  12c 15d  22c c Từ suy 1 a c 2  c b  d Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải: Vì a  c  2b a b  (đpcm) d a  c  2b 2bd  c b  d  b  0, d  0 a b ac c 2bd  c b  d nên a  c d  c b  d    bd d  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: d a ac  c bdd b  (đpcm) ac c    bd Vậy a c b d Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu  x  y   5 y  z   3 z  x  xy yz  Lời giải: Ta xy zx xyzx yz zx yzzx xy có:    yz;     d c xy  zx xy 2 z  x  Từ (1) (2) ta có: Bài 8: Cho 32 a  zx 10 (1) 3  zx yz zx 2 y  z   10 (2) xy yz   rằng: 2009 xy b  c Chứng minh 2011 2013  a  c   a  b  b  c Lời giải: a Ta có:  ac ab bc b c    k  2011 2013 4 2 2 2009 a  c  4k a c    a  b  2k   b  c  2k Từ 1 a  4k   4k b c 1  a  bb  c  4k 2 a  c suy 2   a  b  b  c (đpcm) abc a   Chứng minh     b  c  d d b c d Bài 9: Cho Lời giải: Đặt a  b  c  k  a  bk;b  ck;c  dk b c d 3a  b  c 3bk  ck  dk 3k.(b  c  d )   k3   Do       bcd  bc   bcd  d Mặt khác Từ a  d a b c bk ck dk 3  b kc d b c d abc 1 1 2 2 (đpcm) a suy     b  c  d d 3a  2b  c 3a  2b  c Bài 10: Cho tỉ lệ thức  (b  0) Chứng minh a  2b  c ac0 a  2b  c Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 3a  2b  c 2b  c a  2b  c  3a  2b  c  a  2b  c (3a  2b  c)  (3a  2b  c) (a  2b  c)  (a  2b  c)  4b  1(b  0)  4b  2a  2c   a  c  (đpcm) Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn a) b) x  y x  y x  y  21 Tính giá trị biểu thức: 3a  2b  c  a  3a  2b  c  a  2b  c A  5x  y Lời giải: y  x  Tính giá trị biểu thức: B  3x  5y a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x  y 21   25 2  7 3 x   3  x  6 y   3  y  15 Do A  5.(6)  4.(15)  90 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y yx  5 5  2   x y 2x6 2y 10 Do B  3.6  5.10  68 Bài 12: a) Cho a : b : c  3: : a  b  c  24 M  a.b  b.c  ca Tính b) Cho a : b : c : d  : 3: : a  b  c  d  42 N  a.b  c.d Tính Lời giải: a) Vì a : b : c  3: : a b c   nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a  b  c 24  4 5 3 2  12  a  6;b  8; c  10 Do đó: M  6.8  8.10 10.6  48  80  60 188 b) ) Vì a : b : c : d  : 3: : a b c d    nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c d abcd 42  3 4  2 3  3  14  a  6;b  9;c  12; d  15 Do đó: N  6.9  12.15  54 180  234 Bài 13: a) Biết x  y  z b) x  y  z xy z  24 Tính E  3x  y  6z x–yz Tính E  xy  yz Lời giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 24   3 4 23  4 x 8 16    x   3 y 8    y   3  z  z  32 Vậy E   2.8  32  16  64  42 3 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:  x x y z xyz 2      567 2  x  55 y  2  y  66 10