1 Dạng 3 Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức I Phương pháp giải 1 Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm như sau Cách 1 Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau[.]
Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm sau: Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần chứng minh Cách Dùng tính chất tỉ lệ thức, ad = bc a c = ;… b d Cách Dùng phương pháp “đặt k ” theo bước sau: Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị k Bước Biểu diễn tử theo tích k với mẫu tương ứng Bước Thay giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến hệ thức Tính giá trị biểu thức: Cách 1: Đặt giá trị tỉ số k + Tính giá trị biến theo k + Thay giá trị biến vào biểu thức thực tính (Cách áp dụng với có cấu trúc khơng q phức tạp) Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Áp dụng tính chất dãy tỉ số + Biến đổi biểu thức sau áp dụng tính chất dãy tỉ số để làm xuất biểu thức dạng phải tính giá trị + Nếu gặp biểu thức mà số dãy tỉ số có dạng quy luật vịng quanh ta cần cộng thêm vào vế trừ vế với số để đưa tử mẫu tỉ số biểu thức II Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng: a) a+c a −c = b+d b−d a c = biết: b d a +b a −b b) = c+d c−d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a + c a − c a + c + a − c 2a a = = = = (1) b + d b − d b + d + b − d 2b b a + c a − c a + c − ( a − c ) 2c c = = = = (2) b + d b − d b + d − ( b − d ) 2d d Từ (1) ( ) suy a c = b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a + b a − b a + b + a − b 2a a = = = = (1) c + d c − d c + d + c − d 2c c a + b a − b a + b − ( a − b ) 2b b = = = = (2) c + d c − d c + d − ( c − d ) 2d d a b a c = = c d b d a c Bài 2: Chứng minh rằng: = biết: b d Từ (1) ( ) suy a) a a+b = c c+d b) b a −b = d c−d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a a+b a+b−a b a b a c = = = = = (đpcm) c c+d c+d −c d c d b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b a −b a −b +b a a c = = = = (đpcm) d c−d c−d +d c b d a c Bài 3: Chứng minh rằng: = biết: b d a c b d a) b) = = a −b c −d a+b c+d Lời giải: a) Vì a c a a −b nên = = a −b c −d c c−d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a a − b a − ( a − b) b a b a c = = = = = c c − d c − (c − d ) d c d b d b) Vì b d b a +b nên = = a+b c+d d c+d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b a +b a +b −b a a b a c = = = = = d c+d c+d −d c c d b d Bài 4: 2a + 3c 2a − 3c Chứng minh = 2b + 3d 2b − 3d 4a − 3b 4a + 3b b) Cho Chứng minh = 4c − 3d 4c + 3d a) Cho a c = b d a c = b d Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a + 3c 2a − 3c 2a + 3c + 2a − 3c 4a a = = = = (1) 2b + 3d 2b − 3d 2b + 3d + 2b − 3d 4b b 2a + 3c 2a − 3c 2a + 3c − ( 2a − 3c ) 6c c = = = = (2) 2b + 3d 2b − 3d 2b + 3d − ( 2b − 3d ) 6d d Từ (1) ( ) suy a c = (đpcm) b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 4a − 3b 4a + 3b 4a − 3b + 4a + 3b 8a a = = = = (1) 4c − 3d 4c + 3d 4c − 3d + 4c + 3d 8c c 4a − 3b 4a + 3b 4a − 3b − ( 4a + 3b ) −6b b = = = = (2) 4c − 3d 4c + 3d 4c − 3d − ( 4c + 3d ) −6d d Từ (1) ( ) suy a b a c = = (đpcm) c d b d Bài 5: 4a − 3b 4c − 3d a c Chứng minh = = a c b d 2a + 3b 4a − 5b a c b) Cho Chứng minh = = 2c + 3d 4c − 5d b d a) Cho Lời giải: a) Vì 4a − 3b 4c − 3d 4a − 3b a 4a − 3b 4a nên = = = a c 4c − 3d c 4c − 3d 4c Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4a − 3b 4a 4a − 3b − 4a −3b b = = = = 4c − 3d 4c 4c − 3d − 4c −3d d 4a b a b a c = = = (đpcm) 4c d c d b d 2a + 3b 4a − 5b 4a + 6b 4a − 5b b) Vì = = 2c + 3d 4c − 5d 4c + 6d 4c − 5d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 4a + 6b 4a − 5b 4a + 6b + 4a − 5b b = = = (1) 4c + 6d 4c − 5d 4c + 6d + 4c − 5d d 2a + 3b 4a − 5b 10a + 15b 12a − 15b Vì = = 2c + 3d 4c − 5d 10c + 15d 12c − 15d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 10a + 15b 12a − 15b 10a + 15b + (12a − 15b ) 22a a = = = = (2) 10c + 15d 12c − 15d 10c + 15d + (12c − 15d ) 22c c Từ (1) ( ) suy a b a c = = (đpcm) c d b d Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) ( b 0, d ) a c = b d Lời giải: Vì a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) nên ( a + c ) d = c ( b + d ) a+c c = b+d d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a+c c a +c−c a = = = b+d d b+d −d b a c Vậy = (đpcm) b d Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu ( x + y ) = ( y + z ) = ( z + x ) x− y y−z = Lời giải: x+ y z+ x x+ y−z−x y + z z + x −y − z + z + x x − y = = = y−z; = = = 3− −3 + 2( z + x) x− y z+x x− y z+x z+x y−z z+x = x− y = = (1) = y−z = (2) 5 10 10 x− y y−z Từ (1) (2) ta có: = Ta có: (a − c) = a − b b − c a b c Bài 8: Cho Chứng minh rằng: = = ( )( ) 2009 2011 2013 Lời giải: a b c a −c a −b b −c = = = = = =k 2009 2011 2013 −4 −2 −2 a − c = −4k 2 a − c) −4k ) ( ( a − b = −2k = = 4k (1) ( a − b )( b − c ) = 4k 4 b − c = −2k Ta có: (a − c) Từ (1) ( ) suy ( 2) = ( a − b )( b − c ) (đpcm) a b c Bài 9: Cho = = Chứng minh b c d a a+b+c = b+c+d d Lời giải: Đặt a b c = = = k a = bk ; b = ck ; c = dk b c d a + b + c bk + ck + dk k (b + c + d ) Do = = = k (1) b+c+d b+c+d b+c+d Mặt khác 3 a a b c bk ck dk = = = k3 ( 2) d b c d b c d a+b+c a Từ (1) ( ) suy = (đpcm) b+c+d d 3a + 2b + c 3a − 2b + c Bài 10: Cho tỉ lệ thức = (b 0) Chứng minh a + c = a + 2b − c a − 2b − c Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 3a + 2b + c = a + 2b − c 3a + 2b + c 3a − 2b + c (3a + 2b + c) − (3a − 2b + c) 4b = = = = 1(b 0) a + 2b − c a − 2b − c (a + 2b − c) − (a − 2b − c) 4b 3a − 2b + c = a − 2b − c 2a + 2c = a + c = (đpcm) Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn x y x + y = −21 Tính giá trị biểu thức: A = 5x + y = x y b) = y − x = Tính giá trị biểu thức: B = 3x + y a) Lời giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y −21 = = = = −3 2+5 x = −3 x = −6 y = −3 y = −15 Do A = 5.(−6) + 4.(−15) = −90 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y y−x = = = =2 5−3 x =2x =6 y = y = 10 Do B = 3.6 + 5.10 = 68 Bài 12: a) Cho a : b : c = 3: : a + b + c = 24 Tính M = a.b + b.c + ca b) Cho a : b : c : d = : 3: : a + b + c + d = −42 Tính N = a.b + c.d Lời giải: a) Vì a : b : c = 3: : nên a b c = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 24 = = = = =2 + + 12 a = 6; b = 8; c = 10 Do đó: M = 6.8 + 8.10 + 10.6 = 48 + 80 + 60 = 188 b) ) Vì a : b : c : d = : 3: : nên a b c d = = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c d a + b + c + d −42 = = = = = = −3 + + + 14 a = −6; b = −9; c = −12; d = −15 Do đó: N = ( −6 ) ( −9 ) + ( −12 ) ( −15 ) = 54 + 180 = 234 Bài 13: x y z = = x + y + z = 24 Tính E = 3x + y − z x y z b) = = x – y + z = Tính E = xy − yz a) Biết Lời giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 24 = = = = = 2+3+ x 8 16 = x = = 3 y 8 = y = = 3 z 8 32 = z = = 3 32 Vậy E = + 2.8 − = + 16 − 64 = −42 3 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x− y+z = = = = = 5−6+7 x = x=5 y = 2 y=6 z = 2z=7 Do E = 2.6 − 2.7 = 60 − 84 = −24 Bài 14: a) Cho b) x y = 3x − y = 44 Tính giá trị biểu thức C = 20 x − 22 y x y = x + y = 48 Tính giá trị biểu thức D = x + y Lời giải: a) Vì x y 3x y = nên = 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 3x y 3x − y 44 = = = =4 15 15 − 11 3x 4.15 =4 x = = 20 15 Do 2y 4.4 =4 y = =8 Khi C = 20.10 − 22.8 = 24 b) x y = x + y = 48 Vì x y 2x y = nên = 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 48 = = = =3 10 + 10 16 2x 3.6 = 3 x = =9 Do 5y 10.3 = 3 y = =6 10 Do D = 92 + 63 = 81 + 216 = 297 Bài 15: a) Cho 3x − y + 3z x y y z = ; = x + y + z = 25 Tính K = xy − z b) Cho xy + z x y y z = ; = x + y − z = −34 Tính L = y−z Lời giải a) Vì x y x y = = ; y z y z x y z nên = = = = 15 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 25 = = = = =1 15 + + 15 25 x =1 x = 4 y =1 y = 6 z = z = 15 15 3.4 − 2.6 + 3.15 45 Do K = = =5 4.6 − 15 x y x y b) Vì = = ; 15 y z y z x y z 2x y 4z nên = = = = = = 15 10 15 10 12 45 40 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y − z −34 = = = = = −2 12 45 40 12 + 45 − 40 17 ( −2) 12 = −12 2x = −2 x = 12 − ( ) 45 = −30 3y = −2 y = 45 ( −2) 40 = −20 4z = −2 z = 40 − 12 − 30 ( ) ( ) + ( −20 ) = −26 Do L = ( −30 ) − ( −20 ) Bài 16: a) Cho b) x y 2 = x + y = 25 Tính G = x + y x y 2 = 3x – y = 63 với x 0; y Tính H = x y Lời giải: a) Đặt x y = x + y = 25 x y = = k (k 0) , x = 3k ; y = 4k Thay x = 3k ; y = 4k vào biểu thức x + y = 25 , ta được: (3k )2 + (4k)2 = 25 9k + 16k = 25 25k = 25 k2 =1 k = 1 - Khi k = x = 3.1 = ; y = 4.1 = Do G = 33 + 42 = 27 + 16 = 43 - Khi k = −1 x = 3.(−1) = −3 ; y = 4.(−1) = −4 Do G = ( −3) + ( −4 ) = −27 + 16 = −11 b) x y = 3x – y = 28 Đặt x y = = k (k 0) x = 3k ; y = 2k , thay vào biểu thức 3x – y = 28 Ta 3.(3k )2 – 5.(2k )2 = 28 27k − 20k = 28 7k = 28 k = k = (loại) k = −2 (thoả mãn) - Khi k = −2 x = 3.(−2) = −6 ; y = 2.(−2) = −4 Do H = ( −6 ) ( −4 ) = −6.16 = −96 Bài 17: Cho x y z x z = = x + y + z Tính y z x y9 Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y z x+ y+z = = = =1 y z x y+z+x x Suy ra: = x = y y y =1 y = z z x= y=z x z x x x Khi = = = y x x Bài 18: Cho x, y, z thoả mãn: x − y + 3z x y z x, y, z Tính: P = = = 5x + y − z −2 Lời giải: Cách 1: Đặt giá trị dãy tỉ số k x y z = = = k (k 0) suy x = −2k , y = 5k z = 7k −2 −2k − 10k + 21k 9k −9 Khi đó: P = = = −10k + 10k − 7k −7k −9 Vậy: * Đặt Cách 2: Biến đổi thơng qua sử dụng tính chất dãy tỷ số x y z y z x − y + z x − y + 3z 9z suy x − y + 3z = = = = = = = −2 10 21 −2 − 10 + 21 x y z 5x y 5x + y − z 5x + y − z Lại có: suy 5x + y − z = − z = = = = = = −2 −10 10 −10 + 10 − −7 9z 9z −9 = Do đó: P = = ( Vì z ) − z −7 z −9 Vậy: P = x −1 y − z − Bài 19: Cho Tính giá trị biểu thức N = x + y − z = = Ta có: Lời giải: x −1 y − z − = = =k x −1 = k x = 3k + y−2 = k y = 4k + z −3 = k z = 5k + Do đó: N = ( 3k + 1) + ( 4k + ) − ( 5k + 3) Đặt = 6k + + 4k + −10k − = −2 a +b−c c + a −b b +c −a = = c b a (a + b)(b + c)(c + a) Tính giá trị biểu thức S = abc Bài 20: Cho a, b, c thỏa mãn Lời giải: Trường hợp 1: a, b, c a + b + c = a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a thay vào biểu thức S ta được: −c.(−a)(−b) = −1 abc Trường hợp 2: a, b, c a + b + c S= Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta a +b −c c + a −b b +c −a a +b −c +c + a −b +b +c −a = = = =1 c b a c +b+a Suy ra: a + b = 2c; c + a = 2b b + c = 2a thay vào biểu thức S 2c.2a.2b =8 abc a +b−c c + a −b b +c −a Vậy: S = −1 a; b; c ; a + b + c = = = c b a a +b−c c + a −b b +c −a S = a; b; c ; a + b + c = = c b a Ta có: S = Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số đề tìm thành phần chưa biết Bài Tìm hai số x, y biết: a) x y = x − y = 30 b) x y = x + y = 48 c) x y = x + y = 90 d) x y = x + y = 12 −2 Bài Tìm hai số x, y biết: a) −2 x = y x + y = 30 b) 3x = y x + y = 34 c) x = y 3x − y = 35 d) Bài Tìm hai số x, y biết: x y x − y = = −2 −3 a) x y = x + y = 25 b) x y = x − y = 1600 c) x y = x + y = 58 d) x y = x + y = 400 Bài Tìm hai số x, y biết: x = x c) = a) y x3 + y = 35 y x3 − y3 = 98 x y 3 = x + y = −35 x y d) = x3 − y3 = 37 b) Bài Tìm số x, y, z biết: x y z x + y + z = 160 = = 12 13 15 x y z c) = = x + y − z = Bài Tìm x, y, z biết: x y z a) = = x + y + z = 54 x y z c) = = x − y + z = 48 −3 Bài Tìm x, y, z biết: a) a) x y y z = ; = x + y + z = 46 3 x y x z = ; = x + y − z = 10 Bài Tìm x, y, z biết: c) x = x d) = b) y z x – y + z = 38 = −16 17 y z x − y − z = 27 = −4 x y z = = 3x – y + z = 24 x y z d) = = x – y − z = 81 −3 b) b) x y x z = ; = x + y + z = 51 d) x z y z = ; = x − y − z = 33 x y = ;5 y = 3z x + y + z = 98 a) x y = ; y = 3z x + y + z = 49 b) c) x y = ;7 y = z x − y + z = 45 d) x = y; = y z x − y + z = 21 Bài Tìm x, y, z biết: a) x +1 y + z + x + y + z = 18 = = b) x −1 y − z − x + y + z = 30 = = Bài 10 Tìm x, y, z biết: a) x y z = = x − y = 36 b) x y z = = y + z = 28 c) x y z 3x − y = 47 = = −16 17 d) x y z = = y − z = 99 Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán thực tế (Toán chia tỉ lệ) Bài 1: Số học sinh giỏi, khá, trung bình khối tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi, trung bình 180 em 10 Bài 2: Ba lớp A, 9B, 9C quyên góp 240 kg giấy vụn Tính số kg giấy vụn lớp quyên góp được, biết số kg giấy vụn quyên góp lớp tỉ lệ với 3: : Bài 3: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; Hỏi nhà sản xuất phải góp vốn biết tổng số vốn nhà thứ nhà thứ hai nhiều nhà thứ ba 80 triệu đồng Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối 30 học sinh Tính số học sinh khối Bài 5: Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với số 2; 4; Tính số viên bi bạn, biết rằng: lần số bi bạn Hùng nhiều lần số bi bạn Minh 40 viên Bài Chia số 135 thành ba phần tỉ lệ với 3; 4; Hãy tìm phần số đó? Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức a c = biết: b d a−c b−d a −b c −d a) b) = = a+c b+d b d a c Bài 2: Chứng minh rằng: = biết: b d 2a − 3b 2c − 3d 7a − 11b 7c − 11d a) b) = = 2a + 3b 2c + 3d 4a + 5b 4c + 5d Bài 3: Cho hai số x; y thoả mãn x y a) x − y = 27 Tính giá trị biểu thức: A = x + y = Bài 1: Chứng minh rằng: b) Cho x = y 3x − y = 35 Tính giá trị biểu thức B = 11y − x Bài 4: a) Biết 2x − 3y + z x y z x − y − z = 27 Tính C = = = y−z −4 b) Cho x y 2 = 3x − y = 28 Tính D = x3 − y Bài 5: a) Cho 3x = y;2 y = 5z x + y − 5z = 55 Tính E = b) Cho x − y + x.z x.z + y x + 99 y − 98 z + 97 Tính giá trị biểu thức F = x + y + z = = −1 −3 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số đề tìm thành phần chưa biết Bài Tìm hai số x, y biết: a) x = 70; y = 40 b) x = 20; y = 28 c) x = 30; y = 60 d) x = −8; y = 20 Bài Tìm hai số x, y biết: a) x = 50; y = −20 b) x = 8; y = 11 c) x = 25; y = 20 d) x = −18; y = −27 Bài Tìm hai số x, y biết: a) x = 3; y = x = −3; y = −4 b) x = 50; y = 30 x = −50; y = −30 c) x = 3; y = x = −3; y = −7 d) x = 12; y = 16 x = −12; y = −16 Bài Tìm hai số x, y biết: a) x = 2; y = c) x = −3; y = −5 Bài Tìm số x, y, z biết: a) x = 48; y = 52; z = 60 c) x = 27; y = 45; z = 63 Bài Tìm x, y, z biết: a) x = 10; y = 6; z = c) x = −12; y = −8; z = 12 Bài Tìm x, y, z biết: b) x = −3; y = −2 d) x = −3; y = −4 b) x = 5; y = −16; z = 17 d) x = 18; y = 27; z = −36 b) x = 4; y = 6; z = 12 d) x = −18; y = 27; z = −36 a) x = 18; y = 12; z = 16 b) x = 12; y = 9; z = 30 c) x = 24; y = 16; z = 30 d) x = −27; y = −24; z = −36 Bài Tìm x, y, z biết: a) x = 14; y = 21; z = 14 b) x = 18; y = 30; z = 50 c) x = 21; y = 45; z = 63 d) x = 27; y = 18; z = 12 Bài Tìm x, y, z biết: a) x = 21; y = 45; z = 63 b) x = 7; y = 10; z = 13 Bài 10 Tìm x, y, z biết: a) x = −180; y = −216; z = −252 b) x = 28; y = 12; z = 16 c) x = 5; y = −16; z = 17 d) x = 297; y = 495; z = 693 Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán thực tế (Toán chia tỉ lệ) Bài 1: Số học sinh giỏi, khá, trung bình là: 36;54;90 Bài 2: Số giấy ba lớp A, 9B, 9C quyên góp là: 60kg ;80kg ;100kg Bài 3: Số vốn nhà thứ nhất, nhà thứ hai nhà thứ ba là: 240; 400;560 triệu đồng Bài 4: Số học sinh khối 6, 7, 8, là: 90;80;70;60 học sinh Bài 5: Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng là: 10;20;25 viên Bài Số 135 chia thành ba phần là: 27;36;72 Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức a c = biết: b d a−c b−d a − c a + c a − c + a + c 2a a a) Vì = = = = = (1) a+c b+d b − d b + d b − d + b + d 2b b Bài 1: Chứng minh rằng: 12 a − c a + c a − c − ( a + c ) −2c c = = = = (2) b − d b + d b − d − ( b + d ) −2d d Từ (1) ( ) đpcm a −b c −d a −b b a −b +b a b a = = = = = b d c−d d c−d +d c d c c a = (đpcm) d b a c Bài 2: Chứng minh rằng: = biết: b d 2a − 3b 2c − 3d 2a − 3b 2a + 3b 2a − 3b + 2a + 3b 4a a a) = = = = = (1) 2a + 3b 2c + 3d 2c − 3d 2c + 3d 2c − 3d + 2c + 3d 4c c 2a − 3b 2a + 3b 2a − 3b − ( 2a + 3b ) −6b b = = = = (2) 2c − 3d 2c + 3d 2c − 3d − ( 2c + 3d ) −6d d b) Vì Từ (1) ( ) đpcm b) 7a − 11b 7c − 11d 7a − 11b 4a + 5b = = 4a + 5b 4c + 5d 7c − 11d 4c + 5d 35a − 55b 44a + 55b 35a − 55b + 44a + 55b 79a a = = = = (1) 35c − 55d 44c + 55d 35c − 55d + 44c + 55d 79c c 28a − 44b 28a + 35b 28a − 44b − ( 28a + 35b ) −79b b = = = = (2) 28c − 44d 28c + 35d 28c − 44d − ( 28c + 35d ) −79d d Từ (1) ( ) đpcm Bài 3: a) x = 63; y = 36 A = 2.63 + 3.36 = 234 b) x = 25; y = 20 B = 11.20 − 4.25 = 120 Bài 4: a) x = 18; y = 27; z = −36 C = 2.18 − 3.27 + ( −36 ) =− 27 − ( −36 ) b) x = 6; y = D = 200 x = −6; y = −4 D = −232 Bài 5: a) x = 20; y = 15; z = E = b) Đặt 7.20 − 2.15 + 20.6 46 = 20.6 + 15 27 x + 99 y − 98 z + 97 = = =k −1 −3 x = −k − 99; y = 2k + 98; z = −3k − 97 F =0 PHIẾU BÀI TẬP Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số đề tìm thành phần chưa biết Bài Tìm hai số x, y biết : a x y = x + y = 16 b) x y = x − y = 20 13 x y = Tính x y biết: a) x + y = 110 b) x − y = 52 x y Bài Cho tỉ lệ thức = Tính x y biết: a) x + y = 50 b) x − y = 56 Bài Cho tỉ lệ thức Bài Tìm hai số x, y biết : a) 3x = y x + y = 40 Bài Tìm x, y biết: a) x = y x + y = 10 Bài Tìm x, y, z biết: b) −2 x = y x + y = 30 b) x = y x – y = 11 x y z x y z b) = = x – y + z = 36 = = x + y + z = −18 Bài Tìm x, y, z biết: x y z x y z a) = = x + y + z = 14 b) = = x + y − z = 32 −6 Bài Tìm x, y biết: a) 3x = y x + y = 34 b) x : = y : (−5) x – y = Bài Tìm hai số x, y biết : x y x y a) = 3x − y = 44 b) = x + y = 32 Bài 10 Tìm x, y biết: x y x y a) x – y = b) = 3x − y = 35 = −2 −3 16 Bài 11 Tìm x, y biết: x y a) x + y = 68 b) x = y 3x − y = 35 = −3 −7 Bài 12 Tìm x, y, z biết: x y z x y z a) = = x – y + z = 9,5 b) = = x + y – z = 16 −10 Bài 13 Tìm x, y, z biết: x y z x y z a) = = x + z = 18 b) = = y – z = 39 −6 x y z c) 3x + y = 52 = = 12 13 15 Bài 14 Tìm x, y biết: x y x y a) = x − y = −33 b) = x + y = 34 −3 Bài 15 Tìm x, y biết: x y x y a) = x + y = 100 b) = x y = 3 4 Bài 16 Tìm x, y biết: x y a) 3x = y x – y = 48 b) = 3x – y = 63 Bài 17 Tìm x, y biết: x y a) = x3 + y = 91 b) x = y x3 + y = 133 Bài 18 Tìm x, y, z biết: a) 14 a) x y y z = ; = x + y + z = 50 b) x z y z = ; = x – y – z = 33 Bài 19 Tìm x, y, z biết : y z x y = ; = x + y − z = 34 Bài 20 Tìm x, y, z biết: a) b) x = y ; y = z 3x − y + 5z = 30 a) x = y ( x − y )2 + ( x + y ) = 50 Bài 21 Tìm x, y, z biết : b) 3x = y ( x + y)3 − ( x − y)3 = 126 x −1 y − z − x + y − z = 50 = = x −1 y − z − b) x − y + 3z = 14 = = Bài 22 Tìm x, y, z biết : a) x −1 y + z − 5z − 3x − y = 50 = = = = b) x + y − z = −10 3x − y z − x y − 3z a) Bài 23 Tìm số x, y, z biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau 3x + y + z = 169 3x + 25 y − 169 z + 144 = = 144 25 169 Bài 24 Tìm số x, y, z biết x y z 2 = = x + y − z = 585 b) x : y : z = 3: : x + y − 3z = −100 a) Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán thực tế (Toán chia tỉ lệ) Bài 1: Ba lớp A, 8B, 8C trồng 120 Tính số trồng lớp, biết số trồng lớp tỉ lệ với 3: : Bài 2: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; Hỏi nhà sản xuất phải góp vốn biết tổng số vốn 300 triệu đồng Bài 3: Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với số 2; 4; Tính số viên bi bạn, biết ba bạn có tất 44 viên bi Bài 4: Một số chia thành phần tỉ lệ với 5: : Tìm phần biết tổng ba phần 240 Bài 5: Một công ty chi 182 triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ba tổ sản xuất Số tiền thưởng ba tổ tỉ lệ với ba số 3; 4;5 Tính số tiền thưởng tổ? Bài 6: Hưởng ứng Tết trồng cây, học sinh ba lớp A;9B;9C trồng tổng cộng 240 Số lớp A;9B;9C trồng tỉ lệ với 5; 4;3 Tính số lớp trồng Bài Thành phần mứt dừa hoàn thành gồm có dừa đường theo tỉ lệ :1 Em tính xem 12kg mứt dừa có kilơgam dừa kilơgam đường Bài 8: Số học sinh giỏi, khá, trung bình khối tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh học sinh trung bình học sinh giỏi 180 em 15 Bài Điểm số kiểm tra Toán vừa qua lớp 7A phân loại sau: số điểm kém, số điểm trung bình, số điểm khá, số điểm giỏi tương ứng tỉ lệ với số 2;6;5; Biết số điểm trung bình nhiều số điểm khá, giỏi Hỏi với loại điểm có người? Bài 10 Bác Long xây nhà Bác ba khoản lớn là: thiết kế, xây thơ, hồn thiện Chi phí cho khoản tỉ lệ với số 2;36;62 Số tiền hoàn thiện nhiều tổng số tiền thiết kế xây thô 180 triệu đồng Hỏi khoản tiền? Bài 11: Số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp 7E tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi học sinh trung bình nhiều học sinh 16 em Bài 12: Ba bạn Minh, Hùng, Dũng quyên góp tiền để làm từ thiện theo tỉ lệ 3; 5; Hỏi bạn quyên góp tiền biết Minh Hùng quyên góp 400 ngàn đồng Bài 13: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối Bài 14: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 18; 17; 16; 15 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối 15 học sinh Tính số học sinh khối Bài 15: Cho tam giác ABC có số đo góc tỉ lệ với 3; 5; Tính số đo góc tam giác ABC Bài 16 Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số độ dài hai cạnh chu vi 64 m Tính diện tích mảnh vườn Bài 17 Minh Khơi thi giải tốn ôn tập cuối kì Kết Minh làm nhiều Khôi số Khôi làm số Minh làm Hãy tìm số bạn làm Bài 18 Trong cửa hàng lương thực có 15 bao gạo, bao đỗ, bao lạc Khối lượng bao gạo, bao đỗ, bao lạc tỉ lệ với số 10;6;3 Hỏi bao loại nặng kg, biết lượng gạo nhiều lượng đỗ lạc 435 kg? Bài 19: Ba máy bơm bơm nước vào bể bơi có dung tích 235 m3 Biết thời gian để bơm m3 nước ba máy phút, phút phút Hỏi máy bơm mét khối nước đầy bể? Bài 20: Ba lớp có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B số học sinh lớp 7C số học sinh lớp 7A , 17 số học sinh lớp 7B Tính số học sinh lớp 16 Bài 21: Trong vận chuyển hàng cứu trợ đồng bào ảnh hưởng dịch Covid- 19 , ba đội xe giao vận chuyển 3030 hàng Cuối đợt, đội I vượt mức 26% , đội II vượt mức 5% , đội III vượt mức 8% định mức đội nên khối lượng hàng mà ba đội vận chuyển Tính định mức vận chuyển xe Bài 22: Ba kho có tất 710 thóc Sau chuyển kho II 1 số thóc kho I , số thóc số thóc kho III số thóc cịn lại ba kho Hỏi lúc đầu 11 kho có thóc Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức 16 Bài 1: Chứng minh rằng: a) a+c a −c = b+d b−d Bài 2: Chứng minh rằng: a) a a+b = c c+d b) b d Bài 3: Chứng minh rằng: a) a c = a −b c −d a c = biết: b d a +b a −b b) = c+d c−d a c = biết: b d a −b = c−d a c = biết: b d b d b) = a+b c+d Bài 4: 2a + 3c 2a − 3c Chứng minh = 2b + 3d 2b − 3d 4a − 3b 4a + 3b b) Cho Chứng minh = 4c − 3d 4c + 3d a) Cho a c = b d a c = b d Bài 5: 4a − 3b 4c − 3d a c Chứng minh = = a c b d 2a + 3b 4a − 5b a c b) Cho Chứng minh = = 2c + 3d 4c − 5d b d a) Cho Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) ( b 0, d ) Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu ( x + y ) = ( y + z ) = ( z + x ) x− y y−z = a c = b d (a − c) = a − b b − c a b c Bài 8: Cho Chứng minh rằng: = = ( )( ) 2009 2011 2013 a+b+c a a b c Bài 9: Cho = = Chứng minh = b c d b+c+d d 3a + 2b + c 3a − 2b + c Bài 10: Cho tỉ lệ thức = (b 0) Chứng minh a + c = a + 2b − c a − 2b − c Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn x y a) x + y = −21 Tính giá trị biểu thức: A = 5x + y = x y b) = y − x = Tính giá trị biểu thức: B = 3x + y Bài 12: a) Cho a : b : c = 3: : a + b + c = 24 Tính M = a.b + b.c + ca b) Cho a : b : c : d = : 3: : a + b + c + d = −42 Tính N = a.b + c.d Bài 13: x y z = = x + y + z = 24 Tính E = 3x + y − z x y z b) = = x – y + z = Tính E = xy − yz a) Biết Bài 14: x y = 3x − y = 44 Tính giá trị biểu thức C = 20 x − 22 y x y b) = x + y = 48 Tính giá trị biểu thức D = x + y a) Cho 17 Bài 15: 3x − y + 3z x y y z = ; = x + y + z = 25 Tính K = xy − z xy + z x y y z b) Cho = ; = x + y − z = −34 Tính L = y−z a) Cho Bài 16: x y = x + y = 25 Tính G = x3 + y x y b) = 3x – y = 63 với x 0; y Tính H = x y x y z x z Bài 17: Cho = = x + y + z Tính y z x y x − y + 3z x y z Bài 18: Cho x, y, z thoả mãn: x, y, z Tính: P = = = 5x + y − z −2 x −1 y − z − Bài 19: Cho Tính giá trị biểu thức N = x + y − z = = a +b−c c + a −b b +c −a Bài 20: Cho a, b, c thỏa mãn = = c b a (a + b)(b + c)(c + a) Tính giá trị biểu thức S = abc a) Cho Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số đề tìm thành phần chưa biết Bài Tìm hai số x, y biết: x = x c) = y x − y = 30 y x + y = 90 Bài Tìm hai số x, y biết: a) −2 x = y x + y = 30 x y = x + y = 48 x y d) = x + y = 12 −2 a) b) b) 3x = y x + y = 34 c) x = y 3x − y = 35 d) x y x − y = = −2 −3 Bài Tìm hai số x, y biết: x = x c) = y x + y = 25 y x + y = 58 Bài Tìm hai số x, y biết: x y a) = x3 + y = 35 x y c) = x3 − y3 = 98 Bài Tìm số x, y, z biết: x y z a) x + y + z = 160 = = 12 13 15 x y z c) = = x + y − z = Bài Tìm x, y, z biết: a) x = x d) = y x − y = 1600 y x + y = 400 x = x d) = y x3 + y = −35 y x3 − y3 = 37 b) b) x = x d) = b) 18 y z x – y + z = 38 = −16 17 y z x − y − z = 27 = −4 x = x c) = y z = x + y + z = 54 y z x − y + z = 48 = −3 Bài Tìm x, y, z biết: x y y z a) = ; = x + y + z = 46 3 x y x z c) = ; = x + y − z = 10 Bài Tìm x, y, z biết: x y a) = ; y = 3z x + y + z = 49 x y c) = ;7 y = z x − y + z = 45 Bài Tìm x, y, z biết: x +1 y + z + a) x + y + z = 18 = = Bài 10 Tìm x, y, z biết: x y z a) = = x − y = 36 x y z c) = 3x − y = 47 = −16 17 a) x y z = = 3x – y + z = 24 x y z d) = = x – y − z = 81 −3 b) x y x z = ; = x + y + z = 51 x z y z d) = ; = x − y − z = 33 b) x y = ;5 y = 3z x + y + z = 98 y z d) x = y; = x − y + z = 21 b) b) x −1 y − z − x + y + z = 30 = = x = x d) = b) y z = y + z = 28 y z = y − z = 99 Dạng Áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán thực tế (Toán chia tỉ lệ) Bài 1: Số học sinh giỏi, khá, trung bình khối tỉ lệ với : 3: Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi, trung bình 180 em Bài 2: Ba lớp 9A, 9B, 9C quyên góp 240 kg giấy vụn Tính số kg giấy vụn lớp qun góp được, biết số kg giấy vụn quyên góp lớp tỉ lệ với 3: : Bài 3: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; Hỏi nhà sản xuất phải góp vốn biết tổng số vốn nhà thứ nhà thứ hai nhiều nhà thứ ba 80 triệu đồng Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối 30 học sinh Tính số học sinh khối Bài 5: Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với số 2; 4; Tính số viên bi bạn, biết rằng: lần số bi bạn Hùng nhiều lần số bi bạn Minh 40 viên Bài Chia số 135 thành ba phần tỉ lệ với 3; 4; Hãy tìm phần số đó? Dạng Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức a c = biết: b d a−c b−d a −b c −d a) b) = = a+c b+d b d a c Bài 2: Chứng minh rằng: = biết: b d 2a − 3b 2c − 3d 7a − 11b 7c − 11d a) b) = = 2a + 3b 2c + 3d 4a + 5b 4c + 5d Bài 1: Chứng minh rằng: 19 Bài 3: Cho hai số x; y thoả mãn a) x y x − y = 27 Tính giá trị biểu thức: A = x + y = b) Cho x = y 3x − y = 35 Tính giá trị biểu thức B = 11y − x Bài 4: a) Biết 2x − 3y + z x y z x − y − z = 27 Tính C = = = y−z −4 b) Cho x y 2 = 3x − y = 28 Tính D = x3 − y Bài 5: a) Cho 3x = y;2 y = 5z x + y − 5z = 55 Tính E = b) Cho x − y + x.z x.z + y x + 99 y − 98 z + 97 Tính giá trị biểu thức F = x + y + z = = −1 −3 20 ... (1) 4c + 6d 4c − 5d 4c + 6d + 4c − 5d d 2a + 3b 4a − 5b 10 a + 15 b 12 a − 15 b Vì = = 2c + 3d 4c − 5d 10 c + 15 d 12 c − 15 d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 10 a + 15 b 12 a − 15 b 10 a + 15 b + (12 a... 9k + 16 k = 25 25k = 25 k2 =1 k = ? ?1 - Khi k = x = 3 .1 = ; y = 4 .1 = Do G = 33 + 42 = 27 + 16 = 43 - Khi k = ? ?1 x = 3.(? ?1) = −3 ; y = 4.(? ?1) = −4 Do G = ( −3) + ( −4 ) = −27 + 16 = ? ?11 b)... 18 ; z = 12 Bài Tìm x, y, z biết: a) x = 21; y = 45; z = 63 b) x = 7; y = 10 ; z = 13 Bài 10 Tìm x, y, z biết: a) x = ? ?18 0; y = − 216 ; z = −252 b) x = 28; y = 12 ; z = 16 c) x = 5; y = ? ?16 ; z = 17