Bài 6 cung chứa góc

CHƯƠNG BÀI CUNG CHỨA GÓC Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu tốn quỹ tích cung chứa góc α + Biết cách dựng cung chứa góc α dựng đoạn AB + Biết bước giải tốn quỹ tích gồm có phần thuận, phần đảo kết luận  Kĩ + Biết quỹ tích cung chứa góc α nói chung trường hợp đặc biệt  90o + Nhận biết quỹ tích cung chứa góc α + Nêu bước giải tốn quỹ tích + Dựng cung chứa góc α dựng đoạn AB I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quỹ tích cung chứa góc  o - Với đoạn thẳng AB góc     180  cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB  hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Chú ý: Hai cung chứa góc α nói hai cung trịn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α - Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB - Vẽ tia Ax tạo với AB góc α - Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d - Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc α Cách giải tốn quỹ tích - Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Trang Từ đến kết luận quỹ tích điểm M có tính chất T hình H SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Quỹ tích Quỹ tích đường trịn đường kính AB cung chứa Hai cung chứa góc dựng góc đoạn thẳng AB CUNG CHỨA GĨC Dựng đường trung trực AB Cách Dựng tia Ax cho dựng Vẽ cung AmB tâm O, bán kính OA khơng chứa cung chứa tia Ax góc Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Cách giải tồn quỹ tích Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Tính chất: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quỹ tích cung chứa góc α Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI  MB Tìm tập Phần thuận: hợp điểm I nói  Bước 1.Tìm đoạn thẳng cố định góc tạo Hướng dẫn giải thành Phần thuận: Bước Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc Xét MBI , ta có tan I  MB   I 33o 41' MI Trang cung chứa góc  vẽ đoạn thẳng cố định Điểm I nhìn đoạn AB cố định góc 33o 41' , nên điểm I nằm hai cung chứa góc 33o 41' Bước Tìm giới hạn quỹ tích điểm dựng đoạn thẳng AB Khi điểm M  A , cát tuyến AM trở thành tiếp Phần đảo: tuyến A1 AA2 Khi điểm I trùng với A1 A2 Vậy điểm I thuộc hai cung A1mB A2 mB Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung A1mB A2 mB Nối IA cắt đường trịn đường kính AB điểm M Ta phải chứng minh MI  MB Thật vậy, xét tam giác vng MBI,ta có MB tan I tan 33o 41'   MI  MB MI Kết luận: Quỹ tích điểm I hai cung A1mB A2 mB chứa góc 33o 41' dựng đoạn thẳng AB ( A1 A2  AB A) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo hình thoi Hướng dẫn giải Phần thuận: ABCD hình thoi suy AC  BD  AOB 90o Vậy O nằm đường trịn đường kính AB trừ hai điểm A B Phần đảo: Lấy điểm O đường trịn đường kính AB (điểm O khơng trùng với A B) Vẽ tia OA lấy điểm C cho O trung điểm AC Vẽ tia BO lấy điểm D cho O trung điểm BD Ta phải chứng minh tứ giác ABCD hình thoi Thật vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Mặt khác AOB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên AC  BD Vậy tứ giác ABCD hình thoi Kết luận: Quỹ tích điểm O đường trịn đường kính AB (trừ hai điểm A B) Trang Ví dụ Cho ABC vng A, có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi Hướng dẫn giải Phần thuận: o     C  180o  B  C 180o  90 135o Xét BIC có BIC 180o  B 1 2   Vậy điểm I nằm cung chứa góc 135o dựng đoạn BC phía với điểm A bờ đường thẳng BC (trừ hai điểm B C) Phần đảo: Lấy điểm I cung chứa góc 135o dựng đoạn BC (I không trùng với B C, I A phía đường thẳng BC) Vẽ tia Bx cho tia BI tia phân giác góc CBx Vẽ tia Cy cho tia CI tia phân giác góc BCy Hai tia Bx Cy cắt A Ta phải chứng minh tam giác ABC vng A Thật vậy, xét ABC ta có       C  180o  B  C  BAC 180o  B 1 o  Xét tam giác BIC có BIC 135o (vì I nằm cung chứa góc 135 vẽ đoạn thẳng BC)  C  180o  135o 45o Suy B 1  Do BAC 90o Kết luận: Quỹ tích điểm I cung chứa góc 135o thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC vẽ đoạn thẳng BC (trừ hai điểm B C) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có BC cố định góc A 50o Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D Câu 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC Câu 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm chuyển động nửa đường tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AD = BC Tìm tập hợp điểm D Trang Câu 4: Cho ABC vng A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường tròn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn Phương pháp giải Chứng minh điểm thuộc nửa mặt Ví dụ: Cho ABC nội tiếp đường trịn Một dây phẳng bờ AB nhìn AB góc DE song song với BC cắt AC F Tiếp tuyến B cắt DE I Chứng minh A, I, B, F thuộc đường tròn Hướng dẫn giải   ACB (góc tạo tia tiếp tuyến Ta có IBA dây cung) Vì DE // BC nên AFI  ACB (hai góc đồng vị)    IFA   ACB Do IBA Suy B, F nằm cung chứa góc dựng đoạn AI Vậy A, I, B, F thuộc đường trịn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A 60o Gọi H giao điểm đường cao BB’ CC’ Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Hướng dẫn giải  C  120o ABC có A 60o  B  C  B  Xét BIC có BIC 180o  180o  60o 120o Ta có   ' HC ' 360o  HC  ' A  HB  'A B  ' AC ' BHC B 360o  90o  90o  60o 120o   Lại có BOC 2 BAC 2.60o 120o Trang Suy điểm I, H, O nằm cung chứa góc 120o dựng đoạn thẳng BC Do năm điểm I, H, O, B, C thuộc đường tròn Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC có góc B, góc C nhọn AH đường cao, AM đường trung tuyến, biết   BAH MAC Gọi E trung điểm AB Chứng minh A, M, H, E thuộc đường trịn Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có A  90o Đường trịn (A;AB) cắt đường thẳng BC E Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB K Chứng minh A, D, C, K, E thuộc đường tròn Câu 3: Cho ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn, từ suy BE  CE Dạng 3: Dựng cung chứa góc Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Dựng cung chứa góc 55o đoạn thẳng AB = cm Hướng dẫn giải Bước 1: Dựng đoạn thẳng có độ dài cạnh cho Cách dựng - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm Bước 2: Dựng cung chứa góc  đoạn thẳng  - Dựng góc xAB 55o - Dựng tia Ay  Ax - Dựng đường trung trực d đoạn thẳng AB - d cắt Ay O - Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA AmB Bước 3: Dựng tiếp điều kiện lại kết luận cung chứa góc 55o cần dựng Chứng minh O thuộc đường trung trục AB  OA OB  B   O; OA  Ax  AO  Ax tiếp tuyến (O;OA)  góc tạo tiếp tuyến Ax dây AB  BAx Trang Lấy M  AmB  AMB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB   BAx  AMB 55o  AmB cung chứa góc 55o dựng đoạn AB=3cm Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Ví dụ mẫu  Ví dụ Dựng ABC biết BC 3cm, BAC 50o trung tuyến AM 2,5cm Hướng dẫn giải Cách dựng - Dựng đoạn thẳng BC = 3cm - Dựng cung chứa góc 50o đoạn BC - Dựng M trung điểm đoạn BC - Vẽ cung trịn (M; 2,5cm) cắt cung chứa góc A - Nối AB, AC ta ABC phải dựng Chứng minh Theo cách dựng ta có BC = 3cm  A thuộc cung chứa góc 50o dựng đoạn BC  BAC 50o A   M ; 2,5cm   AM 2,5cm Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Do (M; 2,5cm) cắt cung lớn BC hai điểm nên tốn có hai nghiệm hình Ví dụ Dựng ABC , biết BC 6cm, A 40o đường cao AH = 4cm Hướng dẫn giải Trang Cách dựng - Dựng đoạn thẳng BC = 6cm Lấy D trung điểm BC - Dựng cung chứa góc 40o đoạn thẳng BC  + Dựng tia Bx cho CBx 40o + Dựng tia By  Bx + Dựng đường trung trực BC cắt By O + Dựng đường trịn (O;B) + Cung lớn BC cung chứa góc 40o dựng đoạn BC - Dựng đường thẳng d song song với BC cách BC đoạn 4cm + Trên đường trung trực BC lấy điểm D’ cho DD’ = 4cm + Dựng đường thẳng d qua D’ vng góc với DD’ - Đường thẳng d cắt cung lớn BC A, ta ABC cần dựng Chứng minh Theo cách dựng ta có BC = 6cm  A thuộc cung chứa góc 40o dựng đoạn BC  BAC 40o A  d song song với BC cách BC 4cm  AH DD ' 4cm Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Do d cắt cung lớn BC hai điểm nên toán có hai nghiệm hình Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Dựng ABC biết BC 3cm; A 50o AB 3,5cm Câu 2: Dựng ABC biết BC 4cm; đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm ĐÁP ÁN Dạng Quỹ tích cung chứa góc α Câu Phần thuận:  C  180o  50o 130o Ta có A 50o  B 130o    B1  C1  65o  BDC 180o  65o 115o Suy quỹ tích D cung chứa góc 115o nằm nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC dựng đoạn BC (trừ hai điểm B C) Trang Phần đảo: Lấy điểm D nằm cung chứa góc 115 o dựng đoạn BC (trừ hai điểm B C) Thật vậy, xét ABC, ta có      C  180o  B  C  BAC 180o  B 1   C  180o  115o 65o Xét BDC, ta có B 1   BAC 180o  2.65o 50o Kết luận: Quỹ tích điểm D cung chứa góc 115o thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa điểm A bờ đường thẳng BC dựng đoạn thẳng BC (trừ hai điểm B C) Câu Phần thuận: Xét CBF CDE có   CF CE (giả thiết), CB CD (ABCD hình vng); BCF DCE 90o      CDE  CBF  BEM 90o hay BMD Do CBF CDE  c.g.c   CBF 90o  M thuộc đường trịn đường kính BD  đường trịn qua bốn điểm A, B, C, D Mà E  BC nên quỹ tích điểm M cung nhỏ BC Phần đảo:  đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC    Khi MDC (hai góc nội tiếp chắn cung CM ) CBM Ta phải chứng minh CE = CF Thật vậy, xét CDE CBF có     CD = CB (ABCD hình vng); DCE (chứng minh trên) BCF 90O ; CDE CBF Do CDE CBF  g c.g   CE CF  đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC Câu Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến Ax nửa đường trịn đường kính AB, tia Ax nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn, tia Ax lấy điểm E cho AE  AB  E cố định Xét ABC EAD có Trang  , AD BC AE  AB, A1 B Do BAC AED  c.g c    EDA  ACB 90o  D thuộc nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax Phần đảo: Lấy điểm D thuộc nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax, AD cắt đường trịn đường kính AB C Ta cần chứng minh AD = BC     90o EAD D  90o Thật vậy, xét ABC C  có  AE  AB, ABC EAD Do ABC EAD (cạnh huyền – góc nhọn)  BC  AD Kết luận: Vậy tập hợp điểm D nửa đường tròn đường kính AE nằm nửa bờ mặt phẳng chứa tia Ax có chứa điểm A, B Câu Phần thuận: Gọi K trung điểm BC IK đường trung bình hình thang vng MNCB Suy KI  MN  AIK 90o Vậy điểm I nằm đường trịn đường kính AK Tuy nhiên, điểm M di động tới điểm B điểm N di động tới điểm A, trung điểm I MN di động tới trung điểm D AB Nếu điểm M di động tới điểm A điểm N di động tới điểm C, trung điểm I MN di động tới trung điểm E AC  Vậy điểm I thuộc cung DAE đường trịn đường kính AK Phần đảo:  Lấy điểm I cung DAE Vẽ đường thẳng AI cắt nửa đường trịn đường kính AB AC M N Ta phải chứng minh IM = IN Thật vậy, AIK 90o ; AMB 90o ; ANC 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BM // KI // CN (cùng vng góc với MN) Do KB KC  IM IN  Kết luận: Quỹ tích điểm I cung DAE đường trịn đường kính AK Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn Trang 10 Câu ABC có ME đường trung bình nên ME // AC   MAC  AME  1 AHB có AHB 90o , EA EB  AE EH   EAH Do AHE cân E  EHA  2   Từ (1), (2) EAH suy AME  AHE MAC Do H, M, A, E thuộc đường trịn Câu Ta có ABE cân A, CBK cân C  Lại có ABE CBK đường trịn   nên EAB KCB  A; C ; E ; K thuộc (1)   Mặt khác DAB DCB   Suy DAE KCD Từ ta có DAE KCD  c.g c        , mà EDA  EDA CKD DEC  CKD DEC  C ; D; E ; K thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy A, D, C, K, E thuộc đường tròn qua E, K, A Câu  B  (hai góc nội tiếp chắn cung IN  ), a) Ta có D 2  B  (giả thiết) B  B  Do D Hai điểm D B nhìn đoạn AE cặp góc nên B D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE Suy A, B, D, E thuộc đường trịn(P)  N  (hai góc nội tiếp chắn cung BI  ); b) Ta có D 1  N  (hai góc đồng vị) C 1  C  Do D 1 Hai điểm C D nhìn đoạn AB góc nên C D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB Suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (Q) Trang 11 Hai đường trịn (P) (Q) có ba điểm chung A, B, D nên chúng trùng Do năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn   Suy BEC BAC 90o Vây BE  CE Dạng Dựng cung chứa góc Câu Phân tích Giả sử dựng ABC thỏa mãn đề bài, ta thấy - Đoạn thẳng BC = 3cm dựng - Điểm A thỏa mãn hai điều kiện: + A nằm cung chứa góc 50o dựng đoạn thẳng BC + A nằm đường tròn (B; 3,5cm) Cách dựng - Dựng đoạn thẳng BC = 3cm - Dựng cung chứa góc 50o đoạn BC - Dựng đường trịn (B; 3,5cm) - Đường tròn (B; 3,5cm) cắt cung chứa góc A - Nối AB, AC ta ABC phải dựng Chứng minh Vì A thuộc cung chứa góc 50o nên  BAC 50o , BC 3cm A   B;3,5cm   AB 3,5  cm  Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề Kết luận Bài tốn có hai nghiệm hình ABC A ' BC Câu Cách dựng - Dựng nửa đường trịn đường kính BC = 4cm - Dựng đường tròn (B; 3cm) (C; 3,5cm) cắt nửa đường tròn đường kính BC D E - Các đường thẳng BE CD cắt A ta ABC tam giác phải dựng Chứng minh  Ta có BC 4cm, D   B;3cm   BD 3  cm  BDC 90o hay BD  CD Tương tự E   C ;3,5cm   CE 3,5cm EC  EB Trang 12 Ta lại có A BE  CD Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu toán Kết luận Bài tốn có nghiệm hình ABC Trang 13