CHỦ ĐỀ 12 CUNG CHỨA GÓC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Cung chứa góc * Nếu các điểm (ví dụ M, N, P) nằm cùng phía đối với đoạn thẳng AB và cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau thì ta nói các điểm này thuộc cù[.]
CHỦ ĐỀ 12: CUNG CHỨA GÓC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Cung chứa góc * Nếu điểm (ví dụ M, N, P) nằm phía đoạn thẳng AB nhìn AB góc ta nói điểm thuộc cung chứa góc 𝛂 dựng đoạn AB 2/ Bài tốn quỹ tích * Để chứng minh điểm M chạy cung trịn cố định (Tìm quỹ tích điểm M) Bước 1: Dự đoán điểm M chạy cung tròn dựng đoạn thẳng Cố Định Bước 2: Xem đoạn cố định (ví dụ đoạn AB) dây cung đường tròn biết, từ góc nội tiếp có số đo khơng đổi chắn cung AB Hoặc tìm điểm N cố định với có số đo khơng đổi Bước 3: Chứng minh số đo góc khơng đổi => Điểm M thuộc cung chứa góc khơng đổi dựng đoạn AB * Để hồn thiện Tốn tìm quỹ tích điểm ta cần chứng minh phần thuận phần đảo + Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H + Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T + Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất T hình H B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho ΔABC có cạnh BC cố định ∠A = α không đổi (0o < α < 180o) Tìm quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC Hướng dẫn giải * Phần thuận: Vì I tâm đường tròn nội tiếp ΔABC nên BI phân giác ∠B => ∠IBC = 1/2∠ABC CI phân giác ∠ACB, đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90o - α Trong ΔBCI có ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90o - 1/2 α) = 90o + 1/2 α => Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 90o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dừng đoạn thẳng BC (trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) * Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α nói Vẽ tia Bx Cy cho BI’ tia phân giác ∠CBy CI’ tia phân giác góc ∠BCx Hai tia By Cx cắt A’ Vì I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dựng đoạn BC nên: ∠BI'C = 90o + 1/2 α Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180o - ∠BIC = 90o - 1/2α Vì BI’ phân giác ∠A'BC CI’ phân giác ∠A'CB => ∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180o - α Mặt khác I’ giao điểm tia phân giác ∠A'BC ∠A'CB => I’ tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC * Kết luận: Quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC cung chứa góc 90 o + 1/2 α dựng đoạn BC Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm A cố định nằm đường tròn Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) hai điểm M N Tìm quỹ tích trung điểm I MN Hướng dẫn giải * Phần thuận: Vì I trung điểm dây MN suy OI ⊥ MN => ∠OIA = 90o Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định góc 90 o nên I nằm đường trịn đường kính OA * Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc đường tròn đường kính OA Nối AI’ cắt đường trịn (O) M’ N’ Vì I’ thuộc đường trịn đường kính OA nên ∠OI'A = 90o hay OI' ⊥ M'N' => I’ trung điểm M’N’ (theo quan hệ đường kính dây cung) * Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trịn đường kính OA Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60o và trung tuyến AM = 5cm Hướng dẫn giải * Phân tích: Giả sử dựng ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Vì ∠BAC = 60o => A thuộc cung trịn chứa góc 60o dựng đoạn BC Lại có: AM = 5cm => A thuộc đường tròn tâm M, bán kính 5cm * Cách dựng: Dựng đoạn thẳng BC = 8cm Xác định trung điểm M BC Dựng cung chứa góc 60o trên đoạn thẳng BC Dựng đường trịn tâm M, bán kính 5cm Gọi giao điểm cung chứa góc đường trịn (M, 5cm) A A’ Ta có hai tam giác ABC A’BC thỏa mãn đề * Chứng minh: Vì A thuộc cung chứa góc 60o dựng đoạn BC nên ∠A = 60o Lại có: A thuộc đường trịn (M, 5cm) nên AM = 5cm BC = 8cm theo cách dựng * Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có C điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC Lấy điểm N thuộc đoạn AM cho AN = MB Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D điểm thuộc Ax cho AD = AB a) Chứng minh ΔMNC vuông cân b) Chứng minh DN ⊥ AM c) Tìm quỹ tích điểm N Hướng dẫn giải a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c) Do đó: CN = CM Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 90o = 45o Từ (1) (2) suy ΔMNC vuông cân C b) Xét ΔAND ΔBMA có: AD = AB ∠DAN = ∠ABM AN = BM (gt) => ΔAND = ΔBMA (c-g-c) ∠AND = ∠BMA Mà ∠BMA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ∠AND = 90o hay DN ⊥AM c) Tìm quỹ tích điểm N * Phần thuận: Vì ∠AND = 90o N nhìn đoạn AD cố định góc 90o => N thuộc đường trịn đường kính AD Giới hạn: Nếu M ≡ A N ≡ C, M ≡ C N ≡ A quỹ tích điểm N cung nhỏ AN đường trịn đường kính AD (cung thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng Ax có chứa nửa đường trịn (O)) * Phần đảo: Học sinh tự chứng minh II/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính ( M thuộc cung AN ) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K a) Tính b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn ? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , C điểm cung AB M điểm chuyển động cung CB Gọi H hình chiếu C AM Các tia OH BM cắt I Tìm quỹ tích điểm I Bài 3:Cho đường trịn (O) có đường kính AB cố định Một điểm C chạy đường tròn Kẻ CD vng góc với AB Trên OC đặt đoạn OM = CD Tìm quỹ tích điểm M Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , M điểm chuyển động nửa đường trịn Vẽ hình vng BMDC tam giác AMB Tiếp tuyến B nửa đường tròn cắt CD E a) Chứng minh AB = BE b) Tìm quỹ tích điểm C Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác M ,N tiếp điểm cạnh AC , BC Gọi H giao điểm AI MN Chứng minh điểm H thuộc đường trịn đường kính BI Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc D cắt đường thẳng AB , BC theo thứ tự I , K Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK Chứng minh : a) OB IK b) Điểm O nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định , M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = 2MB Tìm tập hợp điểm I M chạy đường tròn (O)