Chuyên đề Cung chứa góc Toán 9 A Lý thuyết 1 Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn AMB^=α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB[.]
Chun đề Cung chứa góc - Tốn A Lý thuyết Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc α (0 < α < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB^=α hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Lưu ý: - Hai cung chứa góc α nói hai cung tròn đối xứng qua AB - Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích - Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax cho BAx^=α – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax - AmB⏜ vẽ cung chứa góc α Ta có hình vẽ: Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Ví dụ Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp trung điểm M AB Lời giải: - Phần thuận: + Xét tam giác vng OAB có OM = MA = MB Nên ∆OAM cân M Mà OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn thẳng OA - Phần đảo: Lấy M thuộc tia M1z, AM cắt Oy B Suy MO = MA ⇒MAO^=MOA^ Mặt khác OBM^=BOM^ (cùng phụ với góc MAO^=MOA^) suy MO = MB Suy MO = MA = MB Hay M trung điểm AB - Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng A Đường trịn đường kính AB B Nửa đường trịn đường kính AB C Đường trịn đường kính AB/2 D Đường trịn bán kính AB Lời giải: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Chọn đáp án A Câu 2: Với đoạn thẳng AB góc α(0° < α < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn = α A Hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Hai cung không đối xứng qua B Hai cung chứa góc α dựng đoạn AB khơng lấy đoạn AB C Hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Hai cung đối xứng qua D Một cung chứa góc α dựng đoạn AB Lời giải: Với đoạn thẳng AB góc α(0° < α < 180°) cho trước quỹ tích điểm thỏa mãn = α hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Hai cung chứa góc α nói hai cung trịn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích Chọn đáp án C Câu 3: Cho tam giác ABC có BC cố định góc A 50° Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D A Một cung chứa góc 115° dựng đoạn BC B Một cung chứa góc 115° dựng đoạn AC C Hai cung chứa góc 115° dựng đoạn AB D Hai cung chứa góc 115° dựng đoạn BC Lời giải: Quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 115° dựng đoạn BC Chọn đáp án D Câu 4: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích giao điểm hai đường chéo hình thoi A Quỹ tích điểm O cung chứa góc 120° dựng AB B Quỹ tích điểm O nửa đường trịn đường kính AB, trừ hai điểm A B C Quỹ tích điểm O cung chứa góc 60° dựng AB D Quỹ tích điểm O cung chứa góc 30° dựng AB Lời giải: Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với trung điểm đường Suy AO ⊥ BO ⇒ Ta có = 90° = 90° không đổi mà cố định ⇒ Quỹ tích điểm O nửa đường trịn đường kính AB trừ hai điểm A B Chọn đáp án B Câu 5: Cho tứ giác ABCD có đường chéo vng góc với O.Biết điểm A B cố định, điểm C D di chuyển Tìm quỹ tích điểm O A Đường trịn đường kính AB B Đường trịn bán kính AB C Đường trịn bán kính AB/2 D Đường trịn đường kính 2AB Lời giải: Ta có: AC vng góc BD O nên: = 90° Suy ra: quỹ tích điểm O đường trịn đường kính A Chọn đáp án A Câu 6: Cho đoạn thẳng BC cố định Lấy điểm A cho tam giác ABC cân A Tìm quỹ tích điểm A? A Đường trịn tâm B bán kính BC B Đường trịn tâm C bán kính BC C Đường trung trực đoạn thẳng BC D Đường trịn đường kính BC Lời giải: Do tam giác ABC cân A nên AB = AC Suy ra, A thuộc đường trung trực đoạn thẳng B Chọn đáp án C Câu 7: Cho hai điểm B C cố định, lấy điểm A cho tam giác ABC vuông Gọi M N trung điểm BC A Tìm quỹ tích điểm N A Đường trịn đường kính MC B Đường trịn đường kính BC C Đường trịn đường kính BM D Đáp án khác Lời giải: Xét tam giác ABC có M N trung điểm BC AC nên MN đường trung bình tam giác AB Suy ra: MN// AB Lại có: AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC Suy ra: Vì B C cố định nên trung điểm M BC cố định Do đó, quỹ tích điểm N đường trịn đường kính MC Chọn đáp án A Câu 8: Cho hai điểm B C cố định Lấy A điểm cho tam giác ABC cân A Gọi H trực tâm tam giác AB C Tìm quỹ tích điểm H A Đường trịn đường kính BC B Đường trung trực đoạn thẳng BC C Đường trịn tâm B, bán kính BC D Đường trịn tâm C, bán kính BC Lời giải: Vì H trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC Lại có tam giác ABC tam giác cân A nên đường cao AH đồng thời đường trung trực Suy ra: H nằm đường trung trực đoạn thẳng BC Chọn đáp án B Câu 9: Cho tam giác ABC cân A, M điểm cạnh đáy BC Qua M kẻ đường thẳng song song với hai cạnh bên cắt hai cạnh D E Gọi N điểm đối xứng M qua DE Quỹ tích điểm N là: A Quỹ tích điểm N cung chứa góc dựng đoạn BC B Quỹ tích điểm N cung chứa góc C Quỹ tích điểm N cung chứa góc D Quỹ tích điểm N cung chứa góc 180o − Lời giải: dựng đoạn BC dựng đoạn BC dựng đoạn BC (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung BM) Tương tự, E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Suy N nhìn đoạn BC góc Nên quỹ tích điểm N cung chứa góc khơng đổi dựng đoạn BC Đáp án cần chọn là: A Câu 10: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = MB Quỹ tích điểm I là: A Quỹ tích điểm I cung chứa góc 45o dựng AB B Quỹ tích điểm I cung chứa góc ao dựng AB với tan a = C Quỹ tích điểm I cung chứa góc ao dựng AB với tan a = D Quỹ tích điểm I cung chứa góc 60o dựng AB với tan a = Lời giải: Tam giác AMB vuông M, ta có = 90o Mặt khác ta có Mà A, B cố định ⇒ Quỹ tích điểm I cung chứa góc ao dựng AB với tan a = Đáp án cần chọn là: D II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B tiếp điểm cát tuyến SCD với đường tròn Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm A, I, O, B, S thuộc đường trịn Lời giải: Vì SA tiếp tuyến đường tròn, A tiếp điểm nên SA vng góc với OA ⇒SAO^=90° Vì SB tiếp tuyến đường tròn, B tiếp điểm nên SB vng góc với OB ⇒SBO^=90° Vì I trung điểm CD nên OI vng góc với CD (tính chất) ⇒SOI^=90° Gọi trung điểm SO K Tam giác OAS vuông A với K trung điểm SO ⇒OK=KS=AK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông B với K trung điểm SO ⇒OK=KS=BK=12SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vuông I có K trung điểm SO ⇒OK=KS=IK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3) Từ (1); (2); (3) ⇒OK=KS=IK=AK=BK=12SO Hay điểm A, B, S, I, O cách điểm K Vậy điểm A, B, S, I, O nằm đường trịn (K) bán kính KS Câu 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Trên OA lấy điểm M cho OM = OB Trên OB lấy N cho ON = OA Chứng minh: điểm D, M, N, C thuộc đường tròn Lời giải: Xét tam giác OAB tam giác OMN có: AOB^ chung OA = ON OB = OM Do ΔAOB=ΔNOM (c – g – c) ⇒BAO^=MNO^ (hai góc tương ứng) (1) Mặt khác, ABCD hình thang nên AB // CD (giả thuyết) ⇒BAO^=DCO^ (hai góc so le trong) (2) Từ (1) (2) ⇒MNO^=DCO^ Hai góc nhìn cạnh MD Do hai điểm N, C nằm cung trịn dựng đoạn MD với góc DCO^ Câu 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, D^=70° Lời giải: Cách dựng hình: - Dựng đoạn CD = 3cm - Dựng góc CDx^=70° - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường trịn tâm C bán kính 4cm cắt Dx A - Dựng dây Ay song song với CD - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung trịn tâm D bán kính 4cm cắt Ay B - Nối B với C ta hình thang ABCD cần dựng Câu 4: Cho tam giác ABC, BC cố định, A^=50° Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D Lời giải: Xét tam giác ABC ta có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc tam giác) ⇒B^+C^=180°−50° ⇔B^+C^=130° Lại có: D giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC nên BD phân giác B^ ⇒DBC^=12B^ D giao điểm ba đường phân giác tam gác ABC nên CD phân giác C^ ⇒DCB^=12C^ Do đó: DBC^+DCB^=12B^+12C^ ⇔DBC^+DCB^=12B^+C^ ⇔DBC^+DCB^=12.130° ⇔DBC^+DCB^=65° Xét tam giác BCD có: BDC^+DBC^+DCB^=180° ⇔BDC^+65°=180° ⇔BDC^=180°−65° ⇔BDC^=115° Do BC cố định nên quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 115°dựng đoạn BC Câu 5: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm di động đường tròn Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác BCD vng cân C Tìm quỹ tích điểm D Lời giải: Phần thuận: Ta có: ACB^ góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ACB^=90° Lại có: DCB^ (do tam giác BCD vng cân C) Do đó: ACB^+DCB^=180° => A, C, D thẳng hàng ⇒ADB^=CDB^=45° (do tam giác BCD vng cân) Vì AB cố định nên D nằm cung chứa góc 45°dựng đoạn AB Dựng đường thẳng vng góc với AB A, đường thẳng giao với cung chứa góc 45°dựng đoạn AB I Nếu C≡A⇒D≡I Phần đảo: Lấy điểm D’ cung chứa góc 45° dựng đoạn Ab (D’ thuộc cung IB) Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) C’ Ta chứng minh tam giác BCD’ vuông cân C’ Ta có: AC'B^=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên BC'D'^=90° (kề bù với góc AC'B^) mà C'D'B^=45°do tam giác BC’D’ vng cân C’ Vậy quỹ tích điểm D cung BI cung chứa góc 45°dựng đoạn AB Câu 6: Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho DABC vuông cân C Lời giải: Do C thuộc tia phân giác Oz góc vng xOy - Phần đảo: Lấy điểm C thuộc tia C’z Vẽ đường thẳng vng góc CA C cắt tia Oy B Xét ∆CAH vng H ∆CBK vng K có: CH = CK CAH^=CBK^ Nên DCAH = DCBK (cạnh góc vng – góc nhọn kề) Suy CA = CB (hai cạnh tương ứng) Do DABC vng cân C - Kết luận: Tập hợp điểm C tia C’z tia phân giác Oz góc xOy Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định cạnh CD chuyển động đường thẳng d song song với AB Gọi I trung điểm CD Tia AI cắt BC N Tìm quỹ tích điểm N CD thay đổi đường thẳng d Lời giải: - Phần thuận: Gọi khoảng cánh đường thẳng AB đường thẳng d h không đổi Vì ABCD hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD Suy IDA^=ICN^ (hai góc so le trong) Xét ∆IAD ∆INC có: AID^=CIN^ (đối đỉnh) ID = IC (vì I trung điểm CD) IDA^=ICN^ (cmt) Do DIAD = DINC (g.c.g) Suy CN = AD (hai cạnh tương ứng) Mà AD = BC (vì tứ giác ABCD hình bình hành) Do CN = AD = BC Kẻ NH⊥AB, NH cắt đường thẳng d K ∆NBH có CB = CN CK // BH nên suy KH = KN ... Một cung chứa góc 115° dựng đoạn BC B Một cung chứa góc 115° dựng đoạn AC C Hai cung chứa góc 115° dựng đoạn AB D Hai cung chứa góc 115° dựng đoạn BC Lời giải: Quỹ tích điểm D hai cung chứa góc. .. Quỹ tích điểm N cung chứa góc C Quỹ tích điểm N cung chứa góc D Quỹ tích điểm N cung chứa góc 180o − Lời giải: dựng đoạn BC dựng đoạn BC dựng đoạn BC (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung BM) Tương... Quỹ tích điểm I cung chứa góc 45o dựng AB B Quỹ tích điểm I cung chứa góc ao dựng AB với tan a = C Quỹ tích điểm I cung chứa góc ao dựng AB với tan a = D Quỹ tích điểm I cung chứa góc 60o dựng AB