C u n D s Toán 11 A Lý t u ết I Địn ng ĩa 1 Địn ng ĩa d s Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu u ℕ* → ℝ n ↦ u(n) Người ta thường[.]
C u n D s - Toán 11 A Lý t u ết I Địn ng ĩa Địn ng ĩa d s Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: ℕ* → ℝ n ↦ u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un, , Trong đó, un = u(n) viết tắt (un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số - Ví dụ 1: a) Dãy số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u1 = 2, số hạng tổng quát un = 2n b) Dãy số tự nhiên chia hết cho 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u = 5, số hạng tổng quát un = 5n Địn ng ĩa d s ữu ạn - Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, , m} với gọi dãy số hữu hạn - Dạng khai triển u1, u2, u3,…, um, u1 s cu i - Ví dụ ạng ầu, um s ạng a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = 19 b) 1, 12, 13, 14, 15, 16 dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = 16 II Các c o d D s s c o công t ức s ạng tổng quát - Ví dụ a) Cho dãy số (un) với un = n2 (1) Từ cơng thức (1), ta xác định số hạng dãy số Chẳng hạn, u10 = 102 = 100 Nếu viết dãy số dạng khai triển ta được: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n2,… b) Dãy số (un) với un = (−1)nn có dạng khai triển là: −1, 12, −13, 14, −15, 16, , (−1)nn, D s c o p ương p áp mô tả Ví dụ Số số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Nếu lập dãy số (un) với un giá trị gần thiếu số với sai số tuyệt đối 10n thì: u1 = 1,4 ; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142,… Đó dãy số cho phương pháp mô tả, cách viết số hạng liên tiếp dãy D s c o p ương p áp tru ồi Cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước - Ví dụ Dãy số (un) xác định sau: u1= 1; u2= 2un =2un−1+ 3un−2 (n≥3) Dãy số dãy số cho phương pháp truy hồi III Biểu diễn ìn ọc d s Vì dãy số hàm số nên ta biểu diễn dãy số đồ thị Khi mặt phẳng tọa độ, dãy số biểu diễn điểm có tọa độ (n ; un) Ví dụ 6: Dãy số (un) với un=n+1n có biểu diễn hình học sau: IV D D s tăng, d s tăng, d - Địn ng ĩa 1: s giảm d s giảm s bị c ặn Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un +1 > un với n∈ℕ* Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un +1 < un với n∈ℕ* - Ví dụ Dãy số (un) với un = – 2n dãy số giảm Thật vậy, với n∈ℕ* xét hiệu un +1 – un Ta có: un +1 – un = – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – < Do un +1 – un < nên un +1 < un với n∈ℕ* Vậy dãy số cho dãy số giảm - Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn dãy số (un) với un = (– 1)n tức dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng không giảm D s bị c ặn - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho: un ≤ M, ∀n ∈ℕ* - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho: un ≥ m, ∀n ∈ℕ* - Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m; M cho: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ℕ* - Ví dụ Dãy số (un) với un = 1n bị chặn < un ≤ B Bài tập I Bài tập trắc ng iệm Bài 1: Cho hai cấp số cộng (un): 4, 7, 10, 13, 16, (vn):1, 6, 11, 16, 21, Hỏi 100 số hạng cấp số cộng , có số hạng chung? A.10 B 20 C 30 D 40 Lời giải: Ứng với 20 giá trị t cho 20 giá trị n 20 giá trị k Vậy có 20 số hạng chung hai dãy Chọn đáp án B Bài 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: a Tính số hạng thứ 100 cấp số ; A - 243 B - 295 C - 231 D - 294 b Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; A - 244 B - 274 C - 253 D - 285 Lời giải: Chọn đáp án B Chọn đáp án D Bài 3: Ba số hạng liên tiếp cấp số cộng có tổng -9 tổng bình phương chúng 29 Tìm số hạng A -3 – B – -2 C -1 -5 D -4 - Lời giải: Chọn đáp án B Bài 4: Cho tam giác ABC biết góc tam giác lập thành cấp số cộng có góc nhỏ 25° Tìm góc cịn lại? A 65° ; 90° B 75° ; 80° C 60° ; 95° D 55°; 100° Lời giải: Chọn đáp án C Bài 5: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? A a2 + c2 = 2ab + 2bc B a2 - c2 = 2ab - 2bc C a2 + c2 = 2ab - 2bc D a2 - c2 = ab - bc Lời giải: Chọn đáp án B Bài 6: Tìm x để số : - x; x2 ; x + theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A Khơng có giá trị x B x = ± C x = ± D x = Lời giải: Chọn đáp án B Bài 7: Dãy số (un) có phải cấp số cộng không ? Nếu phải xác định số công sai d, biết rẳng a un = 2n + A d = -2 B d = C d = D d = b un = -3n + A d = -2 B d = C d = -3 D d = c un = n2 + A d = Ø B d = C d = -3 D d = d un = 2/n A d = Ø B d = 1/2 C d = -3 D d = Lời giải: Bài 8: Cho cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu số hạng cuối 24 Tính tổng số hạng A 105 B 27 C 108 D 111 Lời giải: Chọn đáp án C Bài 9: Cho cấp số cộng có u1 = -3; u6 = 27 Tìm d ? A d = B d = C d = D d = Lời giải: Chọn đáp án C Bài 10: Cho số lập thành cấp số cộng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tổng lập phương chúng : A 22 B 166 C 1752 D 1408 Lời giải: Chọn đáp án D II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có: u1 = -0,1; d = 0,1 Số hạng thứ cấp số cộng là: Lời giải: Bài 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa: a Xác định công thức tổng quát cấp số b Tính S = u1 + u4 + u7 + + u2011 Lời giải: Bài 3: Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72 Tính u1 ? Lời giải: Bài 4: Cho dãy số (un) có u1 = -1; d = 2; Sn = 483 Tính số số hạng cấp số cộng? Lời giải: Bài 5: Bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Tính tổng hai số hạng đầu tiên? Lời giải: Bài 6: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? Lời giải: Bài 7: Tìm x biết x2 + 1, x - 2, - 3x lập thành cấp số cộng ; Lời giải: Bài 8: Tìm m để phương trình x3 - 3x2 - 9x + m = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải: Bài 9: Phương trình x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + = (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải: ... 8: Cho cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu số hạng cuối 24 Tính tổng số hạng A 105 B 27 C 108 D 111 Lời giải: Chọn đáp án C Bài 9: Cho cấp số cộng có u1 = -3; u6 = 27 Tìm d ? A d = B d = C d =... B Bài tập I Bài tập trắc ng iệm Bài 1: Cho hai cấp số cộng (un): 4, 7, 10, 13, 16, (vn):1, 6, 11, 16, 21, Hỏi 100 số hạng cấp số cộng , có số hạng chung? A.10 B 20 C 30 D 40 Lời giải: Ứng với... Cho cấp số cộng (un) thỏa: a Xác định công thức tổng quát cấp số b Tính S = u1 + u4 + u7 + + u2 011 Lời giải: Bài 3: Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72 Tính u1 ? Lời giải: Bài 4: Cho dãy số (un)