CHỦ ĐỀ 12: CUNG CHỨA GÓC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Cung chứa góc * Nếu điểm (ví dụ M, N, P) nằm phía đoạn thẳng · · · AB nhìn AB góc AMB ANB APB ta nói điểm thuộc cung chứa góc � dựng đoạn AB 2/ Bài tốn quỹ tích * Để chứng minh điểm M chạy cung trịn cố định (Tìm quỹ tích điểm M) Bước 1: Dự đoán điểm M chạy cung tròn dựng đoạn thẳng Cố Định Bước 2: Xem đoạn cố định (ví dụ đoạn AB) dây cung đường tròn biết, từ · góc nội tiếp có số đo khơng đổi chắn cung AB Hoặc tìm điểm N cố định với ANB có số đo khơng đổi · Bước 3: Chứng minh AMB số đo góc khơng đổi => Điểm M thuộc cung chứa góc khơng đổi dựng đoạn AB * Để hoàn thiện Tốn tìm quỹ tích điểm ta cần chứng minh phần thuận phần đảo + Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H + Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T + Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất T hình H B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho ΔABC có cạnh BC cố định ∠A = α khơng đổi (0o < α < 180o) Tìm quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp ΔABC Hướng dẫn giải * Phần thuận: Vì I tâm đường trịn nội tiếp ΔABC nên BI phân giác ∠B => ∠IBC = 1/2∠ABC CI phân giác ∠ACB, đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90o - α Trong ΔBCI có ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90o - 1/2 α) = 90o + 1/2 α => Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 90o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90 o + 1/2 α dừng đoạn thẳng BC (trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) * Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α nói Vẽ tia Bx Cy cho BI’ tia phân giác ∠CBy CI’ tia phân giác góc ∠BCx Hai tia By Cx cắt A’ Vì I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dựng đoạn BC nên: ∠BI'C = 90o + 1/2 α Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180o - ∠BIC = 90o - 1/2α Vì BI’ phân giác ∠A'BC CI’ phân giác ∠A'CB => ∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180o - α Mặt khác I’ giao điểm tia phân giác ∠A'BC ∠A'CB => I’ tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC * Kết luận: Quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC cung chứa góc 90 o + 1/2 α dựng đoạn BC Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm A cố định nằm đường tròn Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) hai điểm M N Tìm quỹ tích trung điểm I MN Hướng dẫn giải * Phần thuận: Vì I trung điểm dây MN suy OI ⊥ MN => ∠OIA = 90o Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định góc 90 o nên I nằm đường trịn đường kính OA * Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc đường trịn đường kính OA Nối AI’ cắt đường trịn (O) M’ N’ Vì I’ thuộc đường trịn đường kính OA nên ∠OI'A = 90o hay OI' ⊥ M'N' => I’ trung điểm M’N’ (theo quan hệ đường kính dây cung) * Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trịn đường kính OA Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60o trung tuyến AM = 5cm Hướng dẫn giải * Phân tích: Giả sử dựng ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Vì ∠BAC = 60o => A thuộc cung trịn chứa góc 60o dựng đoạn BC Lại có: AM = 5cm => A thuộc đường trịn tâm M, bán kính 5cm * Cách dựng: Dựng đoạn thẳng BC = 8cm Xác định trung điểm M BC Dựng cung chứa góc 60o đoạn thẳng BC Dựng đường trịn tâm M, bán kính 5cm Gọi giao điểm cung chứa góc đường trịn (M, 5cm) A A’ Ta có hai tam giác ABC A’BC thỏa mãn đề * Chứng minh: Vì A thuộc cung chứa góc 60o dựng đoạn BC nên ∠A = 60o Lại có: A thuộc đường trịn (M, 5cm) nên AM = 5cm BC = 8cm theo cách dựng * Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có C điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC Lấy điểm N thuộc đoạn AM cho AN = MB Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D điểm thuộc Ax cho AD = AB a) Chứng minh ΔMNC vuông cân b) Chứng minh DN ⊥ AM c) Tìm quỹ tích điểm N Hướng dẫn giải a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c) Do đó: CN = CM Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 90o = 45o Từ (1) (2) suy ΔMNC vuông cân C b) Xét ΔAND ΔBMA có: AD = AB ∠DAN = ∠ABM AN = BM (gt) => ΔAND = ΔBMA (c-g-c) ∠AND = ∠BMA Mà ∠BMA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ∠AND = 90o hay DN ⊥AM c) Tìm quỹ tích điểm N * Phần thuận: Vì ∠AND = 90o N nhìn đoạn AD cố định góc 90o => N thuộc đường trịn đường kính AD Giới hạn: Nếu M ≡ A N ≡ C, M ≡ C N ≡ A quỹ tích điểm N cung nhỏ AN đường trịn đường kính AD (cung thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng Ax có chứa nửa đường tròn (O)) * Phần đảo: Học sinh tự chứng minh II/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính ( M thuộc cung AN ) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K · a) Tính MIN ·AKB b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn ? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , C điểm cung AB M điểm chuyển động cung CB Gọi H hình chiếu C AM Các tia OH BM cắt I Tìm quỹ tích điểm I Bài 3:Cho đường trịn (O) có đường kính AB cố định Một điểm C chạy đường tròn Kẻ CD vng góc với AB Trên OC đặt đoạn OM = CD Tìm quỹ tích điểm M Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , M điểm chuyển động nửa đường trịn Vẽ hình vng BMDC tam giác AMB Tiếp tuyến B nửa đường tròn cắt CD E a) Chứng minh AB = BE b) Tìm quỹ tích điểm C Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác M ,N tiếp điểm cạnh AC , BC Gọi H giao điểm AI MN Chứng minh điểm H thuộc đường trịn đường kính BI Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc D cắt đường thẳng AB , BC theo thứ tự I , K Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK Chứng minh : a) OB IK b) Điểm O nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định , M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = 2MB Tìm tập hợp điểm I M chạy đường tròn (O) ... đoạn thẳng BC cố định góc 90o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90 o + 1/2 α dừng đoạn thẳng BC (trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) * Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α nói Vẽ... Dựng cung chứa góc 60o đoạn thẳng BC Dựng đường trịn tâm M, bán kính 5cm Gọi giao điểm cung chứa góc đường trịn (M, 5cm) A A’ Ta có hai tam giác ABC A’BC thỏa mãn đề * Chứng minh: Vì A thuộc cung. .. tuyến AM = 5cm Hướng dẫn giải * Phân tích: Giả sử dựng ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Vì ∠BAC = 60o => A thuộc cung trịn chứa góc 60o dựng đoạn BC Lại có: AM = 5cm => A thuộc đường trịn tâm M, bán kính