Hh9 chủ đề 16 cung chứa góc ( 1 buổi )

HH9-CHỦ ĐỀ 16.CUNG CHỨA GÓC ( BUỔI ) A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quỹ tích cung chứa góc  o - Với đoạn thẳng AB góc     180  cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB  hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Chú ý: Hai cung chứa góc α nói hai cung trịn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α - Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB - Vẽ tia Ax tạo với AB góc α - Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d - Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc α Cách giải tốn quỹ tích - Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Từ đến kết luận quỹ tích điểm M có tính chất T hình H B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quỹ tích cung chứa góc α Phương pháp giải Thực theo bước sau Phần thuận: Bước 1.Tìm đoạn thẳng cố định góc  tạo thành Bước Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc  vẽ đoạn thẳng cố định Bước Tìm giới hạn quỹ tích điểm Phần đảo: Trang Câu 1:Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI  MB Tìm tập hợp điểm I nói Lời giải Phần thuận: Xét MBI , ta có tan I  MB   I 33o 41' MI Điểm I nhìn đoạn AB cố định góc 33o 41' , nên điểm I nằm hai cung chứa góc 33o 41' dựng đoạn thẳng AB Khi điểm M  A , cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến A1 AA2 Khi điểm I trùng với A1 A2 Vậy điểm I thuộc hai cung A1mB A2 mB Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung A1mB A2 mB Nối IA cắt đường trịn đường kính AB điểm M Ta phải chứng minh MI  MB Thật vậy, xét tam giác vng MBI,ta có MB tan I tan 33o 41'   MI  MB MI Kết luận: Quỹ tích điểm I hai cung A1mB A2 mB chứa góc 33o 41' dựng đoạn thẳng AB ( A1 A2  AB A) Câu 2: Cho ABC vuông A, có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi Lời giải Trang Phần thuận: o     C  180o  B  C 180o  90 135o Xét BIC có BIC 180o  B 1 2   Vậy điểm I nằm cung chứa góc 135o dựng đoạn BC phía với điểm A bờ đường thẳng BC (trừ hai điểm B C) Phần đảo: Lấy điểm I cung chứa góc 135o dựng đoạn BC (I không trùng với B C, I A phía đường thẳng BC) Vẽ tia Bx cho tia BI tia phân giác góc CBx Vẽ tia Cy cho tia CI tia phân giác góc BCy Hai tia Bx Cy cắt A Ta phải chứng minh tam giác ABC vuông A Thật vậy, xét ABC ta có       C  180o  B  C  BAC 180o  B 1 o  Xét tam giác BIC có BIC 135o (vì I nằm cung chứa góc 135 vẽ đoạn thẳng BC)  C  180o  135o 45o Suy B 1  Do BAC 90o Kết luận: Quỹ tích điểm I cung chứa góc 135o thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC vẽ đoạn thẳng BC (trừ hai điểm B C) Câu 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm chuyển động nửa đường tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AD = BC Tìm tập hợp điểm D Lời giải Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến Ax nửa đường trịn đường kính AB, tia Ax nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, tia Ax lấy điểm E cho AE  AB  E cố định Xét ABC EAD có  , AD BC AE  AB, A1 B Do BAC AED  c.g c  Trang   EDA  ACB 90o  D thuộc nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax Phần đảo: Lấy điểm D thuộc nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax, AD cắt đường trịn đường kính AB C Ta cần chứng minh AD = BC     90o EAD D  90o Thật vậy, xét ABC C  có  AE  AB, ABC EAD Do ABC EAD (cạnh huyền – góc nhọn)  BC  AD Kết luận: Vậy tập hợp điểm D nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa bờ mặt phẳng chứa tia Ax có chứa điểm A, B Câu 4: Cho ABC vng A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A Lời giải Phần thuận: Gọi K trung điểm BC IK đường trung bình hình thang vng MNCB Suy KI  MN  AIK 90o Vậy điểm I nằm đường trịn đường kính AK Tuy nhiên, điểm M di động tới điểm B điểm N di động tới điểm A, trung điểm I MN di động tới trung điểm D AB Nếu điểm M di động tới điểm A điểm N di động tới điểm C, trung điểm I MN di động tới trung điểm E AC  Vậy điểm I thuộc cung DAE đường tròn đường kính AK Phần đảo:  Lấy điểm I cung DAE Vẽ đường thẳng AI cắt nửa đường trịn đường kính AB AC M N Ta phải chứng minh IM = IN Thật vậy, AIK 90o ; AMB 90o ; ANC 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BM // KI // CN (cùng vng góc với MN) Do KB KC  IM IN  Kết luận: Quỹ tích điểm I cung DAE đường trịn đường kính AK Trang Câu 5: Cho tứ giác ABCD có đỉnh thuộc đường trịn Trong cạnh CD cố định số đo cung CD 120° A, B chuyển động cung lớn CD có độ dài khơng đổi R AD cắt BC kéo dài E Tìm quỹ tích điểm E Lời giải a) Phần thuận    sd AB (góc có đỉnh bên ngồi  sdCD AD BC kéo dài cắt E (giả thiết) nên CED   đường tròn)  120 (giả thiết) Mà sđ CD  Tam giác AOB cạnh R nên sđ AB  AOB 60  CED 30 Mặt khác CD cố định (giả thiết) nên A, B chuyển động cung lớn CD E di động cung chứa góc 30° dựng đoạn CD thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa O b) Phần đảo Lấy điểm E’ thuộc cung chứa góc 30° dựng đoạn CD thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa O  D 30 Giả sử E’C, E’D cắt (O) điểm thứ hai B’, A’ CE  D  sdCD   sd A  B   30  120  sd A  B   sd A  B  60 Mà CE 2     Mặt khác tam giác A’OB’ cân O nên A’OB’ đều, từ AB  OA  R (đpcm) c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm E A, B chuyển động cung lớn CD cung chứa góc 30° dựng đoạn CD thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa O Câu 6:Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nửa đường trịn Trên bán kính OC lấy điểm D cho OD khoảng cách CH từ C đến AB Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho Lời giải Trang a) Phần thuận Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường trịn đường kính AB P O cố định, đường trịn đường kính AB cố định suy P cố định Nối PD Ta có: OP // CH (vì hai đường thẳng vng góc với AB) Xét ∆OCH ∆OPD có: OD CH (giả thiết); OP OC (bán kính);   (so le trong) POD OCH Suy ∆DOP = ∆HCO (c.g.c)     mà CHO  ODP CHO 90 nên ODP 90 Khi C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB D thay đổi tạo với điểm O, P cố định góc 90° Vậy D chuyển động đường trịn đường kính OP b) Phần đảo Lấy điểm D’ đường trịn đường kính OP Kẻ OD’cắt nửa đường trịn đường kính AB C’, kẻ C’H’ vng góc với AB Ta phải chứng minh OD  C H   H O  PD  O 90 ; OC  OP (bán kính); Nối PD’: Xét ∆C’H’O ∆PD’O có: C  OP OC  H  (so le trong) suy ∆C’H’O = ∆PD’O (cạnh huyền, góc nhọn) Do C H  OD  D c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm D C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OP Câu 7: Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định C điểm nửa đường tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD CB Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho Lời giải a) Phần thuận Trang Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  Suy ra: BCD 90 ; CD CB (giả thiết)  ∆BCD vuông cân C   CDB 45 hay ADB 45 AB cố định, C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB D chuyển động cung chứa góc 45° dựng đoạn thẳng AB cố định Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C nửa đường trịn đường kính AB - Dây AC lớn đường kính đường trịn Khi C trùng với B D trùng với B Vậy B điểm quỹ tích - Dây AC nhỏ có độ dài nhỏ C trùng với A, D trùng với B’ giao điểm tiếp tuyến đường trịn đường kính AB A với cung chứa góc 45° vẽ AB b) Phần đảo Lấy điểm D’ tùy ý cung BB’, nối AD’cắt đường tròn đường kính AB C’ Nối BC’, B’D’ Ta có: AD B 45 (vì D’ nằm cung chứa góc 45° vẽ AB) Trong đường trịn đường kính AB ta có AC B 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  D  90  BC Suy tam giác BC’D’ vuông cân C’  C B C D    nằm Vậy quỹ tích điểm D C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB cung BB cung chứa góc 45° vẽ đoạn AB, nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn Phương pháp giải Chứng minh điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ AB nhìn AB góc Câu Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A 60o Gọi H giao điểm đường cao BB’ CC’ Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Hướng dẫn giải  C  120o ABC có A 60o  B  C  B  Xét BIC có BIC 180o  180o  60o 120o Ta có   ' HC ' 360o  HC  ' A  HB  'A B  ' AC ' BHC B 360o  90o  90o  60o 120o   Lại có BOC 2 BAC 2.60o 120o Trang Suy điểm I, H, O nằm cung chứa góc 120o dựng đoạn thẳng BC Do năm điểm I, H, O, B, C thuộc đường tròn Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có A  90o Đường tròn (A;AB) cắt đường thẳng BC E Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB K Chứng minh A, D, C, K, E thuộc đường trịn Lời giải Lời giải Ta có ABE cân A, CBK cân C  Lại có ABE CBK đường tròn   nên EAB KCB  A; C ; E ; K thuộc (1)   Mặt khác DAB DCB   Suy DAE KCD Từ ta có DAE KCD  c.g c        , mà EDA  EDA CKD DEC  CKD DEC  C ; D; E ; K thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy A, D, C, K, E thuộc đường tròn qua E, K, A Câu 3: Cho ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường tròn, từ suy BE  CE Lời giải  B  (hai góc nội tiếp chắn cung IN  ), a) Ta có D 2  B  (giả thiết) B  B  Do D Hai điểm D B nhìn đoạn AE cặp góc nên B D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE Suy A, B, D, E thuộc đường trịn(P)  N  (hai góc nội tiếp chắn cung BI  ); b) Ta có D 1 Trang   N  (hai góc đồng vị) C 1  C  Do D 1 Hai điểm C D nhìn đoạn AB góc nên C D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB Suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn (Q) Hai đường trịn (P) (Q) có ba điểm chung A, B, D nên chúng trùng Do năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn   Suy BEC BAC 90o Vây BE  CE Dạng 3: Dựng cung chứa góc Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước 1: Dựng đoạn thẳng có độ dài cạnh cho Bước 2: Dựng cung chứa góc  đoạn thẳng Bước 3: Dựng tiếp điều kiện lại kết luận Câu Dựng cung chứa góc 55o đoạn thẳng AB = cm Lời giải Hướng dẫn giải Cách dựng - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm  - Dựng góc xAB 55o - Dựng tia Ay  Ax - Dựng đường trung trực d đoạn thẳng AB - d cắt Ay O - Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA AmB cung chứa góc 55o cần dựng Chứng minh O thuộc đường trung trục AB  OA OB Trang  B   O; OA  Ax  AO  Ax tiếp tuyến (O;OA)  góc tạo tiếp tuyến Ax dây AB  BAx Lấy M  AmB  AMB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB   BAx  AMB 55o o  AmB cung chứa góc 55 dựng đoạn AB=3cm Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Câu Dựng ABC , biết BC 6cm, A 40o đường cao AH = 4cm Lời giải Cách dựng - Dựng đoạn thẳng BC = 6cm Lấy D trung điểm BC - Dựng cung chứa góc 40o đoạn thẳng BC  + Dựng tia Bx cho CBx 40o + Dựng tia By  Bx + Dựng đường trung trực BC cắt By O + Dựng đường trịn (O;B) + Cung lớn BC cung chứa góc 40o dựng đoạn BC - Dựng đường thẳng d song song với BC cách BC đoạn 4cm + Trên đường trung trực BC lấy điểm D’ cho DD’ = 4cm + Dựng đường thẳng d qua D’ vng góc với DD’ - Đường thẳng d cắt cung lớn BC A, ta ABC cần dựng Chứng minh Theo cách dựng ta có BC = 6cm  A thuộc cung chứa góc 40o dựng đoạn BC  BAC 40o A  d song song với BC cách BC 4cm  AH DD ' 4cm Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Do d cắt cung lớn BC hai điểm nên tốn có hai nghiệm hình Trang 10 Câu 3: Dựng ABC biết BC 4cm; đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm Lời giải Cách dựng - Dựng nửa đường trịn đường kính BC = 4cm - Dựng đường tròn (B; 3cm) (C; 3,5cm) cắt nửa đường tròn đường kính BC D E - Các đường thẳng BE CD cắt A ta ABC tam giác phải dựng Chứng minh  Ta có BC 4cm, D   B;3cm   BD 3  cm  BDC 90o hay BD  CD Tương tự E   C ;3,5cm   CE 3,5cm EC  EB Ta lại có A BE  CD Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu toán Kết luận Bài toán có nghiệm hình ABC -HẾT Trang 11