Hh9 chủ đề 24 cực trị hình ( 2 buổi )

HH9-CHỦ ĐỀ 24.CỰC TRỊ HÌNH ( BUỔI ) Bài Cho đường trịn tâm O, bán kính R Từ điểm M ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO N, H giao điểm MO AB 1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: MN NF.NA MN NH HB EF  1 HF MF 3) Chứng minh: (Trích đề thi vào 10, Hải Dương, Năm học 2017 - 2018) LỜI GIẢI 1)     MAO  MBO 90  MAO  MBO 180 Mà hai góc đối nên tứ giác MAOB nội tiếp 2) Chỉ MNF ∽ ANM (g.g) suy MN NF.NA Chỉ NFH ∽ AFH (g.g) suy NH NF.NA 2 Vậy MN NH suy MN NH Có MA  MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R Suy MO đường trung trực AB, nên AH  MO HA  HB Xét hai tam giác MAF MEA có: AME   AEF chung, MAF MA MF   MA2  MF ME  MAF ∽  MEA ME MA nên (g.g), suy Áp dụng hệ thức lượng vào  vng MAO, có: MA  MH MO ME Do đó: ME MF MH MO hay MH Suy MFH ∽ MOE ,  MO MF MHF MEO   O nên E, O, B thẳng hàng  Vì BAE góc vng nội tiếp ỉ » ÷ · · · · ỗ FEB = FAB = sd EBữ ị MHF = FAB ỗ ữ ỗ ố ứ Suy Nờn ·ANH + NHF · · · = 90°Þ HF ^ NA = ANH + FAB Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng NHA, có: NH = NF.NA Þ NM = NH Þ NM = NH 3) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, có: HA2 = FA.NA HF = FA.FN HB HA2 FA.NA NA = = = 2 HA = HB HF HF FA FN NF , Mà nên suy HB = AF.AN (vì HA = HB ) EF FA = AE / / MN Vì nên MF NF (hệ định lí Thales) HB EF NA FA NF = = =1 HF MF NF NF NF Nên suy (đpcm) Bài Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác Kéo dài AM cắt BC P, BM cắt AC Q, CM cắt AB K Chứng minh MA MB MC ³ MP MQ MK (Trích đề thi vào 10 , Tỉnh Thái Bình, Năm học 2017 - 2018) LỜI GIẢI Đặt a = SD MBC ; b = SDMAC ; c = SDMAB Ta có: MA b + c bc MB a + b ab = ³ , = ³ , MP a a MQ c c MC a + c ac = ³ MK b b MA MB MC ³ MP MQ MK Suy Þ MA MB MC ³ MP MQ MK Dấu “=” xảy M trọng tâm tam giác ABC Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R) Gọi I giao điểm AC BD Kẻ IH vng góc với AB; IK vng góc với AD ( H Ỵ AB; K Ỵ AD ) 1) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh IA.IC = IB.ID 3) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng 4) Gọi S diện tích tam giác ABD, S’ diện tích tam giác HIK Chứng minh rằng: S ¢ HK £ S AI (Trích đề thi vào 10, Tỉnh Phú Thọ, năm học 2017 - 2018) LỜI GIẢI 1) Tứ giác AHIK có: · AHI = 90°( IH ^ AB ) , · AKI = 90°( IK ^ AD) · + AKI · = 180° Þ AHI Do tứ giác AHIK nội tiếp 2) Xét D IAD D IBC có: µ = Bµ ( O) ) A (2 góc nội tiếp chắn cung DC · = BIC · AID (2 góc đối đỉnh), suy D IAD ∽ D IBC (g.g) IA ID = Þ IA.IC = IB.ID IB IC 3) Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHIK có Mà µ1 =H µ1 A (2 góc nội tiếp chắn cung IK) µ = Bµ Aµ = Bà ị H Chng minh tng t, ta c µ µ1=D µ1 K µ µ µ Xét D HIK D BCD có: H1 = B1 ; K1 = D1 nên D HIK ∽ D BCD (g.g) 4) Gọi S1 diện tích D BCD Vì D HIK ∽ D BCD nên: S ¢ HK HK HK HK = = £ = S1 BD IB.ID IA.IC ( IB + ID ) Vẽ AE ^ BD, CF ^ BD Þ AE / / CF Þ (1) CF IC = AE IA D ABD D BCD có chung cạnh đáy BD nên: S1 CF S IC = Þ 1= S AE S IA (2) Từ (1) (2) suy S ¢ S1 HK IC S ¢ HK £ Û £ S1 S IA.IC IA S IA2 (đpcm) Bài Cho tam giác ABC vng tai A đường cao AH đường trịn tâm E đường kính BH cắt AB M (M khác B), đường trịn tâm F đường kính HC cắt AC N (N khác C) 1) Chứng minh AM AB = AN AC AN AC = MN 2) Gọi I trung điểm EF, O giao điểm AH MN Chứng minh IO vng góc với đường thẳng MN 3) Chứng minh ( EN + FM ) = BC + AH (Trích đề thi vào 10, Tỉnh Nam Định, Năm học 2017 - 2018) LỜI GIẢI 1) Ta có · · BMH = HNC = 90° (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy HM ^ AB, HN ^ AC Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng AHB AHC, có AH = AM AB AH = AN AC Þ AM AB = AN AC Mặt khác, tứ giác AMHN có ba góc vng nên hình chữ nhật AH = MN Þ AN AC = MN 2) Tứ giác AMHN hình chữ nhật, có O giao điểm AH MN Suy O trung điểm AH MN Khi D EMO = D EHO (c.c.c) · · Þ EMO = EHO = 90° Þ EM ^ MN Chứng minh tương tự ta có FN ^ MN Suy ME / / NF Þ MEFN hình thang vng Mà OI đường trung bình hình thang vng MEFN nên OI ^ MN ( E ) ( F) 3) Đặt MN = AH = h, x, y bán kính đường trịn ( EN + FM ) = é ME + MN ) +( ME + MN ) ù ( ê ú ë û Ta có = ( x + y + 2h ) BC + AH = ( HB + HC) + 6h = HB + HC + HB HC + 6h2 = x + y + 2h + h = ( x + y + 2h ) Vậy ( EN + FM ) = BC + AH Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm nửa đường tròn (C khác A B) Trên cung AC lấy điểm D (D khác A C) Gọi H hình chiếu vng góc C AB E giao điểm BD CH 1) Chứng minh ADEH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh · = HCB · ACO AB AC = AC AH + CB.CH 3) Trên đoạn OC lấy điểm M cho OM = CH Chứng minh C chạy nửa đường tròn cho M chạy đường cố định (Trích đề thi vào 10 TP Đà Nẵng, năm học 2017 - 2018) LỜI GIẢI 1) Ta có: · ADE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · AHE = 90° (do CH ^ AB ) Suy · · ADE + AHE = 180° suy ra, tứ giác ADEH nội tiếp 2) Ta có: · · ACO = CAO ( D OAC cân O) · = HCB · · ACO (cùng phụ CBH ) Suy ra: · = HCB · ACO Xét D ACB D CHB có: Suy D ACB ∽ D CHB Þ · = CHB · = 90° ABC · ACB , chung AC BC = Þ AC BH = CB.CH CH BH (*) Mà BH = AB - AH thay vào (*) ta được: AC AB = AC AH + CB.CH (đpcm) 3) Gọi K điểm cung AB (chứa điểm C) Suy OK ^ AB Þ OK / / HC Xét D OMK D CHO có: · · MOK = HCO (so le trong), OM = CH (giả thiết), OK = CO (cùng bán kính) Suy D OMK = D CHO (c.g.c) Suy Mà · · OMK = CHO (hai góc tương ứng nhau) · · CHO = 90°Þ OMK = 90° Vậy M chạy đường trịn đường kính OK cố định (đpcm) Bài Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn ( O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD ( O) , M khác C D MA cắt DB, DC theo thứ tự X, Z; MB cắt CA, CD Y, T; CX cắt DY K · · · · 1) Chứng minh rằng: MXT = TXC , MYZ = ZYD · CKD = 135° KX KY ZT + + =1 2) Chứng minh rằng: MX MY CD 3) Gọi I giao điểm MK CD Chứng minh XT, YZ, OI qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT LỜI GIẢI ( ) · ¼ + sd »AB = DTM · DXM = sd DM a) Ta có nên tứ giác DXTM nội tiếp Mà · · = 90° DMT = 90°Þ DXT Suy TX ^ BD , mà AC ^ BD Þ TX / / AC Do · · = XCA · = TXC · MXT = ZAC Tương tự, tứ giác MCYZ nội tiếp · · · · = MBD = BDY = ZYD Suy ZY / / BD nên MYZ Ta có tứ giác ADZY nội tiếp nên · = YAZ · = MDC · YDC Tương tự tứ giác BCTX nội tiếp nên Nên ·XCD = XBM · · = MCD · · D DMC = D DKC ( g.c.g ) Þ DKC = DMC = 135° Ta có ·XKD =180°- DKC · · = 45°= DMX nên tứ giác DXKM nội tiếp Mà DXTM nội tiếp nên điểm D, X, K, T, M nằm đường trịn tâm E đường kính DT Tương tự điểm Y, K, Z, M, C nằm đường trịn tâm F đường kính ZC suy XK XC = XZ XM XK XZ XZ DZ DZ = = = = XM XC XA BA DC Suy XK KY ZT DZ + CT + ZT YK CT = + + = =1 CD nên XM YM CD CD Tương tự YM c) Gọi H giao điểm XT YZ Ta chứng minh H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT Ta có · = HTZ · = 45°Þ HT = HZ HZT (1) Tứ giác KHZX nội tiếp, nên: · · · · HKZ = HXZ = HXK = HZH Þ HK = HZ (2) Từ (1) (2) suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT Gọi giao điểm XC YZ F Do · = 90° FKZ nên F, H, Z thẳng hàng Tương tự, gọi XT giao ID E Ta có E, H, T thẳng hàng HF D HEF ∽ D COD suy OC = EF HT FT = = CD OC CB FT IT HT IT = Þ = OC IC , mà Vì FT / / BC nên BC IC Nên suy D ITH ∽ D IOC · = OCI · = 45° HTI · = OCT · HTI , hay O, I, H thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, nội tiếp đường tròn ( O) Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C) P điểm cạnh BC cho · · BAM = PAC Trên tia AB, AC lấy điểm E, F cho BE = CF = BC 1) Chứng minh: D ABP ∽ DAMC MC AB + MB AC = MA.BC 2) Chứng minh MA + MB + MC = MB AE + MC AF BC 3) Xác định vị tri điểm N đường tròn ( O) để tổng NA + NB + NC lớn LỜI GIẢI