Hh9 chuyên đề 6 cực trị đẳng thức hình(183 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH VÀ ĐẲNG THỨC Bài tốn Sử dụng định lí pythagore để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Định lý Pythagore định lý đẹp hình học sơ cấp thể mối quan hệ độ dài cạnh tam giác vng Ta ứng dụng định lý Pythagore vào việc chứng minh quan hệ hình học, đặc biệt chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lý Pythagore Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ABC vng A  BC  AB  AC Chú ý: Nếu đặt BC a ; AC b ; AB c ta có a b  c Định lý Pythagore đảo Nếu tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn BC  AB  AC tam giác ABC vuông đỉnh A Chú ý Để vận dụng có hiệu định lý Pythagore, cần trang bị số kiến thức sau: a) Các đẳng thức học đại số:  a  b a  2ab  b  a  b a  2ab  b a  b  a  b   a  b  b) Tính chất hình học: Hai đoạn thẳng song song chắn hai đường thẳng song song chúng c) Tính chất hình học: Nếu ABC vng A  60 BC 2 AC B II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Gọi M trung điểm AB Kẻ MH vng góc với BC  H  BC  Chứng minh CH  BH  AC Lời giải Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông MCH MBH ta được: CH CM  MH  1 BH BM  MH  2 Trừ  1 cho   : CH  BH CM  BM | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ACM ý AM BM ta điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AB 12cm ; AC 18cm Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM 5cm Chứng minh rằng: AMB 2C Lời giải Áp dụng định lý Pythagore vào ta BM  AB  AM 122  52 169  BM 13cm Mặt khác AC 18cm ; AM 5cm nên MC 13cm Vậy tam giác BMC cân M Từ  MBC C Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có AMB MBC   C 2C Ví dụ Cho tam giác ABC, D điểm trong tam giác Gọi H, I, K hình chiếu D lên BC, CA, AB Chứng minh rằng: BH  CI  AK CH  AI  BK Lời giải Nối DA, DB, DC Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông BDH CDH ta được: DH BD  BH CD  CH Suy ra: BH  CH BD  CD  1 Tương tự ta có: CI  AI CD  AD AK  BK  AD  BD  2 ;  3 Cộng đẳng thức  1 ,    3 ta được: BH  CH  CI  AI  AK  BK 0 Từ đó: BH  CI  AK CH  AI  BK Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh AM  AB  AC BC  *  Lời giải Kẻ AH  BC  H  BC  Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABH, ACH AHM ta được: AB BH  AH  1 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2 AC CH  AH  2 Cộng vế đẳng thức  1   : 2 AB  AC BH  CH  AH  BM  HM    BM  HM   AH 2 HM  AH  Từ đó: AM  BC BC 2 AM  2 AB  AC BC  Chú ý: 1) Hệ thức  * cho phép tính độ dài đường trung tuyến tam giác thông qua độ dài cạnh tam giác Người ta gọi  * công thức trung tuyến 2) Nếu tam giác ABC vuông A, AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Để ý AB  AC BC , thay vào hệ thức  * ta được: AM  BC Từ AM  BC Ta có tính chất quen thuộc: Trong tam giác vng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền dài nửa cạnh huyền Ví dụ Cho tam giác ABC cân a A, có AB  AC b BC a Kẻ hai đường cao AH BK Chứng minh: a2 ; a) AH  b  b) BK  a  a4 4b Lời giải a a) Theo tính chất tam giác cân: BH CH  ; Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông H: a2 AB  AH  BH  AH  AB  BH b  2 2 2 a2 Vậy AH  b  b) Đặt KC x  AK b  x Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác AKB tam giác CKB ta có: BA2  AK BC  KC  BK   b   b  x  a  x  x  a2 2b Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BCK vng K, ta có | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH BC BK  KC  BK BC  CK a  Vậy BK  a  a4 4b a4 4b Ví dụ Chi hình vẽ có AB CD 2cm , DE 3cm , BC 1cm Chứng minh AE  32cm Lời giải Từ B kẻ đường thẳng song song với CD, từ D kẻ đường thẳng song song với BC, chúng cắt M Áp dụng tính chất hai đoạn thẳng song song bị chắn đường thẳng song song Ta có: BM CD 2cm MD BC 1cm Suy ra: AM EM 4cm Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AME vuông M, ta có AM  BM  AE  AE 42  42 32 Vậy AE  32cm Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh AB, BC, CA số tự nhiên liên tiếp Kẻ đường cao AH tam giác ABC Chứng minh HC  HB 4 Lời giải Theo đề ta có AC BC   AB  Suy AB  AC 2 BC Áp dụng định lý Pythagore vào hai tam giác vuông ABH ACH ta có HC  HB  AC  AB   AH    HC  HB   HC  HB   AC  AB   AC  AB    HC  HB  BC 2.2 BC  HC  HB 4 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Chứng minh: a) AH BH CH ; Lời giải b) AB BH BC a) Áp dụng định lý Pythagore cho ba tam giác vng ABH, AHC ABC, ta có: AB  AH  BH  1 AC  AH  HC  2 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2 BC  AB  AC  3 Cộng vế với vế ba đẳng thức trên: BC 2 AH  BH  HC 2   BH  CH  2 AH  BH  HC  BH  BH CH  HC 2 AH  BH  HC  BH CH  AH  4 b) Kết hợp đẳng thức   đẳng thức  1 ta AB BH CH  HB BH  CH  HB  BH BC Ví dụ Cho ABC vng A, đường cao AH Chứng minh 1   2 AB AC AH Lời giải Sử dụng kết ví dụ 8, ta có: AB BH BC AC CH BC Khi đó: 1 1 CH  BH     2 AB AC BH BC CH BC BC.BH CH 1 BC 1     2 AB AC BC.BH CH BH CH AH III BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH  H  BC  Chứng minh AH  BH  CH BC Bài Cho hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  mặt phẳng tọa độ Chứng minh: AB   x A  xB    y A  yB  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH Bài Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH, trung tuyến AM Biết AH 40cm ; AM 41cm Chứng minh AB 4 AC Bài Cho tam giác ABC vuông A,  30 Chứng minh BC 2 AB C Bài Cho tam giác ABC có A 135 Biết BC 2 ; AB  Chứng minh C 2 B Bài Cho tam giác ABC vuông A Một đường thẳng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh BC  CD BE  DE Bài Cho tam giác ABC có A 60 Chứng minh BC  AB  AC  AB AC Bài Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH vng góc với BC  H  BC  Trên tia đối tia  HA lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho BDE 90 Đường thẳng qua E song song với BC cắt AH F Chứng minh AF HD Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến BM CN Chứng minh rằng: BM  CN  5BC Bài 10 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN vng góc với Chứng minh 5BC  AB  AC Bài 11* Cho tam giác ABC vuông A I giao điểm đường phân giác E F hình chiếu vng góc A xuống BI CI Chứng minh AI 2 EF Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác Chứng minh AH  BC BH  AC CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Bài 13* Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A song song với MH đường thẳng qua H song song với MA cắt N Chứng minh AH  BC MN Bài 14* Cho tam giác ABC thoả mãn AC  AB BC 2  AC  AB  D điểm cạnh BC Chứng minh ABD 2 ADB BD 3CD Bài 15* Cho tam giác ABC nhọn có A 60 Chứng minh rằng: 1   BC  AC BC  AB AB  BC  CA Bài 16 Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi M điểm nằm cạnh BC Chứng minh MB  MC 2 MA2 Bài 17 Cho tam giác ABC, từ điểm M nằm tam giác, ta hạ đường vng góc MD  BC , ME  AB , MF  AC Chứng minh AE  BD  CF  AF  BE  CD IV HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (Bạn đọc tự vẽ hình) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHB AHC ta được: AB  AH  BH  1 ; AC  AH  CH  2 Cộng đẳng thức  1   ý BC  AB  AC ta điều phải chứng minh Bài Thấy tam giác ABH vuông H HA  y A  yB ; HB  x A  xB Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH cho ta điều phải chứng minh Bài Vì AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ABC nên theo nhận xét ví dụ ta có MA MB MC 41cm Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng AHM ta tính HM 9cm Từ tính HB 32cm ; HC 50cm Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng ABH ACH ta có: AB  AH  BH 402  322 2624 ; AC  AH  CH 402  502 4100 AB 2624 16 Suy   AC 4100 25 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH AB  hay AB 4 AC Vậy AC Bài Vì tam giác ABC vuông A,  30 nên C  60 B Lại có AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC nên MA MB MC Từ tam giác MAB Vậy AB MB  BC hay BC 2 AB Chú ý: Có thể chứng minh rằng: Một tam giác vng có cạnh góc vng dài nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng 30° Bài Vẽ đường cao CH tam giác ABC Ta có:  CHA 180  135 45  90 ; CAH  ACH có: H 45 Vậy ACH vng cân đỉnh H.  Áp dụng định lý Pythagore cho ACH ta có: HC HA 1 Tam giác CHB vng H ta có HC  BC nên  CBH 30 từ ta có điều phải chứng minh Bài Nối B với E; C với D Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC ADC ta có: BC  AB  AC  1 ; CD  AD  AC  2 Trừ  1 cho   ta BC  CD  AB  AD Tương tự áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ADE ABE ta BE  DE  AB  AD Vậy BC  CD BE  DE Bài Khơng tính tổng qt giả sử B  C Kẻ đường cao BH với H nằm cạnh AC Tam giác AHB vng H có ABH 30 nên AH  AB Theo định lý Pythagore ta có: BC BH  HC BC CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2 2 BH  HC  AB  AH   AC  AH   AB  AC  AC AH  AB  AC  AB AC Bài Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABE, ABH, AEF, BDE, BHD, BHA, BAE, EAF ta BE  AB  AE  BH  AH    AF  EF   1 Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BDE, BDH, DFE ta BE BD  DE  BH  HD    DF  EF   2 Từ  1   suy ra: AH  AF DF  HD  3 * Nếu AF  HD AH  DF , AH  AF  DF  HD * Nếu AF  HD AH  DF , AH  AF  DF  HD Vậy đẳng thức  3 xảy AF HD , từ ta có điều phải chứng minh Bài Cách 1: Sử dụng công thức trung tuyến Cách 2: Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABM CAN ta được: AC AB 2 ; CN  AC  BM  AB  4 2 Cộng đẳng thức lại để ý AB  AC BC , ta có điều phải chứng minh Bài 10 (Bạn đọc tự vẽ hình) Gọi G giao điểm BM CN, G trọng tâm tam giác Áp dụng công thức trung tuyến ta được: AB  BC AC AC  BC AB 2 ; CN  BM    4 3 Lại có BM  BG ; CN  CG , thay vào công thức ta được: AB  BC AC BG   4  1 AC  BC AB CG   4  2 Cộng đẳng thức  1 ,   ý tam giác BGC vng G, ta có điều phải chứng minh Bài 11 Nối AI Gọi O trung điểm AI .9 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | HH9-CHUYÊN ĐỀ 6.CỰC TRỊ HÌNH Các tam giác vng AFI AEI có FO EO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AI nên ta có OF OE  AI Vậy tam giác FOE cân O  C  B  Lại có BIC 180  135 Hay   EIA  135 FIA Do đó:   FAI  EAI       90  FIA  90  EIA    EIA  180  FIA   180  135 45 Có tam giác OAF OAE cân O, theo tính chất góc ngồi tam giác, ta có      EOI    EAI  FOE FOI 2 FAI 90 Vậy tam giác FOE vuông cân O Từ áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông cân FOE ta được: AI  2.OE  4.OE 2  OE  OF  2 EF Bài 12 Gọi I giao điểm CH AB Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHI, BHI, ACI, BCI ta suy ra: AH  AI BH  BI  1 AC  AI BC  BI  2 Trừ   cho  1 ta AC  AH BC  BH Từ đó: AH  BC BH  AC Chú ý: + Chứng minh trường hợp tam giác ABC tam giác tù Trong trường hợp tam giác ABC vng số điểm trùng kết + Bằng cách chứng minh tương tự suy ra: AH  BC BH  AC CH  AB Bài 13 Lấy D điểm đối xứng với H qua M Dễ dàng chứng minh BH //DC , BH DC từ suy DC  AC 10