Skkn phát triển khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề vận dụng bất đẳng thức côsi trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong q trình phát triển, xã hội ln đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính năm gần đây, chất lượng giáo dục đào tạo mối quan tâm lớn tồn xã hội Đảng Nhà nước có sách ưu tiên đầu tư cho giáo dục đổi nội dung, chương trình, sách giáo khoa, tăng cường trang thiết bị theo hướng chuẩn hóa, đại hóa.Việc đổi phương pháp dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng tạo bước chuyển biến mạnh mẽ, thu thành tựu to lớn, song cịn khơng khó khăn, thách thức Thực tế nhà trường cho thấy, phận học sinh ngại học tốn Ngun nhân nhiều song mơn học địi hỏi tính xác, hệ thống, khoa học, lơgic tư cao Cũng giáo viên chưa làm cho học sinh thấy hấp dẫn mơn học dạy cụ thể có xu hướng tăng lên, khiến dễ lơ dạy phương pháp Sự nhồi nhét khiến người học lực tự học, trở thành thụ động; điều kiện sở vật chất chưa đáp ứng yêu cầu đặt Những khó khăn gây cản trở hoạt động thân ảnh hưởng không tốt đến chất lượng giáo dục học sinh Trong đó, mục tiêu giáo dục xã hội đặt yêu cầu cấp thiết cần phải giải phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực cơng dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Với yêu cầu đặt cho giáo dục nước ta đứng trước đòi hỏi thách thức, nhiệm vụ to lớn là: “Tạo chuyển biến bản, mạnh mẽ chất lượng, hiệu giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày tốt công xây dựng, bảo vệ Tổ quốc nhu cầu học tập nhân dân Giáo dục người Việt Nam phát triển toàn diện phát huy tốt tiềm năng, khả sáng tạo cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt làm việc hiệu quả” (Trích Nghị số 29-NQ/TW Trung ương khóa XI) Để đáp ứng yêu cầu đặt xã hội cho nghiệp đào tạo người, vốn kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy mình, hàng năm người thầy, người cô phải tự rút kinh nghiệm, học nhằm bổ cứu cho năm học sau, với ham muốn vừa đáp ứng với yêu cầu mà Bộ đề ra, lại vừa làm thoả mãn lịng mong đợi học sinh Đó vừa trách nhiệm, vừa lương tâm nghề nghiệp kĩ sư tâm hồn Xuyên suốt trình học tốn, học sinh làm quen với bất đẳng thức từ sớm ln song hành với em cấp học Ở bậc tiểu học học sinh học bất đẳng thức dạng so sánh số tự nhiên đến so sánh phân số, bậc THCS em tiếp tục học bất đẳng thức dạng so sánh số nguyên, lũy thừa, số hữu tỷ biểu thức chứa biến, biến, biến Bất đẳng thức không xuất chương trình phổ thơng mà cịn thường xuyên xuất kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi cấp Trong giáo dục phổ thơng, tốn học mơn khoa học quan trọng đóng vai trị tảng, then chốt để phát triển môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ, skkn nói bất đẳng thức thành tố quan trọng để phát triển lực tư logic cho học sinh Trong thực tế, việc giải toán skkn Bất đẳng thức học sinh THCS khó khăn, đơi dẫn đến tình trạng em sợ loại tốn Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tư cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi tăng cường cho em ý thức lực, vận dụng cách thông minh điều học làm giảm bớt nỗi sợ hãi tăng thêm lòng tin cho học sinh gặp loại toán Qua thực tế giảng dạy trường qua kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinh giỏi cấp tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kỹ việc dùng bất đẳng thức Cơ-si để giải tốn chứng minh bất đẳng thức gải toán cực trị cần thiết Vì vậy, tơi chọn đề tài “ Phát triển khả tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức giải tốn cực trị ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Khi chọn hướng nghiên cứu đề tài “ Phát triển khả tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức giải tốn cực trị ”, với mục đích cung cấp cho học sinh đường nhanh dễ tiếp cận nội dung kiến thức, kĩ giải tốn vận dụng bất đẳng thức Cơ-si chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Trên sở chuyên đề giúp học sinh rèn luyện tri thức, phương pháp để em biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại kiến thức qn, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Đồng thời giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hố, tương tự, quy lạ quen Từ góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng mũi nhọn Đề tài cịn giúp cho thân nâng cao cơng tác tự học, tự bồi dưỡng để ngày nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Ngồi với mục đích để trao đổi với đồng nghiệp để bổ khuyết, xây dựng cho giải pháp hoàn thiện trình áp dụng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối với đề tài nghiên cứu dừng lại số vấn đề sau: - Nghiên cứu, tổng kết kinh nghiệm phương pháp giảng dạy phần lý thuyết - Phân loại phương pháp, hướng dẫn cách giải, cách khai thác tập áp dụng -Kỹ thuật tổ chức hoạt động học tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tôi thực đề tài với phương pháp nghiên cứu sau: - Nghiên cứu tài liệu để xây dựng cở sở lý thuyết: sở nghiên cứu nội dung chương trình mơn học, lựa chọn đơn vị kiến thức, nội dung học để xây dựng nội dung chuyên đề - Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin thực trạng vấn đề nghiên cứu - Thống kê, xử lí số liệu: Giáo viên thống kê số liệu chất lượng dạy học môn thông qua khảo sát trước sau áp dụng đề tài skkn - Phương pháp thực nghiệm: Trực tiếp giảng dạy chuyên đề cho 30 em học sinh khá, giỏi khối skkn NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để đáp ứng yêu cầu phát triển nghiệp phát triển giáo dục nhu cầu học học sinh, giảng dạy phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, nội dung kiến thức phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng để học sinh tự tìm cách giải phát triển tư tốn học Việc giảng dạy mơn Tốn nhà trường nhằm truyền thụ cho học sinh kiến thức toán học mà cịn vũ trang cho em cơng cụ sắc bén để nghiên cứu giới tự nhiên, mà nhiệm vụ, giải pháp Nghị Trung ương khóa XI đề “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực. ” (Trích Nghị số 29-NQ/TW Trung ương khóa XI) Khi học tốn học sinh thường thấy sợ từ dẫn đến ngại học nhắc tới bất đẳng thức toán cực trị lại phần quan trọng chương trình tốn THCS, có mặt nhiều mơn: Số học, Hình học, Đại số, Vật lý, Hóa học…Tuy nhiên để giải tốn có liên quan tới bất đẳng thức khơng nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp kết hợp với kỹ biến đổi suy luận, dự đoán, biết phát đặc điểm tốn …từ có hướng bài, dạng Với vai trò mơn học cơng cụ, mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy học để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập Đó câu hỏi mà thầy, giáo ln đặt cho Với ham muốn vừa đáp ứng với yêu cầu nhiệm vụ trên, lại vừa làm thoả mãn lòng mong đợi học sinh, tơi tìm tịi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm đề tài: “ Phát triển khả tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị ” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chương trình mơn Tốn bậc THCS rộng đa dạng, em lĩnh hội nhiều kiến thức Trong có nội dung kiến thức theo em suốt trình học tập bất đẳng thức Toán bất đẳng thức khó, chúng giải khơng hồn tồn dựa vào công thức Hơn tập sách giáo khoa chưa thể đủ phương pháp chứng minh học sinh thường thiếu tự tin lúng túng gặp phải dạng toán Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn chí nhiều em học sinh khá, giỏi ban đầu cần nhìn thấy đề chứng minh bất đẳng thức em khơng có thiện cảm hay nói khơng có hứng thú để giải, dẫn đến thực trạng em khơng đầu tư suy nghĩ có bỏ qua skkn Trong thực tế giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần lí thuyết mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tập nhiều dạng tương tự Kỹ phân tích tổng hợp học sinh chưa thành thạo, cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng bất đẳng thức chưa thạo, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại tốn Vì vậy, kết bồi dưỡng học sinh mũi nhọn chưa cao Tôi tiến hành khảo sát 30 học sinh lớp khá, giỏi chuyên đề bất đẳng thức kết sau: Tổng số HS Loại giỏi SL % Loại SL % Loại TB SL % Loại yếu SL % 3,3 20 15 50 26,7 30 Đây kết mà không suy nghĩ, trăn trở băn khoăn chất lượng bồi dưỡng mũi nhọn Tỉ lệ điểm giỏi chưa cao, tỉ lệ điểm trung bình, yếu cịn cao (76,7%) Chính nên tơi nghiên cứu tìm hiểu nhận thấy số nguyên nhân sau: * Đối với học sinh - Nhiều em chưa nắm định nghĩa, tính chất bất đẳng thức phương pháp chứng minh bất đẳng thức, chưa biết vận dụng tính chất để giải số dạng tốn có liên quan - Các em chưa học chuyên đề bất đẳng thức cách bản, mà dừng lại việc giải số - Một vài em đứng trước toán, em tìm lời giải tốn hài lịng với kết làm Khơng em biết cách phân tích tốn theo khía cạnh khác, khơng biết phát triển tốn cụ thể thành nhiều tốn khác, từ toán đơn giản sách giáo khoa phát triển thành tốn hay khó Chính kiến thức em chưa sâu, chưa có gắn kết, trí nhiều em kiến thức cịn hổng Qua kiểm tra tơi nhận thấy nhiều em cịn chưa biết cách chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán đơn giản * Đối với giáo viên - Khi dạy toán nhiều giáo viên dạy cho em giải toán cụ thể mà chưa dạy cho em phương pháp giải dạng tốn đó, tổng hợp dạng tốn chuyên đề - Nhiều giáo viên lựa chọn toán chưa phù hợp với khả em, chưa khêu gợi suy nghĩ, kích thích trí tị mị, lịng hăng say em - Giáo viên chưa trang bị cách hệ thống kiến thức thiết thực, làm tăng khả tư lơ gic rèn luyện tính sáng tạo cho em, giúp em có tác phong độc lập giải toán 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng skkn Trước thực sáng kiến lập kế hoạch chi tiết trình Ban giám hiệu Kế hoạch thể rõ: Mục tiêu, chương trình, sở vật chất, thiết bị dạy học, nội dung bồi dưỡng, lực lượng tham gia, tiêu, với thời gian tổng số tiết 14 tiết Trong lý thuyết tiết, thực hành tiết, kiểm tra tiết 2.3.2 Giảng dạy theo hướng tổ chức hoạt động học tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh - Chuyển giao nhiệm vụ học tập rõ ràng phù hợp với đối tượng học sinh, thể yêu cầu sản phẩm mà học sinh phải hoàn thành thực nhiệm vụ; hình thức giao nhiệm vụ sinh động, hấp dẫn kích thích hứng thú học tập học sinh - Thực nhiệm vụ: khuyến khích học sinh hợp tác với thực nhiệm vụ học tập; phát kịp thời khó khăn học sinh có biện pháp hỗ trợ kịp thời, hiệu - Báo cáo kết thảo luận: Hình thức báo cáo kết phải phù hợp với nội dung học tập, xử lí tình sư phạm nảy sinh cách hợp lí - Đánh giá kết thực nhiệm vụ học tập học sinh: Phân tích, nhận xét, đánh giá kết thực nhiệm vụ ý kiến thảo luận học sinh; xác hóa kiến thức mà học sinh thông qua hoạt động 2.3.3 Một số lưu ý thực hành Để học sinh có kỹ vận dụng linh hoạt, sáng tạo bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức giải toán cực trị, giáo viên cần: - Xây dựng phương pháp giải dạng tốn có vận dụng kiến thức bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức giải toán cực trị - Phân bậc dạng tập từ dễ đến khó hợp với q trình phát triển tư học sinh, tập trước có tiền đề gợi ý cho tập sau - Sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn (GV cho HS kiểm tra chéo từ củng cố kiến thức kĩ làm cho HS, sai lầm mà học sinh mắc phải ) - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán dành cho học sinh giỏi 2.3.4 Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết, xây dựng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị 2.3.4.1 Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết * Bất đẳng thức Cô-si: Cho a,b, c số không âm Khi đó: ; Tổng qt: Trung bình cộng n số không âm lớn trung bình nhân chúng hay Hay Đẳng thức xảy số (Nâng cao phát triển Toán 9-Tập 1) skkn - Một số dạng đặc biệt: Dạng (x,y 0) (x,y,z Dạng (x, y > 0) 0) (x, y,z > 0) x = y =z Đẳng thức xảy x=y * Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x) - Nếu với x thõa mãn ĐKXĐ f(x) mà f(x) M (M số) tồn x0 cho f(x0) = M, ta nói M giá trị lớn nhất(GTLN) biểu thức f(x), ký hiệu max f(x) = M (hoặc max f = M) - Nếu với x thõa mãn ĐKXĐ f(x) mà f(x) m (m số) tồn x0 cho f(x0) = m, ta nói m giá trị nhỏ nhất(GTNN) biểu thức f(x), ký hiệu f(x) = m (hoặc f = m) (Hướng dẫn ôn tập thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội) * Hướng dẫn học sinh quy tắc chung giải tốn sử dụng bất đẳng thức Cơ-si để chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị - Quy tắc song hành: Hầu hết bất đẳng thức có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giải nhanh - Quy tắc dấu bằng: Dấu bất đẳng thức quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi bất đẳng thức Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu - Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Học sinh thường mắc sai lầm áp dụng liên tiếp song hành bất đẳng thức không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành bất đẳng thức điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến - Quy tắc biên: Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên - Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức thường có tính đối xứng, vai trò biến bất đẳng thức dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều bất đẳng thức: “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại 2.3.4.2 Phương pháp ghép cặp bất đẳng thức Cơsi Trong nhiều tốn mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng phương pháp “Ghép cặp” để toán trở nên đơn giản Ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp phải hai dạng toán sau: skkn Dạng 1: Chứng minh X + Y + Z A + B + C Để giải tốn ta sử dụng cách sau: - Nếu ta chứng minh được: X + Y 2A , sau tương tự hóa để Y + Z 2B; Z + X 2C (Nhờ tính chất đối xứng tốn) Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có: X + Y + Z A + B + C - Nếu ta chứng minh X + A 2B (Nhờ tính chất đối xứng tốn).Sau tương tự hóa để Y + Z 2C; Z + X 2A Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X, Y, Z  Đối với dạng ta thường chứng minh cho XY  A2, sau tương tự hóa để YZ  B2 ; ZX  C2 , nhân ba bất đẳng thức vế theo vế lấy bậc hai, ta có: XYZ  ABC Chú ý số cách ghép đối xứng: Phép cộng : Phép nhân : Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 +y2 +z2 xy + yz + zx với x,y,z (Ví dụ 1a-Tr61-Hướng dẫn ơn thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Bài tốn có dạng X + Y + Z A+ B + C, ta hướng dẫn học sinh đưa dạng X + Y 2A, sau tương tự hóa để Y + Z 2B; Z + X 2C Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: (1); (2); (3) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta hay x2 +y2 +z2 x= y = z xy + yz + zx với x,y,z Dấu xảy Ví dụ Chứng minh : (Bài 394a-Nâng cao phát triển Tốn 8-Tập 2) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Bài tốn có dạng X + Y + Z A + B + C, đó: ; A = a, B = b, C = c Để ý hai biểu thức đối xứng với b (tức vai trò a c nhau) Do sử dụng kỹ thuật ghép cặp ta thử chứng minh Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: skkn +  2b 8 (1), (2) (3) Cộng vế với vê (1), (2) (3)  Dấu “ = ” xảy  a = b = c Để khắc sâu dạng toán giáo viên yêu cầu học sinh thực hành giải toán Ví dụ 3: Cho ABC, a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh : abc (Ví dụ 99-Nâng cao phát triển Tốn 8-Tập 2) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Để ý bất đẳng thức có dạng XYZ  ABC sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta cần chứng minh b2  (a + b – c)( b + c - a) Lời giải: Vì a,b,c số đo ba cạnh tam giác, nên: (b + c - a) > 0; (c +a - b) > 0; (a + b - c) > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng (x + y)2  4xy, ta có: b2 = c2 = a2 = Nhân vế với vế bất đẳng thức ta được: abc , dấu xảy a = b = c, tức ABC tam giác 2.3.4.3 Phương pháp đổi biến số bất đẳng thức Cô-si Trong bất đẳng thức, bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Kỹ thuật đổi biến cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng Ví dụ 1: Chứng minh nếu: a > 0, b > 0, c > (Bài 402b- 23 chuyên đề giải 1001bài tốn sơ cấp-NXB giáo dục) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Để đơn giản hóa đại lượng vế trái ta đặt: b + c = x, c + a = y, a + b = z Khi ta tìm a,b,c qua x,y,z, thay vào biểu thức vế trái toán trở nên đơn giản cách ghép cặp dạng Lời giải: Đặt : skkn Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: hay Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : VT Dấu “ = ” xảy  x = y = z  a = b = c Ví dụ 2: Cho ABC, a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh rằng: Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Vì a,b,c số đo ba cạnh tam giác, nên: (b + c - a) > 0; (c +a - b) > 0; (a + b - c) > Tương tự ví dụ 1, để đơn giản hóa đại lượng vế trái cách đặt tối ưu là: (b + c – a) = x, (c +a – b) = y, (a + b – c) = z Từ ta rút a,b,c theo x,y,z: , thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta bất đẳng thức tương đương dễ dàng áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh Lời giải: Đặt : Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho vế trái Ta có : VT Hay Dấu “=” xảy a = b = c 2.3.4.4 Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện Nội dung phương pháp thể hiện: - Các biến có vai trị nên q trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ ngun tính bình đẳng chúng - Các biểu thức có vai trị bình đẳng nên tìm cách biến đổi biểu thức áp dụng tương tự cho toàn thể - So sánh bậc vế trái bậc vế phải để xét xem có cần phải thêm bớt vào số hạng có bậc thấp cao số để sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta thu bậc cần thiết - Hết sức ý điều kiện để dấu xảy ra, điều kiện giúp ích nhiều q trình tìm tịi hướng giải Ví dụ 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn x.y.z = Chứng minh rằng: skkn 10 Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: - Ta thấy biến, biểu thức có vai trị nhau; - Ngồi ra, theo giả thiết, ta có x.y.z = 1 = (x.y.z)r vế phải số, hiểu nên ta biến đổi vế trái thành tích lũy thừa bậc x, y, z - Ta biến đổi sau: Tương tự: ; Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương 1, x3, y3 ta có: Chứng minh tương tự ta có: ; Do đó: Dấu “ = ” xảy x = y = z = Nhận xét: Với hướng giải ta xây dựng thành tốn tổng quát sau: Cho số dương a1, a2, ,an thỏa mãn a1 a2 an = Chứng minh rằng: với Ví dụ 2: Cho a, b, c, d số thực dương thõa mãn a + b + c + d = Chứng minh rằng: Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: - Các biến biểu thức có vai trị nên q trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ ngun tính bình đẳng chúng, biến đổi biểu thức áp dụng tương tự cho toàn thể - Bậc vế trái 1, vế phải số hạng tự Do giả thiết a + b + c + d = nên với số k ta có: k(a + b + c + d) = k skkn 11 - Nhận xét đẳng thức xảy ra, nên ta xem xét việc thêm bớt vào số hạng bậc cho rút gọn mẫu số giá trị biểu thức dấu xảy Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số Ta có: + Tương tự ta có: + b (2) ; + + a (1) + c (3) ; + d (4) Từ (1), (2), (3) (4) + + + + + + + + + ( + + + )+( ( + + + )+ ( + + + )+ a+b+c+d + ) 1 ( + + + ) 2.3.4.5 Phương pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân từ trung bình nhân sang trung bình cộng a) Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cô-si theo chiều từ phía trái sang phía phải Ví dụ 1: Cho ba số thực a,b,c Chứng minh rằng: (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) 8a2b2c2 Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xảy a = b = c Trong bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái có đại lượng a2 + b2, b2 + c2, c2 + a2 vế phải 8a2b2c2 = 2ab.2bc.2ca Như đến hướng giải tốn từ trung bình cộng sang trung bình nhân: a2 + b2 2ab, b2 + c2 2bc, c2 + a2 2ca Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng , ta có: , , Nhân vế với vế bất đẳng thức ta có: (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) = 8a2b2c2 Dấu “ =” xảy a = b = c Nhận xét: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều (kết bất đẳng thức chiều) vế không âm skkn 12 - Nói chung ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Ví dụ 2: Cho a, b ≥ thoả mãn : Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤ Dấu xảy ? ( Đề thi HSG lớp năm học 2015-2016 - PGD&ĐT Hậu Lộc) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a = b Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức hay Vế phải có đại lượng ,vế trái , ta cần biến đổi vế trái dạng Ta thấy a = b (a + b)2 = 4ab Vậy ta chuyển đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số a + b Lời giải: nên: ab(a + b)2 ≤ Do giả thiết a, b ≥ 0; 64ab(a + b)2 ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng 64.ab(a + b)2 ≤ , ta có: Dấu “ = ” xảy a = b = Ví dụ 3: Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Đối với tốn dạng thường đánh giá mẫu cách sử dụng bất đẳng thức phụ: Để có bất đẳng thức phụ ta thực đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân sau: , Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta có: Suy ra: Từ ta có: Chứng minh tương tự ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: skkn 13 Dấu “ =” xảy a = b = c b) Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng đánh giá bất đẳng thức Cơ-si theo chiều từ phía phải sang phía trái Trong chuỗi đánh giá ta cần phải bảo tồn dấu đẳng thức xẩy Dưới số ví dụ sử dụng phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (1) (Bài 102-Nâng cao phát triển Toán 9-Tập 1) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: - Ta phải xác định đẳng thức xảy a = b = c - Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số, số nào? Nhìn vào bất đẳng thức ban đầu ta khơng thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si mà cần phải biến đổi bất đẳng thức Đến ta áp dụng đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng số ; Lời giải : Chia hai vế bất đẳng thức (1) cho , ta có : (1)  Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 2: Cho a,b,c ba số thực dương thõa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: - Do vai trò a, b,c biểu thức nên ta dự đoán điểm rơi a = b=c= - Ta có , từ ta có a + b = b + c = c + a = , Đến ta áp dụng đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng số (a + b) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm dạng skkn 14 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: Dấu xảy a = b = c = 2.3.4.6 Phương pháp thêm bớt Nếu phương pháp trên, ta rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngồi tốn phương pháp thêm bớt địi hỏi phải có nhìn bao quát để sử dụng yếu tố bên ngồi để giải vấn đề Ví dụ 1: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: (Bài 396b-Nâng cao phát triển Toán 8-Tập 2) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Với bất đẳng thức ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức phụ khác, xử dụng phương pháp ghép đối xứng Tuy nhiên, ta để ý vế trái có hạng tử cịn vế phải có đại lượng a + b + c Như ta cần triệt tiêu mẫu hạng tử bên trái Vậy, ta thêm a + b + c vào vế phải ghép cặp Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 2: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: (Bài 396c-Nâng cao phát triển Toán 8-Tập 2) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Tương tự tập ta cần triệt tiêu mẫu (b + c); (c + a); (a + b), nên ta thêm cho lượng Nhẩm với k = phù hợp, hạng tử lại tương tự Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: skkn 15 + + + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: + + + Hay + + a+b+c Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 3: Cho a,b,c số thực dương thõa mãn abc = Chứng minh rằng: Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Tương tự toán dễ dàng nhận thấy dấu xảy a = b= c = Để khử mẫu b(c + 2) ta phải thêm lượng Nhẩm ta thấy với m = 3, n = phù hợp Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: + + a+b+c Mặt khác theo bất đẳng thức Cơsi ta có : a + b + c Vậy , Dấu “=” xảy a = b = c = 2.3.4.7 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si tốn cực trị Nhận xét: Đối với toán cực trị, học sinh thường hay mắc sai lầm toán chứng minh bất đẳng thức tốn chứng minh bất đẳng thức học sinh coi vế mục tiêu để cố gắng biến đổi vế theo mục tiêu đó, ngồi đơi khơng cần xét đến điều kiện dấu xảy Cịn tốn cực trị học sinh khơng có mục tiêu để theo đuổi nhiều em mắc sai lầm không để ý đến điều kiện dấu “=” xảy ra, dấu xảy không thuộc điều kiện xác định skkn 16 Trong toán cực trị, tiêu chí quan trọng mà phải ln bám sát là: - Phải khử biến - Phải đảm bảo điều kiện cho dấu xảy thỏa mãn điều kiện xác định Như ta nhận thấy phương pháp để giải tốn cực trị dùng bất đẳng thức Cơ-si phương pháp khử biến Ở dạng toán giáo viên cần ý cho học sinh sai lầm thường gặp: * Sai lầm lập luận Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + y2 biết x + y = (Ví dụ 36 - Nâng cao phát triển Toán 9-Tập 1) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: A = x2 + y2 2xy, dấu xảy 2 x = y = Vậy giá trị nhỏ A = + = 8, x = y = Phân tích: Đáp số tốn khơng sai, điều kiện dấu “ =” xảy không sai, lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f(x,y) g(x,y) chưa khử biến, tức chưa chứng minh f(x,y) m với m số Lời giải: Ta có: x + y = x2 + 2xy + y2 16 (1) (x – y)2 x2 - 2xy + y2 (2) Từ (1) (2) 2(x2 + y2) 16 A = x2 + y2 Vậy giá trị nhỏ A 8, x = y = * Sai lầm tìm điều kiện xảy đẳng thức Ví dụ 2: Cho  x  Tìm giá trị lớn A  x1  x  Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng 2 (x,y 0), ta có 1  x   2x  1 x  1  A       Vậy Amax        Phân tích: x   2x x  Sai lầm chỗ theo cách áp dụng dấu xảy   không tồn x Lời giải: 1  x  1  x   Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: A  x1  x      2   1 Vậy Amax  Dấu “=” xảy  x   x  x   0;   2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = skkn 17 (Ví dụ Tr 64-Hướng dẫn ơn tập thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Phân tích tử thức ta thấy A= = , đó: = , đến bai toán trở nên đơn giản ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số Lời giải A= = Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số A= , ta có: Dấu “=” xảy Vậy A = 10, x = Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= ( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2014-2015) Lời giải: Với x, y, z số dương thỏa mãn xyz = ta đặt x = a3 , y = b3 , z = c3  abc = Khi ta có: x +y + = a3 + b3 + abc = (a + b)(a2 –ab + b2) + abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (a + b)(a2 –ab + b2) + abc (a+b)ab +abc = ab(a + b + c) Hay: x +y + ab(a + b + c) Chứng minh tương tự ta có: y + z + bc(a + b + c), z + x +1 ac(a + b + c) Do đó: Q = =1 Vậy GTNN Q a = b = c hay x = y = z = Ví dụ 4: Cho ba số thực dương x; y ; z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q= + + ( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2020-2021) Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Bài tốn có nhiều biến nên để đơn giản ta nghĩ đến phương pháp đổi biến , , từ giả thiết x + y + z = xyz =1 skkn ab + bc + ca 18 + 2.( a2 + b2 + c2), đến toán trở nên đơn giản Khi Q= nhờ áp dụng Bất đẳng thức Cơsi Lời giải: Ta có x + y + z = xyz Đặt  ;  ; dương x; y ; z nên a > 0; b > ;c > ab + bc + ca =1 ta có: + 2.( a2 + b2 + c2) Q= Áp dụng bất đẳng thức ba số thực ,ta có: =a+b+c Ta lại có: a2 + b2 2ab ; b2 + c2 2bc ; c2 + a2 2ca cộng vế với vế ta có 2(a2 + b2 + c2) 2.( ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2 2 Mà ( a+ b+ c) = a + b + c + 2ab +2bc + 2ac nên ( a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac ab + bc + ca +2ab +2bc + 2ac = 3ab +3bc +3ca = 3(ab + bc + ca ) a+b+c = Q= QMAX = + 2.( a2 + b2 + c2) a + b + c + 2.( ab + bc + ca) +2 dấu = xãy a = b = c = +2 x=y=z= 2.3.4.8 Bài tập tự luyện Bài 1: Chứng minh với b > ta có: + Bài 2: Cho a, b,c ba số thực thõa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: Bài 3: Cho a,b,c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Bài : Cho a, b số dương thoả mãn : a + b = Tìm giá trị nhỏ của: Bài 5: Cho x, y > thỏa mÃn x + y Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña P = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 2.4.1 Hiệu sáng kiến Với việc hướng dẫn học sinh tiếp thu cách hệ thống kiến thức liên quan đến tốn vận dụng bất đẳng thức Cơ-si chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị, với hệ thống tập trên, phân tích, gợi ý, hướng dẫn học sinh tìm lời giải, đồng thời mối quan hệ tập Tơi tác động tích cực đến học sinh Tôi nhận thấy so với trước áp ụng sáng kiến em có phương hướng, phương pháp biết skkn 19 phân tích tổng hợp, quy lạ quen, tự tin mà em cịn có kĩ thành thạo việc giải tốn bất đẳng thức.Từ hình thành học sinh tính xác, hệ thống, khoa học, tư cao Đặc biệt sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy nhận thấy sáng kiến kinh nghiệm có tác động tích cực đến chất lượng giảng dạy giáo dục thân Tôi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm vào buổi sinh hoạt chuyên môn tổ KHTN đồng chí đồng nghiệp đánh giá cao, từ tơi nhận thấy sáng kiến có tác động tích cực đến phong trào giáo dục nhà trường 2.4.2 Kết cụ thể Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy học kỳ II năm học 2021 2022 tiến hành khảo sát 30 học sinh khối Kết thu sau: Tổng Loại giỏi Loại Loại TB Loại yếu-kém số HS SL % SL % SL % SL % 30 26,7 10 33,3 12 40 0 Như so với chưa áp dụng đề tài tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng cao (trên 50%), đặc biệt khơng cịn học sinh khơng biết làm, đạt điểm yếu, loại tốn này, đảm bảo mục tiêu nâng cao chất lượng mũi nhọn KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong năm học vừa qua thường xuyên nghiên cứu học hỏi tìm cách khai thác tốn theo nhiều khía cạnh khác nhau, tổng hợp dạng toán chuyên đề, nhằm làm cho học sinh tiếp thu kiến thức cách chặt chẽ không tẻ nhạt, không đơn điệu Các em thấy hứng thú, say mê học tập, tiết học trở nên sôi chất lượng nâng lên Qua thực tế giảng dạy nhận thấy em thảo luận sôi nổi, em đưa cách giải khác nhau, phát em đúng, sai, song người thầy phải biết trân trọng biết khích lệ kịp thời giúp em có tự tin học tập sống Để phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh thơng qua q trình dạy học tốn điều quan trọng người thầy phải tập cho học sinh có thói quen tìm tòi, nghiên cứu lật lật lại vấn đề, phát điểm mấu chốt toán Tuy nhiên cách tiến hành giáo viên phải nhẹ nhàng, khơng gị bó mức độ phải phù hợp với học sinh Trên vấn đề mà thân đúc kết qua nhiều năm giảng dạy chương trình tốn Chắc chắn đề tài khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong góp ý chân thành thầy, đồng nghiệp để thân có kinh nghiệm quý báu áp dụng trình giảng dạy tốt 3.2 Kiến nghị Công tác viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm có tác dụng tích cực đến phong trào giáo dục nhà trường địa phương Do đề nghị skkn 20 Phịng Giáo dục Đào tạo, Sở Giáo dục Đào tạo tiếp tục tổ chức buổi học tập chuyên đề trao đổi chuyên môn Cung cấp phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên tham khảo học hỏi Hậu Lộc, ngày 19 tháng năm 2022 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NgườiNgười thực viết Bùi Tuấn Long skkn ... đẳng thức gải tốn cực trị cần thiết Vì vậy, chọn đề tài “ Phát triển khả tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cơ-si chứng minh bất đẳng thức giải. .. tốn cực trị ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Khi chọn hướng nghiên cứu đề tài “ Phát triển khả tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cơ-si chứng minh bất. .. duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị ” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm