Tìm hiểu một số vấn đề về cực trị hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÌM HIỂU MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC NGUYỄN THỊ MƠ AN GIANG, 05 - 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÌM HIỂU MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC NGUYỄN THỊ MƠ DTO180371 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 05 - 2022 Khóa luận "Tìm hiểu số vấn đề cực trị hình học" sinh viên Nguyễn Thị Mơ thực hướng dẫn TS Lê Ngọc Quỳnh Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo thông qua ngày / / Thư ký Phản biện Phản biện Cán hướng dẫn Chủ tịch Hội đồng LỜI CẢM TẠ Trước hết, em xin cảm ơn quý Thầy Cô trường tạo điều kiện cho em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Bộ mơn Tốn q Thầy Cơ Khoa sư phạm dạy dỗ, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho em bốn năm học vừa qua Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến cô hướng dẫn em, TS Lê Ngọc Quỳnh, em vô biết ơn tận tình giúp đỡ, động viên, theo sát em q trình em thực khóa luận Trong thời gian làm khóa luận, kiến thức kinh nghiệm thân chưa nhiều nên tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý dẫn q Thầy Cơ Cuối cùng, em xin chúc quý Thầy Cô dồi sức khỏe, thành công công việc sống Em xin chân thành cảm ơn! Long Xuyên, ngày 20 tháng 05 năm 2022 Người thực Nguyễn Thị Mơ LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa công bố cơng trình khác Long Xun, ngày 20 tháng 05 năm 2022 Người thực Nguyễn Thị Mơ MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức hình học phẳng 1.1.1 Các hệ thức lượng tam giác 1.1.2 Các công thức lượng giác 1.1.3 Một số kiến thức hình học tọa độ phẳng 1.2 Một số kiến thức hình học khơng gian 1.2.1 Các kiến thức hình học khơng gian 1.2.2 Một số kiến thức hình học tọa độ không gian 21 1.3 Các bất đẳng thức đại số 26 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 26 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schawrs 26 1.4 Bất đẳng thức phụ 27 1.4.1 Định lí 27 Chương Một số phương pháp tìm cực trị tốn hình học 28 2.1 Một số phương pháp tìm cực trị tốn hình học 28 2.1.1 Sử dụng phương pháp vectơ 28 2.1.2 Sử dụng phương pháp tọa độ 29 2.1.3 Sử dụng phương pháp đại số 31 2.1.4 Sử dụng phương pháp hình học tổng hợp 32 2.2 Một số dạng tốn cực trị hình học 34 2.2.1 Bài toán cực trị tam giác 34 2.2.2 Bài tốn cực trị hình học tọa độ phẳng 52 2.2.3 Bài tốn cực trị hình học không gian 64 i 2.2.4 Bài toán cực trị hình học tọa độ khơng gian 87 2.3 Bài tập đề nghị 95 Chương Ứng dụng phần mềm Maple để giải số toán cực trị hình học 103 3.1 Mở đầu 103 3.2 Sử dụng phần mềm Maple để giải tốn cực trị hình học 104 3.3 Kết luận 108 Tài liệu tham khảo 110 ii DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian 13 1.2 Góc hai mặt phẳng khơng gian 14 1.3 Góc đường thẳng mặt phẳng không gian 14 1.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 15 1.5 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 15 1.6 Khoảng cách hai đường thẳng song song 1.7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 16 1.8 Khoảng cách hai mặt phẳng song song 17 1.9 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 17 16 1.10 Khối lăng trụ 18 1.11 Khối hộp chữ nhật 18 1.12 Khối lập phương 18 1.13 Khối chóp 19 1.14 Khối tứ diện 19 1.15 Hình nón 20 1.16 Hình trụ 20 1.17 Hình cầu 21 2.1 Hình minh họa ví dụ 2.1 29 2.2 Hình minh họa ví dụ 2.2 30 2.3 Hình minh họa ví dụ 2.3 31 2.4 Hình minh họa ví dụ 2.4 33 2.5 Hình minh họa toán 2.2.2 35 2.6 Hình minh họa tốn 2.2.3 37 2.7 Hình minh họa tốn 2.2.4 39 2.8 Hình minh họa toán 2.2.5 41 2.9 Hình minh họa toán 2.2.7 44 2.10 Hình minh họa tốn 2.2.11 52 iii 2.11 Hình minh họa tốn 2.2.12.a 54 2.12 Hình minh họa toán 2.2.12.b 55 2.13 Bảng biến thiên hàm f (a) 55 2.14 Hình minh họa tốn 2.2.16 58 2.15 Hình minh họa toán 2.2.17 59 2.16 Hình minh họa toán 2.2.17 cách 60 2.17 Hình minh họa tốn 2.2.18 60 2.18 Bảng biến thiên độ lớn đường cao IH 62 2.19 Hình minh họa tốn 2.2.19 62 2.20 Hình minh họa toán 2.2.20 64 2.21 Hình minh họa tốn 2.2.21 65 2.22 Hình minh họa tốn 2.2.22 67 2.23 Hình minh họa toán 2.2.23 69 2.24 Hình phụ tam giác SHM 70 2.25 Hình minh họa tốn 2.2.24 72 2.26 Bảng biến thiên hàm f (x) 74 2.27 Hình minh họa toán 2.2.25 75 2.28 Hình minh họa toán 2.2.26 77 2.29 Hình minh họa tốn 2.2.27 78 2.30 Bảng biến thiên thể tích hình nón 80 2.31 Hình minh họa tốn 2.2.28 81 2.32 Hình minh họa tốn 2.2.28.c 82 2.33 Hình minh họa toán 2.2.29 84 2.34 Bảng biến thiên 85 2.35 Hình minh họa toán 2.2.30 86 2.36 Bảng biến thiên thể tích hình chóp 87 2.37 Hình minh họa toán 2.2.32 88 2.38 Hình minh họa tốn 2.2.33 89 iv 2.39 Hình minh họa tốn 2.2.34 90 2.40 Hình minh họa tốn 2.2.37 93 2.41 Hình minh họa toán 2.2.38 94 2.42 Hình minh họa tập 2.3.1 96 2.43 Hình lăng trụ minh họa tập 2.3.8 98 3.1 Hình minh họa toán 104 3.2 Hình minh họa toán 107 v , , y2 z2 z2 x2 x2 y2 VTPT (α) (2) Phương trình tổng qt mặt phẳng • Phương trình tổng quát mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, − → n = (A; B; C) VTPT A2 + B + C 6= - D = (α) qua gốc tọa độ - C = 0, D 6= : (α) song song trục Oz - C = D = 0: (α) chứa trục Oz - B = C = 0, D 6= 0: (α) song song mặt phẳng (Oyz) - B = C = D = 0: (α) mặt phẳng (α) ( Qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) • Mặt phẳng (α) : có phương trình là: − VTPT → n = (A; B; C) (α) = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = (3) Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng Mặt phẳng (α) cắt Ox A(a; 0; 0), cắt Oy B(0; b; 0), cắt Oz C(0; 0; c) có phương trình: x y z + + = 1, abc 6= a b c (4) Góc hai mặt phẳng Cho (α) : Ax + By + Cz + D = (α0 ) : A0 x + B y + C z + D0 = 0, gọi ϕ góc (α) (α0 ), ta có: cos ϕ = √ |AA0 + BB + CC | √ A2 + B + C A02 + B 02 + C 02 (5) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 23 Cho (α) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ), ta có: d(M0 , (α)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C (6) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho (α) : Ax + By + Cz + D = (α0 ) : A0 x + B y + C z + D0 = 0, đó: B C D A • (α)//(α0 ) ⇔ = = 6= A B C D A B C D • (α) ≡ (α0 ) ⇔ = = = A B C D A B B C C A • (α) ∩ (α0 ) ⇔ 6= hay 6= hay 6= A B B C C A 1.2.2.3 Phương trình đường thẳng (1) Phương trình đoạn thẳng → − − − Cho đường thẳng d qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP → u = (a; b; c), → u 6= thì:    x = x0 + at • Phương trình tham số d : y = y0 + bt   z = z0 + ct , t ∈ R x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c (2) Vị trí tương đối hai đường thẳng ( ( QuaM QuaM00 0 Cho hai đường thẳng d d cho d : d : − − VTCP → u VTCP → u0 đó: −−−−→ − − • d d0 chéo ⇔ [→ u ,→ u ] M M 6= • Phương trình tắc d : 0 −−−−→ − − • d d0 đồng phẳng ⇔ [→ u ,→ u ] M0 M00 =  −−−−→0 → − → −  [ u , u ] M0 M0 =   • d d0 cắt ⇔ h →  − → −i  −  → u , u0 6=  → − → − → −  [ u , u ] =   • d // d ⇔ h −−−−→ →  −i  −  → u , M0 M00 6= 24 , • d ≡ d0 ⇔  → − → − → −0    [u, u ]= h −−−−→ →  −i  −  → u , M0 M0 = (3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ( QuaM0 Cho d : (α) : Ax + By + Cz + D = có VTPT − VTCP → u → − → − − n = (A; B; C), → n 6= , đó: • d ∩ (α) ⇔ Aa + Bb + Cc 6= ( Aa + Bb + Cc 6= • d//(α) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= ( Aa + Bb + Cc 6= • d ⊂ (α) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = − − − − • d⊥(α) ⇔ → u //→ n ⇔ [→ u ,→ n ] = (4) Góc hai đường thẳng → − − − Cho đường thẳng d có VTCP → u = (a; b; c), → u 6= d0 có VTCP → − u = (a0 ; b0 ; c0 ), gọi ϕ góc d d0 thì: |aa0 + bb0 + cc0 | √ cos ϕ = √ (0 ≤ ϕ ≤ 90◦ ) 2 02 02 02 a +b +c a +b +c (5) Góc đường thẳng mặt phẳng − Cho đường thẳng d có VTCP → u = (a; b; c) mặt phẳng (α) có VTPT → − n = (A; B; C), gọi ϕ góc d (α) thì: sin ϕ = √ |aA + bB + cC| √ a2 + b2 + c2 A2 + B + C (6) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ( Qua M0 Cho điểm M1 đường thẳng ∆ : − VTCP → u h −−−−→i