Một số bài toán cực trị hình học trong các đề thi học sinh giỏi phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QCH THỊ TẤM MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Cấu trúc luận văn 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài tốn cực trị hình học 1.1.1 Bài toán cực trị hình học 1.2 Một số hướng giải tốn cực trị hình học 1.2.1 Sử dụng phương pháp véctơ 1.2.2 Sử dụng phương pháp tọa độ 1.2.3 Sử dụng phương pháp đại số 1.2.4 Sử dụng phương pháp hình học tổng 3 3 3 3 hợp MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 2.1 Các tốn cực trị hình học liên quan đến tính chất hình học phẳng 2.2 Các toán cực trị hình học liên quan đến tam giác 2.3 Các tốn cực trị hình học liên quan đến đường trịn 2.4 Các tốn cực trị hình học liên quan đến hình học giải tích 2.5 Các tốn cực trị hình học không gian 17 28 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 53 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT nói chung, dạng tốn dành cho học sinh giỏi nói riêng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, đặc biệt tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến hình học tốn thú vị tương đối khó địi hỏi học sinh khơng có hệ thống kiến thức mà cịn phải có kỹ giải tốn mức độ định Hiện nay, có số tài liệu toán dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi đề cập đến toán cực trị hình học chưa có tài liệu chun khảo viết chủ đề Với mong muốn nghiên cứu, sưu tầm số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến hình học để trực tiếp sử dụng công tác giảng dạy ngày bồi dưỡng học sinh giỏi, chọn chủ đề tốn cực trị hình học đề thi học sinh giỏi phổ thông để làm hướng nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ (1) Sưu tầm số tốn cực trị liên quan đến hình học đề thi học sinh giỏi toán quốc tế, quốc gia tạp chí Tốn học tuổi trẻ; (2) Nghiên cứu lời giải để đưa gợi ý hướng giải toán cực trị thường gặp; (3) Đưa lời giải đưa lời giải chi tiết số tốn mà tài liệu gốc chưa có lời giải có lời giải tóm tắt 0.2 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm quan niệm toán cực trị hình học số hướng giải tốn cực trị hình học thường gặp chương trình THPT; - Chương 2: Một số tốn cực trị hình học S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Nội dung chương trình bày tốn cực trị hình học đề thi học sinh giỏi quốc tế, quốc gia tạp chí Toán học tuổi trẻ em cố gắng phân loại cách tương đối Do hạn chế mặt thời gian, lực thân nên dạng tốn trình bày luận văn phần nhỏ, minh họa cho toán cực trị hình học Em mong nhận quan tâm, giúp đỡ Thầy, Cô để thân em hoàn thiện nội dung luận văn để tổ chức chun đề tốn cực trị hình học để bồi dưỡng học sinh cơng việc giảng dạy Sau em chân thành cảm ơn trường ĐHKH Thái Nguyên, khoa Toán - Tin, thầy giáo PGS.TS Trịnh Thanh Hải, thầy giáo bạn đẫ giúp đỡ em hồn thành luận văn Học viên Quách Thị Tấm S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Bài toán cực trị hình học Bài tốn cực trị hình học Trong tốn hình học, có loại tốn có nội dung sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhỏ Đó tốn cực trị hình học, hấp dẫn học sinh vấn đề đặt mang tính thực tiễn: Đi tìm lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, , tối ưu thường gặp đời sống kĩ thuật Đường lối tổng quát giải tốn cực trị hình học: Để tìm vị trí hình H miềm D cho biểu thức f có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất), ta phải thực bước sau: Bước Chứng tỏ với vị trí hình H miền D f ≥ m (hoặc f ≤ m), với m số Bước Xác định vị trí hình H miền D cho f = m 1.1.2 Ví dụ tốn cực trị hình học Ví dụ 1.1 (Đề thi IMC, THCS, 2015) E điểm nằm cạnh BC hình vng ABCD cho BE = 20cm CE = 28cm P điểm đường chéo BD Giá trị nhỏ độ dài PE + PC cm? S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 (Dựa theo Đề thi IMO) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Các điểm M, N, I theo thứ tự di động AA’, BC, C’D’ cho A’M=BN=C’I=a (0 ≤ a ≤ 1) 1) (α) mặt phẳng qua M, N, I Chứng minh (α) ln tự song song; 2) Tính d(A, (α)) (khoảng cách từ A đến (α)) theo a; 3) Tính diện tích tam giác MNI theo a xác định vị trí điểm M để diện tích nhỏ nhất; 4) Chứng minh trọng tâm G tam giác MNI thuộc đường thẳng cố định 1.2 Một số hướng giải tốn cực trị hình học 1.2.1 Sử dụng phương pháp véctơ Một số toán cực trị hình học giải gọn ta biết sử dụng cơng cụ vectơ thích hợp Ngồi kiến thức quen thuộc học bậc THPT tính chất, phép biến đổi vectơ, bất đẳng thức vectơ hệ thức vectơ tam giác , cần biết thêm khái niệm tính chất trọng tâm hệ điểm, công thức Lagrange Jacobi, tâm tỉ cự hệ điểm, định lí "con nhím " cho khối tứ diện Định nghĩa 1.1 Giả sử A1 , A2 , , Am hệ m điểm xếp tùy ý không gian không phân biệt thứ tự Điểm G gọi trọng m − −→ − → tâm hệ điểm có GAi = i=1 Dễ thấy trọng tâm hệ điểm tồn Hơn nữa, G gọi trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , Am với điểm M −−→ m −−→ không gian, có MG = MAi m i=1 Định lý 1.1 (Công thức Lagrange - Jacobi): Giả sử G trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , Am M điểm tùy ý không gian Thế m 1 MG = MA2i − Ai Aj m i=1 m 1≤i 0, y > nên từ (8) suy ra: x > SN x 1 Vì ≤1⇒ ≤ ⇒ x ≥ Từ ≤ x ≤ SD 3x − 2 Rõ ràng ta có: S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 66 Thay (8) vào (7) ta có V V1 = x 3x 3x − Xét hàm số: f (x) = f ′(x) = 3x2 = V (3x − 1) (9) 3x2 với ≤ x ≤ 4(3x − 1) 3x(3x − 2) có bảng biến thiên sau: 4(3x − 1)2 x f ′(x) − + +∞ f (x) +∞ Từ có: max f (x) = max f ; f (1) ≤x≤1 2 f (x) = f = 3 ≤x≤1 = max 3 ; 8 = ; Vậy 3V 2 ⇔ SM = SB x = 3 V VS.AM N K = ⇔M ≡B Bài toán 2.32 (Đề thi Olympic 30-4, 2008) Cho tứ diện ABCD tích V Một mặt phẳng α qua trọng tâm G tứ diện cắt AB, AC, AD B’, C’ D’ Tìm giá trị nhỏ T = VBB ′ C ′ D′ + VCB ′ C ′ D′ + VDB ′ C ′ D′ maxVS.AM N K = S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 67 Lời giải (Hình 2.24) Gọi AB1 = (ABG) ∩ (ACD) AC1 = (ACG) ∩ (ABD) AD1 = (ADG) ∩ (ABC) A B′ D′ P C′ B D H B1 D1 C Hình 2.24: AG ∩ (BCD) = {H} ⇒ H trọng tâm △BCD −→ −→ −−→ −−→ ⇒ AB + AC + AD = 3AH AB −−→′ AC −−→′ AD −−→′ −→ ⇒ AB + AC + AD = AG ′ ′ ′ AB AC AD Do B’, C’, D’ đồng phẳng nên AB AC AD + + =4 AB ′ AC ′ AD′ Mà AB AC AD AB.AC.AD + + ≥ ′ AB ′ ′ AC ′′ AD AB ′.AC ′.AD′ ′ AB AC AD 27 ⇒ ≥ AB.AC.AD 64 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 68 Suy VAB ′ C ′ D′ AB ′ AC ′ AD′ 27 = ≥ VABCD AB AC AD 64 BB ′ CC ′ DD′ Mà T = VBB ′ C ′ D′ +VCB ′ C ′ D′ +VDB ′ C ′ D′ = VAB ′ C ′ D′ + + AB ′ AC ′ AD′ Mặt khác: AB AC AD AB ′ + B ′ B AC ′ + C ′C AD′ + D′ D 4= + + = + + ′ ′ ′ ′ ′ AB AC AD AB AC AD′ BB ′ CC ′ DD′ = + + +3 AB ′ AC ′ AD′ BB ′ CC ′ DD′ 27 27 ⇒ + + = ⇒ T = VAB ′ C ′ D′ ≥ VABCD = V ′ ′ ′ AB AC AD 64 64 27 Vậy minT = V 64 Điều xảy khi: BB ′ CC ′ DD′ = = = ⇒ (B ′ C ′D′ ) // (BCD) ′ ′ ′ AB AC AD Bài tốn 2.33 (Olympic 30-4, 1998) Cho hình chóp OABC có góc tam diện đỉnh O tam diện vng M điểm thuộc mặt đáy ABC Tìm giá trị nhỏ AM BM CM + + AO2 BO2 CO2 Lời giải → − → − → − → − → → Đặt O A = − a , O B = b O C = − c vectơ sở Ta có: → − −−→ → → OM = x.− a + y b + z.− c với x + y + z = → − −−→ −−→ −→ → → AM = OM − OA = (x − 1) − a + y b + z.− c → − → → suy AM = x − 12 − a + y b + z − c2 2 AM 2 2b 2c = (x − 1) + y + z a2 a a Tương tự: 2 2 BM CM 2 2a 2c 2a 2b = x + (y − 1) + z = x + y + (z − 1)2 2 b b b c c c S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 69 Cộng đẳng thức vế theo vế ta có: AM BM CM + + AO2 BO2 CO2 1 1 = x2a2 + + y b2 + b c c a + z c2 1 + a2 b2 +(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 1 = + + x2a2 + y b2 + z c2 − (x + y + z) + 2 a b c Để ý tứ diện OABC gọi OH đường cao 1 1 + + = x2 a2 + y b2 + z c2 = OM 2 2 a b c OH Do AM BM CM OM + + = +1≥2 AO2 BO2 CO2 OH Dấu đẳng thức xảy OM = OH Hay M ≡ H giá trị nhỏ cần tìm Bài tốn 2.34 (Đề thi IMO, 1960) Cho hình cầu nội tiếp hình nón trịn xoay Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu có đáy nằm mặt phẳng đáy hình nón Gọi V1 , V2 thể tích hình nón hình trụ a) Chứng minh V1 = V2 V1 b) Tìm giá trị nhỏ tỉ số V2 Lời giải B O r E C A D Hình 2.25: a) Ta giả sử hình nón có đường cao BD = h Bán kính đáy DC = a, góc đường sinh trục α; bán kính hình cầu nội tiếp hình nón S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 70 r (hình 2.25) Ta có: πha2 V1 = (∗) , h = OB + OD = r r (1 + sin α) r (1 + sin α) +r = ,a = tan α sin α sin α sin α Thay kết vào (*) ta được: π.r3 (1 + sin α)3 π.r3(1 + sin α)2 V1 = = sin α cos2 α sin α (1 − sin α) Thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu V2 = 2π.r3 , V1 (1 + sin α)2 (1 + s)2 = = , V2 sin α (1 − sin α) 6s (1 − s) ta đặt s = sin α, < s < Giả sử V1 = tức V1 = V2 , V2 ta phương trình 7s2 − 4s + = 0, phương trình bậc hai theo s lại vơ nghiệm; điều có nghĩa khơng tồn α để V1 = V2 khẳng định đề chứng minh V1 b) Đặt = k , ta có phương trình: V2 (1 + 6k) s2 + (1 − 3k) s + = 0, để phương trình có nghiệm ta phải có ∆′ = (1 − 3k)2 − (1 + 6k) ≥ ⇔ k ≥ V1 Vậy giá trị nhỏ = k , ứng với V2 s = sin α = OB = 3r Bài toán 2.35 (Đề thi IMO, 1967) Chứng minh rẳng tứ diện có cạnh có độ dài lớn 1 thể tích tứ diện lớn S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 71 Lời giải Giả sử hình tứ diện ABCD có cạnh lớn AB (hình 2.26) Như vậy, tam giác ACD BCD, tất cạnh không lớn 1; chiều cao tương ứng AF BE chúng không lớn a2 − , CD = a ≤ a2 Chiều cao hình tứ diện AS ≤ AF ≤ − (do tam giác ASF vuông S có AF cạnh huyền) Thể tích hình tứ diện là: A D S B E F C Hình 2.26: 1 1 a2 V = SBCD AS = BE.CD.AS ≤ × a − 3 = a − a2 24 Để tìm cực đại V, ta xét biểu thức a(4 − a2 ) Vì ≤ a ≤ 1, nên 1 a(4 − a2 ) ≤ V ≤ a(4 − a2 ) ≤ , đpcm 24 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 72 Kết luận Luận văn với tiêu đề "Một số toán cực trị hình học đề thi học sinh giỏi phổ thơng" với nhiệm vụ sau: Sưu tầm tốn cực trị liên quan đến hình học đề thi học sinh giỏi toán quốc tế, quốc gia tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Nghiên cứu lời giải để đưa gợi ý hướng giải toán cực trị thường gặp; Đưa lời giải đưa lời giải chi tiết số toán mà tài liệu gốc chưa có lời giải có lời giải tóm tắt Luận văn hồn thành thu kết quả: Sưu tầm ví dụ 35 tốn cực trị hình học Từ hệ thống số phương pháp giải toán cách tường minh, rõ ràng, trình bày khoa học để bạn đọc dễ dàng nhận biết giải tốn cực trị hình học Cố gắng đưa lời giải chi tiết, cụ thể đưa nhiều cách giải khác toán Đặc biệt học sinh giỏi, em có phương pháp giải tốn cực trị hình học, tiếp cận dạng từ dễ đến khó, từ tự phát triển cách giải tốn cách nhanh Luận văn góp phần làm phong phú phương pháp giải tốn, đặc biệt tốn cực trị hình học Luận văn có hướng nghiên cứu mở rộng đến tốn cực trị hình học khơng gian nhiều chiều, có liên quan đến kiến thức hình học Afine, hình học xạ ảnh Mặc dù cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi sai sót, hạn chế Em kính mong thầy giáo bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 73 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Lê Hồng Đức (chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải tốn hình học, tập 4, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội, tr 15, 41,68, 87, 107 [2] Lê Quốc Hán, "Một số phương pháp giải tốn cực trị hình học khơng gian", Diễn đàn dạy học tốn, tr 2, 3, [3] Phan Huy Khải (2013), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, tr 351, 352 [4] Hoàng Đức Nguyên (2009), "Một số dạng tốn cực trị hình học", Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, tr 6, 7, 13 [5] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phi (2003), Tuyển tập dự tuyển Olympic Toán học Quốc tế 1991 - 2001, Nhà xuất giáo dục, tr 356, 357 [6] Nguyễn Văn Nho (2004), Tuyển chọn toán từ thi số nước Đông Âu, tập 1, Nhà xuất giáo dục, tr 224, 225 [7] Nguyễn Đăng Phất (2006), "Tiếp cận khai thác tốn cực trị hình học từ phương cách khác nhau", Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, tr 9, 10, 11 [8] Phan Doãn Thoại (chủ biên), Phạm Thị Bạch Ngọc, Hồ Quang Vinh, Nguyễn Thanh Hồng (2008), 45 đề thi Toán chọn lọc cấp THCS 2005 - 2008, Nhà xuất giáo dục, tr 69, 75, 151, 165, 166 [9] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho (2001), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế - tập 1, Nhà xuất giáo dục, tr 33, 34, 65, 66, 98, 99 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 74 [10] Lê Anh Vinh, Trịnh Hồi Phương, Phạm Đức Hiệp (2015), Các kì thi tốn quốc tế - tập 1, Nhà xuất giáo dục, tr 165, 167, 271, 173, 207, 224, 225, 229, 281 [11] Tủ sách toán học tuổi trẻ (2007), Các thi Olympic toán THPT Việt Nam (1990 - 2006), Nhà xuất giáo dục, tr 23, 123-125 [12] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ (2014), 1, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, tr 149, 150 [13] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ (2011), 3, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, tr 1154, 155, 158 [14] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ (2011), 4, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, tr 51 [15] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ (2010), 5, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, tr 108, 109, 118, 119, 125, 131, 142, 147, 149, 166-168, 196-198, 171-173 [16] Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng (2014), toán 10, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, tr 7, 26, 238, 239, 244, 246, 247, 251, 252 [17] Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng (2014), toán 11, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội„ tr 5, 6, 12, 18, 20, 21, 46, 47 Tiếng Anh: [18] Coxeter H S M., Greitzer S L (1975), Geometry revisited, The mathematical associatiom of American [19] Dusan Djukíc, Vladimir Jankovíc, Ivan Matíc, Nikola Petrovíc, (2006), The IMO Compandium,, a collecyion of problems Suggested for the international mathematical Olympiads: 1959 - 2004, Springer Science, Business Media, LNC [20] Jerald M., Ellen K., Eric K (2004), Discovering advanced algebra, Key Curriculum Press S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 2.1 Các tốn cực trị hình học liên quan đến tính chất hình học phẳng 2.2 Các toán cực trị hình học liên quan đến tam giác 2.3 Các tốn cực. .. cực trị hình học đề thi học sinh giỏi phổ thông để làm hướng nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ (1) Sưu tầm số tốn cực trị liên quan đến hình học đề thi học sinh giỏi toán quốc... 1.1.1 Bài toán cực trị hình học Bài tốn cực trị hình học Trong tốn hình học, có loại tốn có nội dung sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (như độ dài đoạn thẳng, số đo