Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị cho học sinh trung học phổ thông

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiên cứu, cố gắng học tập làm việc cách nghiêm túc, em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến người giúp đỡ, bên cạnh em suốt thời gian qua Đầu tiên, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, thầy quan tâm, giúp đỡ, tận tình bảo, hướng dẫn em suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Không giúp đỡ mặt chuyên mơn, q trình làm việc, em cịn học hỏi tinh thần làm việc khoa học đầy trách nhiệm từ thầy, từ tích lũy kiến thức kinh nghiệm quý báu cho thân Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tồn thể thầy giáo trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội truyền đạt cho em bao kiến thức quý báu hoài bão suốt thời gian học cao học vừa qua tạo điều kiện giúp em thực luận văn Dù cố gắng luận văn em khơng thể tránh khỏi điều cịn thiếu sót Em mong nhận nhận xét lời góp ý từ phía thầy bạn đọc để luận văn em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2018 Học viên Phạm Thị Tuyết Trang i DANH MỤC CÁC CHỮVIẾT TẮT GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ GV Giáo viên HS Học sinh PPDH Phương pháp dạy học PP Phương pháp THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ Danh mục bảng Bảng: 3.1 Điểm số học sinh lớp 12 Lí trước tiến hành thực nghiệm 84 Bảng: 3.2 Điểm số học sinh lớp 12 Lí sau tiến hành thực nghiệm 85 Danh mục biểu đồ Biều đồ: 3.1 Điểm số học sinh lớp 12 Lí trước tiến hành thực nghiệm 85 Biều đồ: 3.2 Điểm số học sinh lớp 12 Lí sau tiến hành thực nghiệm 86 Biểu đồ: 3.3 Sự thay đổi điểm số học sinh lớp 12 Lí trước sau thực nghiệm 86 iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số vấn đề liên quan đến lực 1.1.1 Mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ 1.1.2 Khung lực 1.1.3 Mối quan hệ mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ lực 1.2 Mơ hình cấu trúc lực học sinh trung học phổ thông 1.2.1 Năng lực chung 1.2.2 Năng lực chuyên biệt 1.3 Năng lực chun biệt mơn Tốn Quan điểm Mogens Niss lực chuyên biệt môn Toán: 1.4 Năng lực giải vấn đề 1.4.1 Kĩ giải vấn đề nói chung 1.4.2 Năng lực giải vấn đề mơn Tốn 11 1.5 Một số phương pháp dạy học phát triển lực giải vấn đề 12 1.5.1 Phương pháp làm việc nhóm 12 1.5.2 Phương pháp tình 13 1.5.3 Dạy học giải vấn đề 15 iv 1.5.4 Dạy học dựa dự án 18 Kết luận chương 23 CHƯƠNG 24 MỘT SỐ DẠNG BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 24 2.1 Một số kiến thức hàm lồi bất đẳng thức Jensen 24 2.2 Một số dạng chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen theo hướng phát triển lực 39 2.2.1 Một số kiến thức liên quan 39 2.2.2 Các toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Jensen theo hướng phát triển lực 40 2.3 Một số toán cực trị theo định hướng phát triển lực 63 2.3.1 Một số kiến thức liên quan 63 2.3.2 Một số toán cực trị theo định hương phát triển lực 65 Kết luận chương 81 CHƯƠNG 83 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83 3.1 Mục đích thực nghiệm 83 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 83 3.3 Nội dung thực nghiệm 83 3.4 Cách tiến hành thực nghiệm 83 3.5 Đánh giá kết thực nghiệm 84 3.6 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 87 Kết luận chương 88 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giáo dục nước ta giai đoạn cải cách cách toàn diện Ngày này, giáo dục dần thay đổi để chuyển giáo dục lấy trang bị kiến thức chuyên môn làm mục tiêu chủ yếu sang giáo dục dạy kiến thức chuyên môn ở mức tối thiểu Điều quan dành nhiều thời gian dạy người học phương pháp, kỹ năng, cách tự học, dạy người học cách sử dụng khai thác thiết bị đại ngày phổ biến… dạy để làm người với mục đích người đào tạo có khả thích ứng nhanh với hồn cảnh với đó, có khả học tập suốt đời có trách nhiệm gia đình, xã hội Tổ quốc Để đổi toàn diện giáo dục, đưa mục tiêu cụ thể đổi toàn diện giáo dục phổ thơng Mục tiêu có điểm so với mục tiêu giai đoạn trước Trước hết, nhấn mạnh tập trung hình thành "năng lực cơng dân; lực thực hành vận dụng kiến thức vào thực tiễn" Mục tiêu giáo dục trình đổi tập trung vào việc phát triển lực cho người học Năng lực hiểu vận dụng tổng hợp nhiều yếu tố (kiến thức, kĩ năng, thái độ, động cơ, hứng thú…) nhằm thực cơng việc có hiệu Quan niệm chi phối tồn yếu tố q trình giáo dục, từ nội dung, phương pháp đến đánh giá kết học tập Mục tiêu phát triển lực nhằm khắc phục tình trạng trọng vào trang bị kiến thức hàn lâm, kinh viện; người học biết nhiều lí thuyết thực hành, vận dụng kém…Mục tiêu dẫn đến việc phải thay đổi cách hệ thống đánh giá từ kiểm tra kiến thức sang đánh giá lực Đầu vào đánh giá lực có học (cấp học, chương trình học ấy) khơng Trong q trình đánh giá lực hiểu tiếp thu sáng tạo điều học Đầu đánh giá lực vận dụng điều học tập, rèn luyện vào môi trường tới…Như vậy, thấy việc đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực cho học sinh vô cần thiết cấp bách Một lực quan trọng cần thiết lực giải vấn đề Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa tốn trung học phổ thông, Bất đẳng thức toán cực trị hàm số nội dung hay khai thác giúp học sinh hình thành lực giải vấn đề toán Từ lý trên, định lựa chọn đề tài: “Phát triển lực giải vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức giải toán cực trị cho học sinh trung học phổ thơng.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề xuất số dạng nhằm phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen toán cực trị hàm số Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Nội dung bất đẳng thức cực trị hàm số dạy học theo định hướng phát triển lực giải vấn đề - Khách thể nghiên cứu: Việc dạy học nội dung chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số theo định hướng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh khá, giỏi - Phạm vi nghiên cứu: 35 học sinh lớp 12 Lí - Trường trung học phổ thông Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng nghiên cứu sở lý luận liên quan đến lực nói chung, lực chun biệt mơn Tốn nói riêng lực giải vấn đề - Nghiên cứu, xây dựng số toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen cực trị hàm số theo hướng giải vấn đề cho học sinh khá, giỏi - Tổ chức nội dung dạy học chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen cực trị hàm số để phát triển lực giải vấn đề cho học sinh - Tiến hành thực nghiệm sư phạm phần kết nghiên cứu - Đưa kết luận số kiến nghị nhằm nâng cao việc dạy học bất đẳng thức cực trị hàm số theo định hướng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu Để thực nhiệm vụ nghiên cứu trên, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu để xây dựng sở lý luận đề tài, tổng hợp tài liệu phân tích nguồn tài liệu, tư liệu có sẵn dạy học lượng giác, dạy học giải vấn đề - Phương pháp thực nghiệm để đo lường khả phát giải vấn đề học sinh việc xây dựng kiểm tra ngắn - Phương pháp quan sát để ghi chép trình thực nghiệm làm bổ sung cho phần phân tích kết thông qua việc theo dõi, lắng nghe, thu thập thông tin thể ba mặt lực: kiến thức, kĩ năng, thái độ khách thể - Phương pháp xử lí số liệu để phân tích kết thu sau qua trình thực nghiệm thơng qua phần mềm Excel Đóng góp đề tài Về mặt lí luận - Làm rõ thêm vai trò việc dạy học theo định hướng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thông giai đoạn - Cách thức xây dựng nội dung dạy học chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số theo định hướng phát triển lực giải vấn đề Về mặt thực tiễn - Các dạng chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số sử dụng vào việc giảng dạy giáo viên giúp học sinh rèn luyện kĩ giải vấn đề mơn Tốn nhằm phát huy lực giải vấn đề cho học sinh THPT - Góp phần nâng cao hiệu dạy học nội dung chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số nhà trường phổ thông Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau: Phần mở đầu: Trình bày vấn đề: Lí chọn đề tài, lịch sử nghiên cứu vấn đề, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu Phần nội dung: Gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Một số dạng chứng minh bất đẳng thức toán cực trị theo định hướng phát triển lực Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Phần kết luận kiến nghị: Trình bày kết luận rút trình nghiên cứu thực nghiệm nêu số ý kiến đề xuất Ngồi có phần phụ lục tài liệu tham khảo CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số vấn đề liên quan đến lực 1.1.1 Mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ Mục tiêu theo nghĩa ta cần chiếm lĩnh ta phải đánh giá chiếm lĩnh Thái độ xem khả phản ứng (tích cực tiêu cực) với số vật, tình huống, hồn cảnh, quan niệm người khác Thái độ gần giống với hứng thú hứng thú giới hạn phạm vi hẹp cảm xúc thích thú tới nhóm hoạt động định Thái độ gần giống với quan điểm khác quan điểm tính khái quát phương pháp đo lường Quan điểm phản ánh đặc biệt vật tượng cụ thể, thái độ mang tính khái quát phản ánh tới nhóm kiện nhóm người Hơn nữa, người nhiều nhận thức rõ quan điểm khơng hồn tồn ý thức thái độ 1.1.2 Khung lực Năng lực khả cá nhân đáp ứng yêu cầu phức hợp thực thành công nhiệm vụ bối cảnh cụ thể (OECD, 2002) Năng lực phát triển, nâng cao trì thơng qua khóa tập huấn, việc ln chuyển vị trí, kinh nghiệm thực tiễn, trình học tập tự thân phát triển Việc có đạt cấp độ lực đánh giá thông qua khả áp dụng lực hồn cảnh, tình khác Người có lực lĩnh vực cần hội tụ yêu cầu sau: Thứ nhất, có kiến thức, hiểu biết cách hệ thống, sâu sắc lĩnh vực Thứ hai, biết lựa chọn thực hành động cụ thể, lựa chọn giải pháp, phương tiện để thực nhiệm vụ phù hợp với mục địch, mục tiêu đề Thứ ba, hành động cách hiệu quả, ứng phó linh hoạt với bối cảnh khác Khung lực (Competences framework) bảng mô tả tổ hợp kiến thức, kỹ năng, thái độ đặc điểm cá nhân cần để hồn thành tốt cơng việc Kết cấu khung lực thường gồm nhóm lực sau: CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm - Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính đắn tính khả thi vấn đề: Dạy học nội dung chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số theo định hướng phát triển lực giải vấn đề giúp học sinh hình thành, rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số, nâng cao chất lượng dạy học, từ góp phần vào việc hình thành lực giải vấn đề nói chung cho học sinh THPT - Tìm hiểu khả phát triển đề tài 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm - Tổ chức dạy học chứng minh bất đẳng thức theo định hướng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh - Phân tích kết thực nghiệm 3.3 Nội dung thực nghiệm Nội dung thực nghiệm tiến hành trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc cụ thể sau: Dạy học chuyên đề: Áp dụng bất đẳng thức Jensen vào chứng minh bất đẳng thức (giáo án đưa vào phụ lục) để phát triển lực giải vấn đề Để xây dựng giáo án trên, tiến hành thực bước sau: - Bước 1: Xác định mục tiêu giảng - Bước 2: Lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu giảng - Bước 3: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, chuyên đề bất đẳng thức để lựa chọn nội dung phù hợp với giảng gồm ví dụ để hướng dẫn cho học sinh tập yêu cầu học sinh thực - Bước 4: Tiến hành soạn giáo án 3.4 Cách tiến hành thực nghiệm  Đối tượng thực nghiệm: Lớp 12 Lí - trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc  Thời gian thực nghiệm: 19/10/2018  Công cụ thực nghiệm: - Bài kiểm tra 30 phút trước dạy thực nghiệm - Giáo án dạy thực nghiệm 45 phút 83 - Bài kiểm tra ngắn 30 phút sau dạy thực nghiệm 3.5 Đánh giá kết thực nghiệm  Phân tích định tính Thơng qua việc theo dõi q trình làm kiểm tra trước sau thực nghiệm học sinh lớp 12 Lí, tơi nhận thấy em nghiêm túc, độc lập q trình làm Thơng qua việc theo dõi học em học sinh, nhận thấy em tập trung nghe giảng, tích cực trả lời câu hỏi mà giáo viên đưa Khi tham gia hoạt động nhóm, em hoạt động tích cực, sơi nổi, trao đổi ý kiến nhau, thực kỹ giải vấn đề hình thành hoạt động trước Khi lên thuyết trình giải, em đại diện nhóm trình bày tự tin, rõ ràng  Phân tích định lượng Ngồi để đánh giá xác việc dạy học áp dụng bất đẳng thức Jensen vào chứng minh bất đẳng thức theo định hướng phát triển lực giải vấn đề, tiến hành cho em làm kiểm tra khoảng thời gian 30 phút vào trước tiến hành thực nghiệm sau tiến hành thực nghiệm Nội dung kiểm tra trình bày phần phụ lục Hai kiểm tra có độ khó tương đương Kết thu sau làm hai kiểm tra cụ thể sau:  Kết kiểm tra học sinh trước thực nghiệm: Bảng: 3.1 Điểm số học sinh lớp 12 Lí trước tiến hành thực nghiệm Điểm Số lượng (bài) Tỉ lệ (%) 0-4 5-6 7-8 9-10 17 10 22,8 48,6 28,6 84 Biểu đồ:3.1 Điểm số học sinh lớp 12 Lí trước tiến hành thực nghiệm 0-4 điểm 5-6 điểm 7-8 điểm 9-10 điểm Đơn vị: % 22.8 28.6 48.6 Nhận xét: - Trong lớp, có học sinh đạt điểm trung bình - Số học sinh đạt điểm trung bình chiếm tỉ lệ (22,8%), số học sinh đạt điểm trung bình (5- điểm) đạt tỉ lệ lớn (48,6%) - Khơng có học sinh đạt điểm giỏi - Như vậy, trước tiến hành thực nghiệm phần lớn học sinh lớp đạt điểm trung bình  Kết kiểm tra học sinh sau thực nghiệm: Bảng: 3.2 Điểm số học sinh lớp 12 Lí sau tiến hành thực nghiệm Điểm Số lượng (bài) Tỉ lệ (%) 0-4 5-6 7-8 9-10 10 18 5,7% 28,6% 51,4% 14,3% 85 Biểu đồ: 3.2 Điểm số học sinh lớp 12 Lí sau tiến hành thực nghiệm 0-4 điểm 5-6 điểm 7-8 điểm 9-10 điểm Đơn vị: % 5.7 14.3 28.6 51.40 Nhận xét: - Tỉ lệ kiểm tra trung bình 5,7% (có học sinh bị điểm trung bình) - Số học sinh đạt điểm trung bình chiếm tỉ lệ thấp (5,7%), số học sinh đạt điểm loại chiếm tỉ lệ nhiều (51,4%) - Số học sinh đạt điểm loại giỏi chiếm tỉ lệ 14,3% - Như vậy, sau tiến hành thực nghiệm phần lớn học sinh lớp đạt điểm giỏi Biểu đồ: 3.3 Sự thay đổi điểm số học sinh lớp 12 Lí trước sau thực nghiệm 20 15 10 17 18 10 10 5 Điểm số trước Điểm số sau thực thực nghiệm nghiệm 0-4 điểm 5-6 điểm 86 7-8 điểm 9-10 điểm Nhận xét: - Sau tiến hành thực nghiệm, số lượng học sinh đạt điểm trung bình trung bình giảm; số lượng học sinh đạt điểm giỏi tăng - Như vậy, sau tiến hành thực nghiệm kết học sinh đạt tốt so với trước tiến hành thực nghiệm 3.6 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm Thông qua việc quan sát tiết học kết hai kiểm tra học sinh trước sau tiến hành thực nghiệm, nhận thấy rằng: Việc đưa kỹ giải vấn đề Toán vào dạy học giúp học sinh dễ dàng việc tiếp cận, giải toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng vấn đề tốn nói chung Việc hình thành kỹ giải vấn đề Toán việc cần thiết cần sớm hình thành cho học sinh So sánh kết trước sau thực nghiệm nhận thấy: Việc học sinh trang bị, rèn luyện kĩ giải vấn đề môn Toán giúp học sinh giải nhiều toán, đạt điểm cao làm kiểm tra Sau học tiết học thực nghiệm, em chủ động tiếp cận tốn Từ đó, giúp học sinh có hứng thú việc học nội dung chứng minh bất đẳng thức, thúc đẩy học sinh tìm tịi nhiều cách giải sáng tạo Kết khả quan bước đầu đợt thực nghiệm sư phạm theo định hướng cho phép chúng tơi kết luận: Chúng ta hồn tồn tổ chức tiết học giúp học sinh hình thành rèn luyện kỹ giải vấn đề mơn Tốn Thơng qua tiết học, học sinh trực tiếp thực hành, hoạt động nhóm, rèn luyện kỹ giải vấn đề mơn Tốn Kỹ không giúp học sinh đạt kết tốt q trình học Tốn mà cịn góp phần hình thành lực giải vấn đề cho học sinh THPT Những nghiên cứu lý luận TN chứng tỏ giả thiết khoa học mà đề tài đề chấp nhận 87 Kết luận chương Quá trình thực nghiệm cho thấy việc đưa kỹ giải vấn đề Toán vào dạy học giúp học sinh dễ dàng việc tiếp cận, giải toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng vấn đề tốn nói chung Việc hình thành kỹ giải vấn đề Toán việc cần thiết cần sớm hình thành cho học sinh Sau học tiết học thực nghiệm, em chủ động tiếp cận tốn Từ đó, giúp học sinh có hứng thú việc học, thúc đẩy học sinh tìm tịi nhiều cách giải sáng tạo Thông qua tiết học, học sinh trực tiếp thực hành, hoạt động nhóm, rèn luyện kỹ giải vấn đề mơn Tốn Kỹ không giúp học sinh đạt kết tốt q trình học Tốn mà cịn góp phần hình thành lực giải vấn đề cho học sinh THPT 88 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Đối chiếu với mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài, luận văn thu kết sau: Trên sở nghiên cứu định hướng đổi giáo dục phổ thông năm 2015 ở Việt Nam nay, thực việc nghiên cứu sở lý luận lực nói chung, lực chun biệt mơn Tốn nói riêng tìm hiểu lực giải vấn đề Sau phân tích nội dung chứng minh bất đẳng thức cực trị hàm số, nghiên cứu phương pháp dạy học nội dung cho học sinh khá, giỏi ở nhà trường phổ thông nay, đưa số dạng tập để phát triển kĩ giải vấn đề dạy học từ giúp học sinh phát huy lực giải vấn đề Tiến hành thực nghiệm lớp 12 Lí, trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc với chuyên đề “Áp dụng bất đẳng thức Jensen vào chứng minh bất đẳng thức” để học sinh rèn luyện kĩ giải vấn đề, từ phát huy lực giải vấn đề cho học sinh Tiến hành cho học sinh làm kiểm tra 30 phút trước tiến hành dạy thực nghiệm sau tiến hành dạy thực nghiệm, chấm 35 kiểm tra xử lý số liệu thu Phân tích kết cho thấy việc hình thành rèn luyện kĩ giả vấn đề cho học sinh cần thiết vô quan trọng Điều không giúp em thêm hứng thú với học, mà cịn góp phần quan trọng việc phát huy lực giải vấn đề cho học sinh THPT Khuyến nghị Trên sở kết thu đề tài nghiên cứu, xin đưa số kiến nghị sau: Giáo viên nên tăng cường tiết dạy học sử dụng phương pháp dạy học tích cực tăng tính chủ động, tích cực, tự giác học sinh Những tiết học nên lồng ghép kỹ giải vấn đề mơn Tốn để giúp học sinh phát triển lực giải vấn đề Có định hướng bồi dưỡng, nâng cao nhận thức cho giáo viên việc dạy học theo định hướng phát triển lực cho học sinh, đổi việc kiểm tra 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Bộ giáo dục đào tạo (2015), Tài liệu tập huấn PISA 2015 dạng câu hỏi OECD phát hành lĩnh vực Toán học [2] Bộ giáo dục Đào tạo, Đại số giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Dương Thị Hồng Hạnh (2015), Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chương Điện li, hóa học lớp 11 nâng cao, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải (1998), 10000 Các toán sơ cấp Bất đẳng thức, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [6] Đỗ Hà Phương, Nguyễn Thị Trang, Phạm Thị Tuyết Trang (2014), Dạy học phần Đại số theo hướng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh THPT, Báo cáo nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội (2010), Tập giảng Đo lường đánh giá Giáo dục [8] Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội (2007), Tập giảng Phương pháp cơng nghệ dạy học Tài liệu nước ngồi [9] Martin J Erickson and Joe Flowers (1999), Principles of Mathemmatical Problem Solving, Prentice-Hall, inc Trang web [10]http://dnict.vn/index.php/tintuc/tinhoatdong/346-di-tim-n-i-ham-c-a-khungnang- l-c [11]http://www.slideshare.net/congdinh149/tm-hiu-v-nng-lc-m-hnh-v-khung-nnglc-ca-con-ngi 90 PHỤ LỤC Phụ lục GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀO CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề này, học sinh sẽ: Về kiến thức - Nêu bất đẳng thức Jensen Về kĩ - Vận dụng bất đẳng thức Jensen để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức lượng giác Về thái độ - Chủ động, tích cực trình học Định hướng phát triển lực: - Năng lực giải vấn đề II CHUẨN BỊ Chuẩn bị giáo viên - Phương pháp: Vấn đáp gợi mở, thuyết trình giảng giải, hoạt động nhóm - Phương tiện: Giáo án, phấn, bảng, máy chiếu, máy tính - Học liệu: Phiếu học tập Chuẩn bị học sinh - Học sinh tự tìm hiểu toán chứng minh bất đẳng thức II TIẾN TRÌNH THỰC HIỆN - Ổn định lớp: phút - Dạy mới: Hoạt động Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Nhắc lại kiến thức hàm lồi giới thiệu bất đẳng thức Jensen (7 phút) - Giáo viên yêu - Học sinh nêu nội I Lí thuyết cầu học sinh nhắc dung kiến thức Điều kiện đủ để xét hàm số lồi lại điều kiện để học hàm lồi lõm: xét hàm số lồi Cho hàm f  x  hàm liên tục đến lõm đạo hàm cấp hai  a, b  - Nếu f ''  x   0, x   a, b  f  x  hàm lồi  a, b  ; - Nếu f ''  x   0, x   a, b  f  x  hàm lõm  a, b  Bất đẳng thức Jensen - Giáo viên giới - Học sinh lắng thiệu bất đẳng nghe, ghi chép thức Jensen Giả sử f hàm lồi tập mở I x1 , x , , x n  I Khi đó, ta có:  x   x n f n   f (x1 )   f (x n )  n  Dấu “=” xảy x1  x   x n Hoạt động 2: Hình thành bước giải tốn chứng minh bất đẳng thức theo hướng phát triển lực giải vấn đề (10 phút) - Giáo viên yêu - Học sinh suy II Bài tập vận dụng cầu học sinh suy nghĩ, trả lời câu Bài toán nghĩ hướng giải hỏi giáo viên đưa Cho n  x1 , x2 , , xn  tốn thơng qua câu hỏi: +) Đề yêu cầu Chứng minh rằng: chứng minh điều x1n  x2n   xkn  x1  x2   xk    k k   gì? +) Bài tốn cho n Giải Xét hàm số f ( x)  xn , với x  kiện gì? Ta có: +) Mối quan hệ f '(x)  n.x n1 đại  f ''( x)  n(n  1).x n2  0,  x  lượng biết với đại lượng chưa Vậy f ( x) hàm lồi x  biết nào? Theo bất đẳng thức Jensen dạng đơn +) Chúng ta có giản ta có: phương pháp  x  x   xk  f  k     f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xk )  k để chứng minh bất đẳng thức?  x  x   xk    k    x1n  x2n   xkn  k n +) Dựa vào kiện đề yêu cầu chứng minh toán, áp => đpcm dụng bất đẳng thức Jensen hàm số nào? +) Nêu cách chứng minh toán Hoạt động 3: Củng cố (20 phút) - Giáo viên yêu - Học sinh trao đổi, cầu học sinh học tìm hướng giải Bài tốn động nhóm theo tốn theo hướng Chứng minh với tam giác bàn để giải câu hỏi cho ABC ta có: tốn theo ở toán 1 câu hỏi tương tự A sin 2 toán phút - Đại diện nhóm - Sau thời gian lên trình quy định, giáo hướng giải viên yêu cầu toán học sinh đại diện  nhóm B sin  C sin  12 Giải Xét hàm số f (x) = với sin x 0< x

0 sin x Vậy f (x) = hàm lồi sin x (0,p ) Áp dụng bất đẳng thức Jensen dạng A B C , , ta có: 2 đơn giản với n =  1 1    sin A sin B 2   A B C   2 2 sin    Hay A sin 2  B sin 2    C sin  2       C sin 2  12 Bài toán Chứng minh với tam giác - Học sinh làm ABC ta có: vào vở học sinh - Giáo viên yêu lên bảng trình bày cầu học sinh làm sau nêu việc cá nhân, giải hướng suy luận để chọn hàm số f(x) tập - Gọi học sinh lên bảng trình bày nêu hướng giải theo 1    sin A sin B sin C bước định hướng ở tập Giải Ta xét hàm số f (x) = với sin x x Ỵ(0,p ) -cos x 1+ cos2 x ; f (x) = f (x) = >0 sin x sin x với x Ỵ(0,p ) Vậy f (x) = hàm lồi sin x (0,p ) Theo bất đẳng thức Jensen ta có: 1 1       sin A sin B sin C     A B C  sin     => đpcm III ĐÁNH GIÁ, RÚT KINH NGHIỆM Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Bài (4 điểm) Cho a  0, b  0, c  Chứng minh rằng:  b  c   c  a   a  b     a  b  c  3  a b a b  c c Bài (3 điểm) Chứng minh rằng: Nếu xi   0,   ; i  1, 2, , n n n sin x  sin  i  xi n i 1 n i 1 Bài (3 điểm) Chứng minh rẳng: Với tam giác ABC ta có: A sin  B sin  C sin  Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA SAU KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Bài (4 điểm) Cho a1 , a2 , , an  Chứng minh rằng: a  a2   an a a  anan   n  a1a1 a2a2  an    Bài (3 điểm) n n     Chứng minh rằng: Nếu xi   ,  ; i  1, 2, ,n  cos xi  cos  xi n i 1 n i 1  2 Bài (3 điểm) Chứng minh rằng: Với tam giác ABC ta có: A cos  B cos  C cos  ... đẳng thức giải toán cực trị cho học sinh trung học phổ thơng.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề xuất số dạng nhằm phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chứng... Bất đẳng thức toán cực trị hàm số nội dung hay khai thác giúp học sinh hình thành lực giải vấn đề tốn Từ lý trên, định lựa chọn đề tài: ? ?Phát triển lực giải vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức. .. định hướng phát triển lực giải vấn đề 23 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 2.1 Một số kiến thức hàm lồi bất đẳng thức Jensen