Cực trị hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thúy Hằng CỰC TRỊ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 i Mục lục Mở đầu 1 Giải tốn cực trị hình học hình học túy 1.1 1.2 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học 1.1.1 Bất đẳng thức tam giác 1.1.2 So sánh đường xiên - hình chiếu ngược lại 1.1.3 Quan hệ đường kính dây đường trịn 1.1.4 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 1.1.5 Quan hệ diện tích chu vi hình Các ví dụ 1.2.1 Ví dụ sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 1.2.2 1.3 1.4 Ví dụ sử dụng mối quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 1.2.3 Ví dụ áp dụng bất đẳng thức đường trịn 10 1.2.4 Ví dụ ứng dụng diện tích tìm cực trị 11 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học khơng gian 17 1.3.1 Các tính chất, định lý 17 1.3.2 Ví dụ 18 Phương pháp biến hình 20 1.4.1 Hệ thống phép biến hình phẳng không gian 20 1.4.2 Nội dung phương pháp 21 1.4.3 Áp dụng phép biến hình mặt phẳng 21 ii Giải tốn cực trị hình học cơng cụ đại số 2.1 2.2 Bất đẳng thức đại số 29 2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức đại số 29 2.1.2 Các bất đẳng thức hay dùng 30 2.1.3 Nội dung phương pháp 31 2.1.4 Các ví dụ (hình học phẳng hình học khơng gian) 31 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 44 2.2.1 Hàm số giá trị cực trị hàm số 44 2.2.2 Nội dung phương pháp: 46 2.2.3 Các ví dụ (hình học phẳng hình học khơng gian) 46 Giải tốn cực trị hình học phương pháp khác 3.1 3.2 29 54 Phương pháp đường mức 54 3.1.1 Khái niệm đường mức 54 3.1.2 Nguyên lý tiếp xúc đường mức 54 3.1.3 Một số dạng đường mức 55 3.1.4 Nội dung phương pháp 59 3.1.5 Ví dụ áp dụng 59 Kết hợp phương pháp 61 3.2.1 Kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp tọa độ 3.2.2 Giải toán cực trị kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp đại số 3.2.3 61 65 Giải toán cực trị kết hợp phép đối xứng trục phương pháp tọa độ Tài liệu tham khảo 66 70 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Việt Hải Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tôi gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT An Hải - Hải Phịng động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hằng Mở đầu Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh nhiều lần nghe khái niệm "lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu", khái niệm liên quan đến toán cực trị Ngay học Trung học sở, học sinh gặp tốn như: "Tìm diện tích lớn tam giác, tứ giác" hay "xác định vị trí đường thẳng a để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất", Các đại lượng hình học học phổ thơng là: Độ dài, số đo góc, diện tích, thể tích Liên quan đến đại lượng hình học tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng mà ta gọi tắt tốn cực trị hình học Nhiều tốn cực trị hình học dẫn đến cách chứng minh đặc sắc Chúng có tác dụng phát triển tư lơgic, phát huy tính linh động sáng tạo nghiên cứu tốn Chính nhiều tốn cực trị hình học chọn kỳ thi học sinh giỏi tốn tồn quốc bậc THCS THPT Bài tốn cực trị hình học thường phát biểu dạng sau: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, hay giá trị nhỏ đại lượng đó; Dạng 2: Xác định vị trí (điểm, đường thẳng, mặt phẳng ) để đại lượng hình học đạt giá trị lớn hay nhỏ Bài tốn tìm cực trị xuất có chuyển động đối tượng hình học có đại lượng hình học biến thiên Ý nghĩa toán cực trị: Bài toán cực trị hình học thường liên quan đến thực tiễn Để giải toán người làm toán phải biết tổng hợp kiến thức khác Toán học thường kiến thức đại số, hình học, giải tích, Mở rộng toán cực trị toán tối ưu hóa, tốn cực trị hình học cịn có tính ứng dụng cao lý thuyết thực hành Đó lý để tác giả chọn đề tài luận văn "Cực trị hình học" Phạm vi luận văn tìm hệ thống lại phương pháp giải tốn cực trị hình học cơng cụ tốn học có Ngồi phần mở đầu nội dung luận văn chia làm ba chương Chương dành để trình bày Giải tốn cực trị hình học cơng cụ hình học tuần túy Chương đề cập đến Giải tốn cực trị hình học cơng cụ đại số Chương trình bày phương pháp khác để giải tốn khó Phương pháp đường mức kết hợp phương pháp khác Khi gặp toán cực trị ta thường suy nghĩ theo hướng sau: Thứ nhất: Dùng phương pháp hình học túy để khảo sát biểu thức cần tìm cực trị Thứ hai: Đặt đại lượng thay đổi biến t viết biểu thức cần khảo sát thành hàm biến t Sau khảo sát hàm vừa tìm phương pháp đại số Thứ ba: Dùng bất đẳng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát Dưới ví dụ sử dụng ba hướng suy nghĩ Ví dụ 0.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng ∆ qua M (1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho 1 + OA OB bé Giải Ở ví dụ này, ta trình bày theo ba hướng: Hướng 1: Hạ OH⊥∆, tam giác vuông OAB , ta có: 1 1 + = ≥ 2 OA OB OH OM (không đổi) Dấu đẳng thức xảy khi: H ≡ M ⇔ OM ⊥∆ 1 + đạt giá trị bé đường thẳng ∆ qua điểm M (1; 2) OA2 OB−− → có vectơ OM (1; 2) Vậy Hình 1: Vậy đường thẳng ∆ cần tìm (x − 1) + (y − 2) = ⇔ x + 2y − = Nhận xét: 1 + = chuyển biểu thức ban đầu với hai 2 OA OB OH đại lượng biến thiên OA, OB biểu thức đại lượng biến thiên OH - Phép biến đổi - Cách giải khơng mở rộng cho tốn tổng qt hơn: xác định a b + nhỏ (a > 0, b > 0) OA OB Hướng 2: Đường thẳng ∆ qua điểm M (1; 2) khơng qua gốc nên vị trí đường thẳng ∆ để đường thẳng có hệ số góc k với k = 0, k = Khi đó: ∆ : y − = k (x − 1) ⇔ y = kx − k + Ta có: A k−2 1 k2 + ; , B (0; − k) + = k OA2 OB (k − 2)2 Xét hàm số: f (k) = k2 + (k = 0, 2) (k − 2)2 −4k + 6k + f (k) = (k − 2)4  Ta có f (k) = ⇔ −4k + 6k + = ⇔  k=2 Ta dễ lập bảng biến thiên hàm số f (k) Từ suy Vậy f (k) nhỏ k = − 1 Do + nhỏ k = − ⇔ x + 2y − = 2 OA OB Hướng 3: Giả sử A (m; 0) , B (0; n) , m, n = k=− Khi ∆ : x y 1 + = qua điểm M (1; 2) nên + =1 m n m n Áp dụng bất đẳng thức Svars ta có: 1= + m n ≤ 12 + 22 1 + m n Dấu đẳng thức xảy khi:   + =1   m n       n=   + =1 m n ⇔ ⇔     m = 2n m =  m  =    n 1 1 + = + ≥ OA2 OB m2 n2 5 Dấu xảy m = 5, n = nghĩa x + 2y − = Như Trong phần tơi trình bày chi tiết nội dung phương pháp minh họa ví dụ cụ thể Chương Giải toán cực trị hình học hình học túy 1.1 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học 1.1.1 Bất đẳng thức tam giác Ta có kết sau xem [10] • Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh cịn lại • Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh cịn lại • Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại AB ≤ AC + CB (Dấu “=” xảy C A,B) • Đoạn thẳng nối hai điểm có độ dài ngắn so với đường gấp khúc nói hai điểm • Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn • Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn 1.1.2 So sánh đường xiên - hình chiếu ngược lại • Đường vng góc ngắn đường xiên Hình 1.1: • Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn • Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó: a) Đường xiên lớn có hình chiếu lớn hơn; b) Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn; c) Nếu hai đường xiên hai hình chiếu nhau, ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên 1.1.3 Quan hệ đường kính dây đường trịn • Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính • Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây 1.1.4 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Trong đường tròn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Trong đường trịn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn Áp dụng kết vào toán cực trị ... để đại lượng hình học đạt giá trị lớn hay nhỏ Bài tốn tìm cực trị xuất có chuyển động đối tượng hình học có đại lượng hình học biến thiên Ý nghĩa toán cực trị: Bài tốn cực trị hình học thường liên... tích, thể tích Liên quan đến đại lượng hình học tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng mà ta gọi tắt tốn cực trị hình học Nhiều tốn cực trị hình học dẫn đến cách chứng minh đặc sắc Chúng... Chính nhiều tốn cực trị hình học chọn kỳ thi học sinh giỏi toán tồn quốc bậc THCS THPT Bài tốn cực trị hình học thường phát biểu dạng sau: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, hay giá trị nhỏ đại lượng