Bài 2 hàm số bậc nhất

BÀI HÀM SỐ BẬC NHẤT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm hàm số bậc + Hiểu tính chất hàm số bậc  Kĩ + Xác định đâu hàm số bậc nhất, đâu hàm số bậc + Tìm điều kiện tham số để hàm số hàm số bậc + Tìm điều kiện tham số để hàm số bậc đồng biến, nghịch biến + Tìm điều kiện tham số để hàm số bậc qua điểm cho trước + Tìm điểm mà đồ thị hàm bậc chứa tham số qua với m Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hàm số bậc Hàm số bậc hàm số cho công Một hàm số gọi hàm số bậc khi: thức y ax  b - Công thức hàm số đa thức biến Trong a, b số cho trước a 0 - Bậc đa thức bậc - Hệ số x khác Ví dụ: y  3x hàm số bậc với a  ; b 0  y 2 hàm số bậc mà hàm  y 4 x  hàm số bậc Chú ý: Khi b 0 hàm số có dạng y ax (đã học lớp 7) Tính chất hàm số bậc y ax  b  a 0  Hàm số bậc y ax  b xác định với giá trị x thuộc  có tính chất sau: a) Đồng biến  a  Ví dụ: a) Hàm số bậc y 4 x  hàm đồng biến a 4  b) Nghịch biến  a  b) Hàm số bậc y  x  hàm nghịch biến a   Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hàm số bậc hàm số cho cơng thức a, b số cho trước Tập xác định HÀM SỐ BẬC Hàm số bậc hàm số bậc NHẤT đồng biến Hàm số bậc nghịch biến II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc Tìm điều kiện tham số để hàm số hàm số bậc Bài toán Nhận dạng hàm số bậc Phương pháp giải Nhận dạng hàm số bậc y  f  x  Bước 1: Nhân khai triển biểu thức đại số Ví dụ: a) Hàm số y  3x  hàm số bậc với y  f  x  hàm số xếp bậc đa thức a  3; b 1 từ lớn tới bé Bước 2: Xét bậc đa thức f  x   Nếu đa thức bậc ẩn dạng ax  b  a 0  y  f  x  hàm số bậc b) Hàm số y  f  x   x  hàm số bậc với a  , b   Nếu đa thức đa thức bậc ẩn dạng ax  b  a 0  y  f  x  khơng hàm số bậc c) Hàm số y  f  x   x  Trang hàm số bậc bậc đa thức x  bậc Ví dụ mẫu Ví dụ Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? a) y 5 c) y 2 x  b) y  x  Hướng dẫn giải a) Hàm số y 5 hàm hàm số bậc b) Xét hàm số y  x  Điều kiện: x  0  x  Đây hàm số bậc c) Xét hàm số y 2 x  Điều kiện: x   Đây hàm số bậc với a 2, b 1 Ví dụ Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? a) y 2  x  1  x  b) y  x  1  x  x  1 c) y  x 1 2x  Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x   Muốn xác định hàm số hàm Ta có y 2  x  1  x  số bậc ta nhân khai triển  y 2 x   x  biểu thức hàm số Sắp xếp bậc  y 5 đa thức từ lớn tới bé Nếu Vậy hàm số y 2  x  1  x  hàm hằng, hàm số bậc bậc đa thức hàm số bậc Hàm có dạng y a với a b) Điều kiện: x   Ta có y  x  1  x  x  1  y x  x 1   x  x   y x  x   x  x  y x  Trang Vậy hàm số y  x  1  x  x  1 hàm số bậc với a 1; b 1 c) Điều kiện: x 1 Hàm số cho hàm số bậc Bài tốn Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho hàm số bậc Phương pháp giải Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f  x  hàm số bậc Bước Nhân khai triển biểu thức đại số y  f  x  hàm số xếp bậc đa thức từ lớn tới bé Bước Tìm điều kiện tham số m để hàm Điều kiện tham số m để hàm số y mx  hàm số bậc m 0 Điều kiện tham số m để hàm số số hàm bậc y  m  1 x  3m  hàm số bậc - Hệ số hạng tử có bậc lớn m  0  m 1 bằng - Hệ số hạng tử bậc khác Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để hàm số sau hàm số bậc a) y mx  3m  b) y mx   x  m c) y  m  1 x  2m  Hướng dẫn giải a) Điều kiện để hàm số y mx  3m  hàm số bậc m 0 Hàm số y ax  b hàm bậc a 0 b) Ta có y mx   x  m  y  m   x   m Vậy điều kiện để hàm số y mx   x  m hàm bậc m  0  m  2 c) Điều kiện để hàm số y  m  1 x  2m  hàm số bậc m  0  m 1  m 1 Vậy với m 1 hàm số y  m  1 x  2m  hàm số bậc Ví dụ Tìm điều kiện m để hàm số sau hàm số bậc Trang a) y x  x  1  x  x  2m  b) y  x  1  mx  mx  1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x   Ta có y x  x  1  x  x  2m   y  x  x  x  2mx  y   2m  x Vậy hàm số y x  x  1  x  x  2m  hàm số bậc  2m 0  m  b) Điều kiện: x   Ta có y  x  1  mx  mx    y  x  x    m x  2mx   y  x  x   m2 x  2mx  y   m  x    m  x  Vậy hàm số y  x  1  mx  mx  1 hàm số bậc  m 0  m 0 Xét  m 0  m2 1  m 1  m 0  m 1 Suy m  Vậy để hàm số y  x  1  mx  mx   hàm số bậc m  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? a) y 5 x  b) y  x 1 x c) y x  x  d) y 6 Câu Xác định hàm số bậc hàm số a) y 2 x    x  1 b) y m x    x  1 c) y x  x  1   x  1 Câu Tìm điều kiện m để hàm số y  m  1 x  2m  x hàm bậc Câu Tìm điều kiện m để hàm số y x  x  1  2mx  x  3m hàm số bậc Bài tập nâng cao Trang 2 Câu Tìm điều kiện m để hàm số y m x  x  x  1  mx  hàm số bậc HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập Câu a) Hàm số y 5 x  hàm số bậc với a 5; b 1 b) Hàm số y  x 1 khơng phải hàm số bậc phương trình hàm số khơng phải dạng x y ax  b  a 0  c) Hàm số y x  x  hàm số bậc phương trình hàm số dạng y ax  b  a 0  d) Hàm số y 6 hàm số bậc mà hàm Câu a) Ta có y 2 x    x  1  y 2 x   x   y 2 Vậy hàm số y 2 x    x  1 hàm số bậc b) Ta có y m x    x  1  y m x   x   y  m   x  Vì m2 0, m    m  0, m   Vậy hàm số y m x    x  1 hàm số bậc c) Ta có y x  x  1   x  1  y  x  x   x  x  1  y x  x  x  x   y 3 x  Vậy hàm số y x  x  1   x  1 hàm số bậc Câu Ta có y  m  1 x  2m  x  y  m   3 x  2m Trang  y  m   x  2m Vậy để hàm số hàm bậc m  0  m  Câu Ta có y x  x  1  2mx  x  3m  y  x  x  2mx  x  3m  y   2m  x  3m Vậy để hàm số bậc  2m 0  2m 1  m  Bài tập nâng cao Câu 2 Ta có y m x  x  x  1  mx   y m x  x  x  mx   y  m  1 x   m  1 x  Để hàm số hàm bậc m  0 m  0 Ta có m  0  m 1  m 1 ; m  0  m 1 2 Vậy với m  hàm số y m x  x  x  1  mx  hàm số bậc Dạng 2: Xác định hàm số bậc đồng biến, nghịch biến, tìm điều kiện tham số để hàm số bậc hàm đồng biến, nghịch biến Bài toán Xác định hàm số bậc đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải Xét hàm số y ax  b  Hàm số đồng biến a   Hàm số nghịch biến a  Hàm số y 2 x  hàm đồng biến a 2  Hàm số y  a 1 x  hàm nghịch biến 1 0 Ví dụ mẫu Ví dụ Hàm số sau hàm đồng biến, nghịch biến a) y 2 x  c) y  x4 b) y  x  d) y  x  Trang Hướng dẫn giải a) Hàm số y 2 x  hàm đồng biên a 2  3 b) Hàm số y  x  hàm đồng biến a   c) Hàm số y  1 x  hàm nghịch biến a   7 d) Hàm số y  x  hàm nghịch biến a   Ví dụ Hàm số sau hàm đồng biến, nghịch biến? a) y x  x  1   x   2 b) y  x  3  x  x  1 Hướng dẫn giải a) Ta có y x  x  1   x   Nhân khai triển đưa hàm số  y x2  x   x2  x  4 dạng hàm số bậc  y x  x  x  x  y ax  b  y  x  Do hàm số hàm số bậc với a  3; b  Vậy hàm số hàm nghịch biến a   b) Ta có y  x  3  x  x  1  y 4 x  12 x   x  x  y 8 x  Do hàm số hàm số bậc với a 8; b 9 Vậy hàm số hàm đồng biến a 8  Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hàm số hàm đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải Tìm điều kiện tham số m để y  f  x  hàm số đồng biến, nghịch biến Ví dụ Cho hàm số f  x   m  1 x  3m Tìm m để hàm số hàm nghịch biến Bước Nhân khai triển chuyển vế đưa hàm số Hướng dẫn giải dạng y ax  b Xét hàm số f  x   m  1 x  3m Bước Tìm điều kiện hệ số a để hàm số Hàm số hàm nghịch biến đồng biến, nghịch biến m  1  Hàm số đồng biến a   Hàm số nghịch biến a  Bước Giải bất phương trình tìm điều kiện  m 1 Trang tham số Bước Kết luận Ví dụ mẫu Vậy hàm số nghịch biến m  Ví dụ Cho hàm số y mx   x  m Tìm m để hàm số hàm đồng biến Hướng dẫn giải Muốn xác định điều kiện Xét hàm số y mx   x  m tham số để hàm số đồng Ta có y mx   x  m biến, nghịch biến phải khai  y  m   x   m triển chuyển vế đưa hàm số Vậy để hàm số y mx   x  m hàm đồng biến dạng y ax  b Hàm số đồng biến a  m 0  m 2 Hàm số nghịch biến Ví dụ Cho hàm số y  x  1  x  x  m  Tìm m để hàm số a0 hàm nghịch biến Hướng dẫn giải Xét hàm số y  x  1  x  x  m  Ta có y  x  1  x  x  m   y  x  x   x  mx  y   m  x  Suy để hàm số nghịch biến  m    m Vậy với m  hàm số y  x  1  x  x  m  nghịch biến Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm số đồng biến  a) y 5 b) y  x  c) y  d) y 2 x  Câu Cho hàm số y  3m  1 x  2m  Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến  Câu Cho hàm số y 3  m   x  3m  Tìm m để hàm số nghịch biến  Bài tập nâng cao Câu Cho hàm số y mx  x  1  m  x   , xác định giá trị m hàm số đồng biến  Câu Cho hàm số y mx  x  mx  x  2m   , xác định giá trị m để hàm số nghịch biến  HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trang 10 Bài tập Câu a) Hàm số y 5 hàm b) Hàm số y  x  hàm số nghịch biến  a   c) Hàm số y  hàm d) Hàm số y 2 x  hàm số đồng biến  a 2  Câu Điều kiện hàm số y  3m  1 x  2m  đồng biến 3m    3m   m  Câu Điều kiện hàm số y 3  m   x  3m  nghịch biến  m     m    m   Bài tập nâng cao Câu Xét hàm số y mx  x  1  m  x   Ta có y mx  x  1  m  x    y mx  mx  m  x  x    y mx  mx  mx  4mx  4m  y  3mx  4m Vậy để đồ thị hàm số y mx  x  1  m  x   đồng biến   3m   m  Câu Xét hàm số y mx  x  mx  x  2m   Ta có y mx  x  mx  x  2m    y mx  x  mx  2m x   y 2  m  1 x  Vậy để hàm số y mx  x  mx  x  2m   nghịch biến m    m     m  Dạng Tìm m để đồ thị hàm số bậc qua điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Tìm m để đồ thị hàm số bậc y ax  b qua M  x0 ; y0  Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y  m  1 x  3m  Trang 11 Bước Thay y biểu thức hàm số Hướng dẫn giải y0 , x biểu thức hàm số x0 ta Đồ thị hàm số y  m  1 x  3m  qua điểm phương trình theo ẩn m có dạng y0 ax0  b A  1;3 nên ta có Bước Giải phương trình theo ẩn m  m  1  3m   m   3m   4m   4m Bước Kiểm tra kết luận  m 5 4 Với m  hàm số có dạng y  x  Với x 1 suy y   Vậy với m 11 11 12  3 4 đồ thị hàm số y  m  1 x  3m  qua điểm A  1;3 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y mx  m  qua gốc tọa độ Hướng dẫn giải Vì đồ thị hàm số y mx  m  qua gốc tọa độ nên ta có 0.m  m  Điểm O  0;0  gốc tọa độ  m  0  m 1 Khi hàm số có dạng y x Với x 0 y 1.0 0 Vậy với m 1 đồ thị hàm số y mx  m  qua gốc tọa độ Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y  2m  1 x  3m  cắt trục tung điểm có tung độ Hướng dẫn giải Điểm nằm trục tung có tung độ A  0;  Vì đồ thị hàm số y  2m  1 x  3m  cắt trục tung điểm có tung độ suy đồ thị hàm số qua điểm A  0;  Điểm A thuộc trục hồnh có tọa độ A  x A ;0  Điểm B thuộc trục tung có Trang 12 Tức  2m  1  3m  tọa độ B  0; yB   3m   3m 3  m 1 Khi y x  Với x 0  y 2 Vậy với m 1 đồ thị hàm số y  2m  1 x  3m  cắt trục tung điểm có tung độ Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tìm m để đồ thị hàm số y x  2m qua gốc tọa độ Câu Tìm m để đồ thị hàm số y 2mx  m  cắt trục tung điểm có tọa độ  0;  Câu Tìm m để đồ thị hàm số y 3x    m  1 x  m cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  Bài tập nâng cao Câu Cho hàm số y  f  x   m  1 x  5m Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A có tọa độ  1;  5 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập Câu Đồ thị hàm số y x  2m qua gốc tọa độ suy đồ thị hàm số y x  2m qua điểm O  0;0  Suy 0  2m  m 0 Vậy với m 0 đồ thị hàm số y x  2m qua gốc tọa độ Câu Đồ thị hàm số y 2mx  m  qua điểm  0;  Với x 0 y 4 suy 2m.0  m   m 1 Vậy m 1 đồ thị hàm số y 2mx  m  cắt trục tung điểm có tọa độ  0;  Câu Tọa độ điểm thuộc trục hoành có hồnh độ    2;0  Vậy với x  y 0 suy ta có       m  1     m 0     2m   m 0 Trang 13   m  0  m  Vậy m  thỏa mãn yêu cầu đề Bài tập nâng cao Câu Đồ thị hàm số y  m  1 x  5m qua điểm A  1;   Vậy suy ta có  m  1  5m   m  5m  0   m  1  m   0  m  0    m  0  m 1  m 4  Vậy để hàm số y  m  1 x  5m có đồ thị qua điểm A  1;   m 1 m 4 Dạng Tìm điểm mà đồ thị hàm số ln qua Bài tốn Chứng minh đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm A  x0 ; y0  với m Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y mx  2m  Chứng minh đồ thị hàm số qua A   2;1 với m Hướng dẫn giải Bước Xét đồ thị hàm số y  f  x  qua Đồ thị hàm số y mx  2m  qua A   2;1 điểm A  x0 ; y0  suy y0  f  x0  suy  2m  2m  Bước Chứng minh biểu thức y0  f  x0   1 (đúng với m) với m Bước Kết luận Vậy đồ thị hàm số y mx  2m  qua A   2;1 với m Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x   m  1 x  3m  Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm A   3;  với m Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y  f  x   m  1 x  3m  qua điểm A   3;  suy Trang 14  m  1   3  3m    3m   3m   2 (đúng với m) Vậy với m đồ thị hàm số y  f  x   m  1 x  3m  qua điểm A   3;  Ví dụ Cho hàm số y  f  x  mx   m  1  ln cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Hướng dẫn giải Điểm A thuộc trục hồnh có Điểm thuộc trục hồnh có hồnh độ là A  2;0  Đồ thị hàm số y  f  x  mx   m  1  qua điểm A  2;0  suy tọa độ A  x A ;0  Điểm B thuộc trục tung có m.2   m  1  tọa độ B  0; yB   2m  2m    0 (đúng với m) Vậy với m đồ thị hàm số y  f  x  mx   m  1  ln cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Bài tốn Tìm điểm mà đồ thị hàm số y  f  x  qua với m Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y mx  2m  Xác định tọa độ điểm mà đồ thị hàm số qua Hướng dẫn giải Bước Nhân khai triển biểu thức, chuyển vế Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y mx  2m  đưa dạng biểu thức A  x; y; m  0 qua M  x0 ; y0  Bước Cô lập m; m ; m3 Bước Giả sử đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm M  x0 ; y0  Bước Thay x; y biểu thức A  x; y; m  0 x0 ; y0 Suy y0 mx0  2m   mx0  2m   y0 0  m  x0     y0 0 Bước Biện luận cho hệ số m; m ; m3 Để m  x0     y0 0 với m Trang 15 x0  0  y0 0 Bước Giải hệ kết luận Ta có x0  0  x0   y0 0  y0  Vậy đồ thị hàm số y mx  2m  qua điểm M   2;  1 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  2m  1 x  6m  Tìm điểm mà đồ thị hàm số qua với m Hướng dẫn giải Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y  2m  1 x  6m  qua M  x0 ; y0  Suy y0  2m  1 x0  6m  với m   2m  1 x0  6m   y0 0  m  x0    x0   y0 0 Vì đồ thị hàm số y  2m  1 x  6m  qua M  x0 ; y0  với m suy x0  0  x0   y0 0 Ta có x0  0  x0  3   y0 0  y0 1 Vậy đồ thị hàm số y  2m  1 x  6m  qua điểm M   3;1 2 Ví dụ Cho hàm số y m x   m   x  m  m  Tìm điểm mà đồ thị hàm số qua với m Hướng dẫn giải 2 Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m x   m   x  m  m  qua M  x0 ; y0  2 Suy y0 m x0   m   x0  m  m  với m y0 m x02  mx0  x0  m  m   m  x02  1  m  x0  1  x0   y0 0 2 Vì đồ thị hàm số y m x   m   x  m  m  qua M  x0 ; y0  với m suy x02  0 ; x0  0 x0   y0 0 Ta có x02  0  x02 1  x0 1 x0  0  x0 1 Kết hợp hai điều kiện suy x0 1 Với x0 1 thay vào x0   y0 0 ta có y0 0 Trang 16 2 Vậy đồ thị hàm số y m x   m   x  m  m  qua điểm M  1;0  Bài tập tự luyện Bài tập Câu Cho hàm số y mx  2m Tìm điểm mà đồ thị hàm số qua với m Câu Cho hàm số y m  x  1  x  3m Tìm điểm đồ thị hàm số qua với m Bài tập nâng cao 2 Câu Cho hàm số y m x   m  3 x  9m  3m  Tìm điểm đồ thị hàm số qua với m HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập Câu Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y mx  2m qua M  x0 ; y0  Suy y0 mx0  2m với m y0 m  x0    m  x0    y0 0 Vì đồ thị hàm số y mx  2m qua M  x0 ; y0  với m suy x0  0 ;  y0 0 Ta có x0  0  x0  2;  y0 0  y0 0 Vậy đồ thị hàm số y mx  2m qua điểm M   2;0  Câu Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m  x  1  x  3m qua M  x0 ; y0  Suy y0 m  x0  1  x0  3m với m y0 mx0  m  x0  3m  m  x0    x0  y0 0 Vì đồ thị hàm số y m  x  1  x  3m qua M  x0 ; y0  với m suy x0  0 ;  x0  y0 0 Ta có x0  0  x0  suy y0 8 Vậy đồ thị hàm số y m  x  1  x  3m qua điểm M   4;8  Bài tập nâng cao Câu 2 Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m x   m  3 x  9m  3m  qua M  x0 ; y0  Trang 17 2 Suy y0 m x0   m  3 x0  9m  3m  với m y0 m x02  mx0  3x0  9m  3m   m  x02    m  x0  3  x0   y0 0 2 Vì đồ thị hàm số y m x   m  3 x  9m  3m  qua M  x0 ; y0  với m suy x02  0 ; x0  0  x0   y0 0 Xét x02  0  x02 9  x 3 x0  0  x0  Với x0  suy y0  x0  11 2 Vậy đồ thị hàm số y m x   m  3 x  9m  3m  qua điểm M   3;11 Trang 18