Chuyên đề 12 phương trình bậc hai định lý viet

111Equation Chapter Section 1CHUYÊN ĐỀ 12: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VIET A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho phương trình bậc hai : ax  bx  c 0  a 0   * x1   b    b   ; x2  2a 2a Có hai nghiệm Suy :  b    b    2b b x1  x2    2a 2a a c x1 x2  a b c P x1 x2  a , tích nghiệm a Vậy đặt : Tổng nghiệm S: 2 Cách giải phương trình bậc hai: ax  bx  c 0  a 0  ,  b  4ac  b    b   x1  ; x2  2a 2a *Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt: b x1 x2  2a *Nếu  0 phương trình có nghiệm kép *Nếu   phương trình vơ nghiệm *Các hệ thức thường gặp x12  x22  x12  x1 x2  x22   x1 x2  x1  x2   x1 x2 S  P S x1  x2  x1  x2   x1  x2   x1 x2  S  P x2  x1   x1  x2   x1 x2  S  P x12  x22  x1  x2   x1  x2   x1  x2   x1  x2   x1 x2 S S  P x13  x23  x1  x2   x12  x1 x2  x22   x1  x2    x1  x2   3x1 x2  S  S  3P    2 2 x14  x24  x12    x22   x12  x22   x12 x22   x1  x2   x1 x2   x12 x22  S  P   P   B BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Đề từ 001 đến 010 2 Bài Cho phương trình: x  2(3  m) x   m 0 (x ẩn, m tham số) (1) a Giải phương trình (1) với m = b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ||x1| – |x2|| = Bài Cho phương trình x2 – (m2 + 3)x + 2m2 + = (x ẩn, m tham số) (1) a Giải phương trình (1) với m = - b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn Bài Cho phương trình x2 – (5m – 1) x + 6m2 – 2m = (m tham số) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m 2 b b Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x1  x2 1 Bài 4.Cho phương trình x  x  m  0 ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại 3 b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2 8 2 Bài Tìm giá trị tham số m để phương trình x   2m  1 x  m  0 có hai 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x   m   x  2m  0 (x ẩn số) a) Chứng minh rằng: Phương trình cho ln ln có hai nghiệm với giá trị m 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2 35 (m tham số) Bài Cho phương trình x  x  m  0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm tìm nghiệm cịn lại Bài Cho phương trình x  mx  m  0  1 với x ẩn số a) Giải phương trình m 2 b) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức: A  x1  1  x2  1  2016 Bài Cho phương trình x   2m  1 x  2m 0 với x ẩn số; m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm cịn lại Bài 10 Cho phương trình x   m  1 x  m  0( x ẩn số, m tham số) a) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tính tổng tích hai nghiệm x1 , x2 phương trình theo m 2 c) Tính biểu thức A x1  x2  x1 x2 theo m tìm m để A đạt giá trị nhỏ Đáp án từ 01 đến 10 Bài x  2(3  m) x   m 0 (1) a Với m = 1, ta có: (1)  x  x  0 (2) Phương trình (2) phương trình bậc hai có a – b + c = – (–4) + (–5) = nên (2) có hai nghiệm x1  1; x2  5 5 Vậy tập nghiệm (1) {–1;5} b * Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆’ = (3 – m)2 + (4 + m2) > ⇔ 2m2 – 6m + 13 >  17   x  x     4 ⇔   17  2 x     ⇔  2 (luôn ∀x) Do (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi–ét x1 + x2 = 2(3 – m); x1x2 = –4 – m2 *Ta có: | x1 |  | x2 | 6   | x1 |  | x2 |  36  x12  x22  | x1 | | x2 |  36  ( x1  x2 )2  x1 x2  | x1 x2 |36   2(3  m)  2( m  4)  |  m  |36  4(3  m)  2( m  4)  2(m  4) 36 (do  m   0m  |  m  |m  4)   m 3  m 0  (3  m) 9      m   m 6 Vậy m ∈ {0;6} giá trị cần tìm Bài a Với m =  ta phương trình x2 – 6x + = Tính ∆’ = Kết luận phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 2; x2 = b Khẳng định phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x1 = 2; x2 = m2 + m ≠ m ≠ -1 Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn m2 + >  m ≠ Kết luận: Với m ≠ -1; m ≠ m ≠ thỏa mãn yêu cầu đầu Bài x  (5m  1) x  6m  x 0 a)Ta có  [  (5m  1)]2  4(6m  2m) 25m  10m   24m  8m m  2m  (m  1) 0m Vậy phương trình cho ln có nghiệm với giá trị m  x1  x2 5m   b)Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có:  x1.x2 6m  2m Ta có: x12  x22 1  ( x1  x2 )  x1.x2 1  (5m  1)  2(6m  2m) 1  13m  6m 0  m(13m  6) 0  m 0   m  13  Vậy m = m = 13 thỏa mãn u cầu tốn Bài a) Vì phương trình x  x  m  0 có nghiệm x  nên ta có:   1  2.  1  m  0  m  0  m  Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x1  x2 2    x2 2  x2 3 Vậy m 6 nghiệm lại x 3 b)  ' 1  1. m  3  m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '   m    x1  x2 2  x x m  Theo hệ thức Vi-et ta có:  Ta có: x13  x23 8   x1  x2   x1x2  x1  x2  8  23  3. m  3 8   m  3 0  m  3(tmdk ) Vậy m  giá trị cần tìm Bài   2m  1  4.1. m  1  4m      m  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1  x2   2m  1  x1 x2 m    Theo hệ thức Vi-et ta có: 2 P  x  x  x  x  x1x2   2 Ta có:    2m  1    m2  1 2m2  4m  2  m  2.m.1   1  2  m  1  1, m Dấu " " xảy m  0  m 1(tm) Vậy Pmin 1 m 1 Bài a)     m     4.1  m    m    4. 2m   m  10m  25  8m  24 m  2m   m  1 0; m Vậy với giá trị m phương trình ln ln có hai nghiệm b) Với m, phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et b   S x1  x2  a m    P x x  c 2m   a 2 Ta có: x1  x2 35   x1  x2   x1 x2 35   m    2. 2m   35  m  10m  25  4m  12  35 0  m   31  m  6m  22 0    m   31   m    31;   31 Vậy Bài a) Phương trình (1) có nghiệm:   ' 0    m   0   m 0  m 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm m 3 b) Do phương trình (1) có nghiệm nên thỏa: 2  2.2  m  0  m  0  m  Thay m  vào phương trình (1) ta phương trình x  x  0 (*)  ' 12     9   '  3 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:  1  1 x1  2; x2   1 Vậy m  nghiệm lại  giá trị cần tìm Bài (2) a) Khi m 2, phương trình (1) trở thành: x  x  0 Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình (2) có hai nghiệm Vậy m 2, tập nghiệm phương trình (2) S   1;  2 x1  1; x2  c  a 2 b)  m  4.1. m  1 m  4m   m   0 , với m Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Với m, phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et b  S  x  x   m  a   P x x  c m  1  a 2 A  x  x   2016     Ta có: A   x1  1  x2  1   2016 A  x1 x2  x1  x2  1  2016 A  m   m  1  2016 02  2016 2016 Bài Do phương trình có nghiệm x 2 nên thỏa   2m  1  2m 0  m  (*) Thay m  vào phương trình ta phương trình: x  x  0 c x1 1; x2  2 a Ta có a  b  c 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm Vì x2 2 nên nghiệm cịn lại x1 1 Vậy m  nghiệm lại là giá trị cần tìm Bài 10 2     m  1   4.1. m    m  1  4. m   m  2m   4m    a) m  2m   m  2m  1   m  1   với m b) Với m , phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Viet: b  S  x  x  m  1  a   P x x  c m  2  a c) Ta có 2 A x12  x22  x1 x2  x1  x2   x1x2  m  1   m   m  2m   8m  16 m2  6m  17  m  3  8  m  Dấu " " xảy m 3 Vậy giá trị nhỏ A MinA 8  m 3 Đề từ 011 đến 020 x Bài 11.Cho phương trình   m  1 x  4m 0 (x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 Bài 12 Cho phương trình x  x  m  0 (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa x1  x2 Bài 13.Cho phương trình: x   m   x  m  0 (m tham số) a) Chứng minh: Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 2 b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để có x1  x2  13 x1 x2 Bài 14 Cho phương trình x  x  m  0 (với m tham số, x ẩn số) a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm 3 b) Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x1 x2  x1 x2  10 Bài 15 Cho phương trình x  x  m  0 (x ẩn) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 2 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  x1 x2 51 x   m  3 x  m  3m  0 Bài 16 Cho phương trình : (x ẩn số, m tham số) a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để A x1  x2  1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 17 Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x  2mx  2m  0 (1) a) Chứng tỏ phương trình (1)ln có nghiệm x1 , x2 với giá trị m b) Đặt Bài 18 A 2  x12  x22   x1 x2 , tìm m cho A 27 a) Phương trình x  px  0 Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x  x  q 0 có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình: x  x  q 0 , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x  qx  50 0, biết phương trình có hai nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài 19.Cho phương trình x  mx  m  0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu B thức sau: x1 x2  x  x22   x1 x2  1 2 x  m  x  m  0   Bài 20 Cho phương trình : Tìm m để nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2   0 Đáp án từ 011 đến 020 Bài 11 a) Với m  phương trình trở thành: x  x  0  *  ' 22  1.4 0 b' x1 x2    * a Vì  ' 0 nên phương trình   có nghiệm kép Vậy với m  1, tập nghiệm phương trình  * S   2 b) Ta có 2  '    m  1   1.  4m   m  1  4m m  2m   4m m  2m   m  1   '   m    m  0  m    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy m  phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 12  ' 12  1.  m  1 1  m  m   0, a) Ta có: với m Vì  '  0, với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et b  S  x  x   2  a   P x x  c   m   m  1  a c) Ta có: x1  x2  2(cmt ) x1  x2 nên ta có hệ phương trình sau :  x1  x2   x1  x2   x1  x2      x  x x  x   x  x     2 Thay  * vào biểu thức x1 x2  m  ta được:   3  m2   m   x1  x2     x    x1  (*)  x   Vậy m  giá trị cần tìm Bài 13 2 a) Ta có   m    4.1. m  1 m  4m   4m  m   0, với m Vì   0, với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Với m, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Viet   b   m  2 S  x  x    (m  2)  a   P x x  c  m  m  1  a Theo đề bài, ta có: 2 x12  x22  13 x1 x2   x1  x2   x1 x2  13  x1 x2 0   x1  x2   x1 x2  13 0 2     m      m  1  13 0   m     m  1  13 0  m 2  m  4m   3m   13 0  m  m  0    m2  Bài 14 a) Ta có  1  4.1 m   1  4m  9  4m   0   4m 0   4m   m  Để phương trình có nghiệm m phương trình có nghiệm Vậy m phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et: b) Với b  S  x  x   1  a   P x x  c m  2  a x1 x2  x13 x2  10  x1 x2  x12  x22   10 Ta có:  x1 x2   x1  x2   x1 x2   10 0      1    1  2. m     10 0       2m    10 0    2m   10 0  2m   m  m  phương trình thỏa mãn Vậy Bài 15