Chuyên đề 7 góc với đường tròn

1 111Equation Chapter Section CHUYÊN ĐỀ 7: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Góc tâm Số đo cung a) Định nghĩa góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm b) Số đo cung: - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn) - Số đo nửa đường tròn 180 c) Tính chất số đo cung: Nếu C điểm nằm cung AB  sd AB sd AC  sdCB Liên hệ cung dây a) Định lý 1: Với cung nhỏ đường tròn hay đường tròn nhau: - cung căng dây - dây căng cung b) Định lý 2: Với cung nhỏ đường tròn hay đường tròn nhau: - Cung lớn căng hai dây lớn - Dây lớn căng cung lớn Góc nội tiếp a) Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn cạnh chứa cung đường trịn Cung nằm góc gọi cung bị chắn b) Định lý: Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c) Các hệ quả: Trong đường trịn: - góc nội tiếp chắn cung - góc nội tiếp chắn cung chắn cung -góc nội tiếp (nhỏ 90 có só đo nửa số đo góc tâm chắn cung - góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a) Định nghĩa: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm,một cạnh tiếp tuyến cạnh lại chứa dây cung b) Định lý: Sđ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn  c) Định lý đảo: Nếu BAx có đỉnh nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB, có số đo nửa sđ cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn d) hệ quả: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Góc có đỉnh bên đường trịn a) Góc có đỉnh bên đường trịn - Định lý: sd góc có đỉnh bên đường tròn tổng sđ cung bị chắn b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Định lý: Sđ góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo cung bị chắn 6.Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Có cách thường dùng để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn - Cách 1: Chứng minh đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm - Cách 2: Để chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) điểm A ta chứng minh góc tạo đường thẳng d với dây AB góc nội tiếp chắn cung AB - Cách 3: Sử dung định lý đảo định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài Cho (O) điểm M cố định nằm đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng: MA.MB MC.MD Giải *TH1: điểm M nằm bên đường tròn (O) -Xét tam giác MAC tam giác MDB ,   ta có: M M (đối đỉnh)    CAM BDM (cùng chắn BC )  MAC MDB( g.g ) MA MC    MA.MB MC.MD MD MB A C O M D B C *TH2: Điểm M nằm bên (O) Xét tam giác MAD tam giác MCB,  chung; ta có: M  B   D 1 (cùng chắn AC )  MAD MCB( g.g ) A  M D O B MA MD   MA.MB MC.MD MC MB Bài Trên đường tròn lấy liên tiếp ba cung: AC , CD, DB cho  sd DB  600 sd AC sdCD Hai đường thẳng AC BD cắt E, hai tiếp tuyến đường tròn B C cắt T CMR:   a) AEB BTC  b) CD tia phân giác BCT ? Giải: E C A O a) Ta có: AEB  AB  CD   1800  600 600 2      DB   BTC  BAC  BDC   AB  AC  CD   2   1800  600  600  600  600   Do AEB BTC T  D      B       CD  300 C b) Ta có: (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)   DB  300 C    (góc nội tiếp)  C1 C2 Do CD phân giác BCT Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường trịn M a) CMR: OM vng góc với BC b) Phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt (O) N CMR ba điểm M, O, N thẳng hàng c) Gọi K giao điểm NA BC, I trung điểm KD.CMR: IA tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: x N A O K I B D H M C     a) Ta có: A1  A2  BM CM  BM CM BM CM    OM OB OC  Do trung trực BC  OM  BC   b) Ta có: MAN góc nội tiếp MAN 90  MN đường kính, M ,O, N thẳng hàng 0   c) Do MAN 90  DAK 90  DAK vuông A mà IK ID    IAD D      IAD D (1)    IK IA ID  IAD cân I  D2 D1   Mặt khác: tam giác OAM cân O nên OAM OMA(2)        Từ (1) (2)  IAD  OAM D2  OMA  IAO D2  OMA (3)   Do tam giác MHD vuông H (câu a) nên D2  OMA 90 (4)  Từ (3) (4)  IAO 90  IA tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn (C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E Chứng minh rằng: a) EH vng góc với AB b) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn D, cắt EH I Chứng minh rằng: I trung điểm EH Giải: E C I D H A K O B  a) Ta có: ACB 90 (góc nơi tiếp chắn nửa đường trịn)  AC  BC ADB 900 (góc nơi tiếp chắn nửa đường tròn)  AD  BD AE  BC   BE  AD   H  Xét tam giác EAB, ta có: AD  BC H  trực tâm tam giác EAB  EH  AB      b) Ta có : H B (cùng phụ F1 ); D2 B ( chắn cung AD)  D   IHD  H 2 cân I  IH ID (1)  B  900  E  D  D  900   E  D   IED  1   D  B  Mặt khác cân I  ID IE (2) Từ (1) (2) suy IH IE  I trung điểm EH Bài Cho (O), từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MC , MD với (O), (C, D tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E a) CMR: MC ME b) DE phân giác ADB c) Gọi I trung điểm AB CMR điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn  d) CMR: M phân giác CID Giải: C M O B E A I D     a) Ta có: BCE  ACE ( gt ) ; CBA MCA (cùng chắn cung AC)       (1)  BCE  CBA  ACE  MCA hay BCE  CBA MCE    Mặt khác : BCE  CBA CEM (tính chất góc ngồi tam giác) (2)   Từ (1) (2)  MCE CEM  MCE cân M  MC ME b) Vì MC MD tiếp tuyến  MC MD , mà MC ME  MD ME  tam     giác MDE cân M  MED MDE MDA  ADE (1)    Mặt khác : MED B1  BDE (tính chất góc ngồi tam giác) (2)     Từ (1) (2) suy MDA  ADE B1  BDE (3)   Lại có: MDA B1 (cùng chắn cung AD) (4)   Từ (3) (4) suy ADE BDE  DE phân giác ADB   c) Do MC , MD tiếp tuyến (O) nên OCM ODM 90  điểm O, C , D, M thuộc đường trịn đường kính OM (*) Lại có: I trung điểm AB  IO  AB (định lý đường kính dây)  IO  IM  IOM vuông I nên điểm I , O, M thuộc đường đường kính OM (**) * **  điểm O, I , C , M , D nằm đường tròn Từ     d) Xét đường tròn qua điểm O, I , C , M , D có đường kính OM, ta có:   CIM  sdCM   DIM  sd DM         CIM DIM  IM    CM DM  sdCM sd DM    phân giác CID Bài Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH cắt đường trịn D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a) BC song song với DE b) Tứ giác BCED hình thang cân Giải: A O B C H D E a) Ta có: BC vng góc với AD (gt) (1)  (2) Mà ADE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  DE  AB Từ (1) (2) suy BC / / DE (cùng vng góc với AD) b) Hình thang cân = hình thang+2 đáy góc nhau(hoặc đường chéo nhau) Do BC / / DE  BCDE hình thang (1)   Lại có: BC / / DE  sd BD sdCE (2 cung bị chắn hia dây song song nhau)   sd DE  sdCE   sd DE   sd BE  sdCD   BE CD  sd BD (liên hệ cung dây) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BCED hình thang cân B BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) ĐỀ BÀI TỪ BÀI 001 ĐẾN BÀI 010   C  ABC A  B  Bài 1.Cho đường tròn (O) nội tiếp a) Gọi I , J , K tiếp điểm đường tròn (O) với cạnh BC , CA, AB    So sánh góc tâm IOJ , JOK , KOI  BOC 900  A , tìm hệ thức tương tự với đỉnh b) Chứng minh với đỉnh A B, C Bài 2.Từ điểm T ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến TP, (P tiếp điểm) cát tuyến TBA qua tâm O đường tròn (B, A thuộc đường tròn, B nằm O T)   Chứng minh BTP  BPT 90 Bài 3.Cho ABC , vẽ hai đường trịn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D a) Chứng minh ba điểm B, C , D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường trịn đường kính AB E đường thẳng AB cắt đường tròn đường kính AC F Chứng minh ba đường thẳng AD, BE , CF đồng quy Bài Cho ABC có ba đường cao AD, BE , CF đồng quy H a) Chứng minh tứ giác AEHF , BFEC nội tiếp đường trịn Kể tên tứ giác nội tiếp đường trịn hình vẽ bạn b) Chứng minh tam giác ABC , AEF , DEC , BFD đồng dạng c) Chứng minh HA.HD HB.HE HC.HF d) Gọi G điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh ABGC tứ giác nội tiếp Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A O) Đường thẳng qua điểm H vng góc với AO cắt nửa đường tròn (O) C Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) D cắt đường thẳng HC E Gọi I giao điểm AD HC Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác DEI tam giác cân Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có số đo không đổi D thay đổi cung BC (D khác B C) Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB